高三數學《數列》復習之我見

雨宮春

摘 要：《數列》復習主要應在解題方法、解題能力、解題思想等方面下功夫。

關鍵詞：數列;復習

《數列》蘊涵了豐富的數學思想和方法，主要有：函數與方程、化歸、分類討論、數形結合等重要數學思想;更有：待定系數法、配方法、換元法、分離變量法、歸納猜想證明等基本方法。筆者在《數列》復習中的幾點思考和做法與同仁交流。

一、解題方法的復習

（一）抓“求通項、求和”

數列的通項、求和是數列中的兩大支柱問題。復習時，我們真對等差、等比數列通項、求和公式進行了復習，主要通過有關的例子研究了“an 與 Sn 的關系、累加、累積、差分、轉化”等方法求通項，使同學們對遞推數列求通項有一個完整的認識。接著復習了“倒寫相加、錯位相減、利用公式、拆項相消、重新分組、研究通項”等方法求和。特別是用的較多的“利用公式、錯位相減、拆項相消”的求和進行分析，使同學們知道了求和方法的使用，同時還知道什么時候用什么辦法處理求和問題。

（二）抓“首項 a1、公差 d（公比 q）”

數列的復習中，讓學生回到首項和公差（或公比）中去，無疑是非?；镜姆椒?。

例 1：設 Sn 為等差數列{an}的前 n 項和，若 a4+a5=36，S6=72，則{an}的公差為（??? ）

（A）2;?????????? （B）4;?????????? （C）6;???????????? （D）8.??????????????????????????????????????????????? （答：C）

由 2017 年高考全國卷Ⅰ的第 4 題改編，考生中不知從何下手者大有人在，而回到首項和公差中去的學生（不見得是數學成績好的學生）輕易解出來了。

例 2：各項均為正數的等比數列{an}的前 n 項和為 Sn，且 S2? =74，S3? =111，則 S5=（?? ? ）（答：185）

這道題，只記住死結論：在等比數列中， Sn，S2n-Sn，S3n-S2n??? 成等比數列的學生，機械地應用公式 Sn 的學生在算出 q=1（q=-1）（舍去）后，又發現代入上述公式不成立，只有知道討論使用等比數列的求和公式的學生才能得到正確的答案。

上兩例可以看出，對于數列通項公式和求和公式的復習，盡量讓學生反復使用最原始的公式， 抓數列的首項 a1、公差 d（公比 q），并注意使公式成立的環境，會使學生求一般等差數列和等比數列的通項公式，前項和公式變得輕松自然。

二、解題能力的培養

（一）歸納、找規律是解決數列問題的有一個重要的思想和方法。

例 3：在數列{an}中， a1=1，a2=5，an+2=an+1-an（n∈N*），則 a2010=（? C）

A.1???????? B.-5 ??????C.-4??????? D.5

例 4：對于實數 x 用[x]表示不超過 x 的最大整數，如[0.32]=0，[5.65]=5，若 n 為正整數，an=[n/4]，SN 為數列an}的前 n 項的和，則 S4N=（2n2-n）.

上兩例看出，數列的復習，應盡量讓學生耐下心來，通過不完全歸納，得出規律的東西，而使問題得到解決。

（二）用好等差數列、等比數列的性質。

復習時，以等差數列、等比數列為載體，以通項公式和求和公式為主線，靈活運用等差數列、等比數列的性質。

例 5：設 SN 為等差數列 an}的前 n 項的和，已知 a2=3，a6=11，則 a17=（??? ）

A.13??????? B.35 ???????C.49??????? D.63

例 6：有窮等差數列 an}的前 r 項的和為 a，? 后 r 項的和為 b，所有項之和為 S，則 a、b、S、n、r 之間的關系是——————。

上兩題都使用了性質，可以看出，靈活運用等差數列、等比數列的性質，是基本技能形成的一個重要體現。

三、解題思想的養成

對學生進行數列綜合問題的思維訓練， 提高學生解決數列綜合問題的能力，是復習中核心問題。

（一）尋找題目中的暗線

例 7.在數列{an}中，an+1=3an+4n+2? 且 a2= 6

（1）? 求 a1;（2）求證數列{an+2n +2}是等比數列，并求 an。

我把此題給同學們后，大量的同學只能解決第一問，對第二問感到無從下手。怎樣證明數列{an}是等比（或等差）數列？只要證明（或 an+1? -an）是一個與 n 無關的常數即可。這么淺顯的道理，怎么有大量的學生不知從何下手？原因還是復習時，沒有讓同學們去尋找題目中的暗線。只要注意到數列{an+2n+2}就可以想到把an+1=3an+4n+2 改寫成 an+1+2（n+1）+2=3（an+2n +2），求出 a1+2*1+2=4，于是可得數列{an+2n +2}是以 4為首項，以 3 為公比的等比數列。求出 an+2n +2=4*3n-1，再求出 an=4*3n-1-2n -2（這就是本題的暗線）。

（二）借助于題目本身的力量，找到解題的突破口

數列問題在高考中可謂常考常新，尤其是近些年來數列與不等式的融合更成為高考命題者的新寵，而其中對放縮法的把握需要學生有較強的分析和判斷能力。復習時若能借助于題目本身的力量，就可以很容易找到解題的突破口，較難的問題能順利解決。

例 9：在數列{an}中，首項

（1）求 an;

（2）求證：對任意 x>0，;

（3）求證：。

此題一出，大量的同學只能解決第一、二問，第三問找不到解題方法。產生這樣的現象的原因主要是同學們沒有注意到利用第二問的結論。由（2）知得

對 x>0恒成立，特別地也成立，于是得到

問題解決。對于下面一題也是如此。

例 10：已知函數 f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1

（1）求函數 f（x）的單調區間;

（2）若 f（x）≤0 恒成立，求 k 的值;

（3）若數列{an}的通項，sn 是數列{an}的前 n 項和（n? ≥2 且 n? ∈N*），求證：sn ≤n

*（n-1）/4（太和一中 2011 屆高三二模題改編）。

（4）可以用（1）的結論，（3）可以用（2）的結論，此不贅述。