一類具有非線性傳染率的SIS傳染病接種模型的研究

周艷麗，濮桂萍

（1.上海健康醫學院 文理教學部，上海 201318；2.上海健康醫學院 健康信息技術與管理學院，上海 201318）

1 問題的提出

在以往經典的傳染病模型研究中，常用的傳染率多為雙線型傳染率和標準型傳染率。然而，在現實世界中，由于傳染病傳播方式和傳播途徑的復雜性，很難準確地表述發生率、接觸率以及疾病潛伏期的人數等因素之間的因果關系。非線性傳染率能更精確地揭示傳染病的傳播機理。另外，時滯在傳染病的傳播過程中也是不可忽視的，它可用來描述患者對疾病的感染期、恢復者對疾病的免疫期、疾病的潛伏期等。為了控制疾病傳播，接種疫苗已經成為消除傳染病的一個重要策略，因此，研究具有接種的傳染病模型已成為傳染病學中重要的研究內容。接種疫苗可以使接種者獲得永久的免疫力或暫時性的免疫力。暫時性免疫期的長度可以影響疾病發生發展的狀況，許多學者研究了具有疫苗接種的傳染病模型[1-4]。因此，傳染病模型利用非線性時滯方程來描述更符合實際，能更精準地為預防和控制疾病傳播提供有效的防御策略。有關具有非線性傳染率和時滯的模型的研究已經取得了很多成果[5-9]。

為了更好地解釋傳染病傳播機理，本文將在文獻[10]的基礎上，將文獻[10]中的雙線型傳染率改為一般性的非線性傳染率。模型為

2 模型研究

考慮到模型（1）的實際情況，假設模型（1）的初始條件為

3 數值模擬和結論

利用Higham[14]提出的Milstein的高階離散方法，對模型（1）在初值為(S(0),I(0),V(0))=(3,3,3時進行數值模擬，其中，，選取參數A=2,β=1,γ=0.5,μ=0.1,q=0.3,p=0.2,α=0.2。比較圖1中不同的 τ值：當 τ較小時，感染人群的平衡點大于τ=0時所對應的的平衡點；當 τ較大時，感染人群的平衡點小于τ=0時所對應的的平衡點染病者的平衡點隨著 τ值的增大而變小。

圖1 取不同 τ值時感染人群隨時間的變化曲線Fig.1 Variatio n of infective population with time for different value of delayτ

本文討論了一類更符合實際、更復雜的非線性傳染率的SIS傳染病接種模型，能更好地體現疾病的傳播機理，具有重要的生物學意義，得到了疾病存在與否的閾值——基本再生數R0。當R0≤1時，模型（1）存在唯一的無病平衡點E0，通過構造相應的Lyapunov函數，利用Lyapunov-LaSalle不變集原理得到此平衡點是全局漸近穩定的，即疾病滅絕；當R0＞1時，模型（1）存在唯一的地方病平衡點，且是全局漸近穩定的，即疾病將持續存在。從以上結論可知，通過調控接種參數以及其他相關參數，可以使得模型的閾值R0小于1，從而達到控制疾病流行的目的。同時，通過數值模擬直觀地觀察到感染人群的數量隨著 τ值的變化情況，這為疾病防控部門有效地預防和控制疾病傳播提供了重要的理論依據。