基于復雜網絡的股票市場相關性研究

陳 帥

（上海理工大學 管理學院，上海 200093）

一、引言

金融系統是一個典型的被眾多因素影響的復雜系統的看法，已經是許多學者的共識。近年來，統計物理中的各種概念和方法被廣泛應用到金融系統中，并且取得了許多成果。對于金融物理研究方向的學者而言，金融市場是一個動態系統，股票市場中包含著大量的歷史金融數據，因此股票市場是研究金融市場的一個熱門方向。

股票市場間的互相關系數網絡是由股票市場的收益率序列的相關系數矩陣構造而成，互相關系數矩陣是金融物理用來描述金融市場狀態變化的有效工具。近年來，諸多學者運用互相關系數矩陣對全球股票市場進行研究。Lei Tan 等通過構造出一類非局部時間動態可觀測模型，使用來自不同國家的25 個股票市場中的數百支股票探測過去的波動率序列和未來的收益率之間的相關性，得出無論對各股還是股指過去的波動率序列對未來股票收益率有持續性影響的結論。Fang Yan Ouyang 等應用經驗模式分解（EMD）分析復雜金融系統的固有多尺度的動態行為，將每只股票的收益率時間序列分解為從高頻到低頻的運動的固有模態函數（IMF），并將固有模態函數分為高、中、低頻三組，發現高頻與中頻組收益率序列的概率分布以及波動率序列的自相關系數概率分布與原序列具有相似的性質,并且中頻組主導杠桿效應與反杠桿效應。Jing Liu 等通過運用時間變換參數（TVP）組合模型，從全球股票市場中提取信息來預測中國股票市場的波動率。首次探索了利用全球股票信息和時變參數預測中國股票波動并確定其經濟價值。將組合策略和TVP 模型與新的解釋變量相結合，豐富了股票波動預測模型。由于各股票市場對中國股票市場的動態影響，采用綜合方法來提高中國股票波動性的預測精度。結果表明，TVP-HAR-RV 中位數組合模型對中國股票市場的波動率預測效果最好。M.Saeedian 等使用隨機矩陣理論研究了來自不同國家的40 個股票指數的互相關系數，并利用隨機矩陣（RMT）分析了這40 個股票市場指數的互相關矩陣，繪制了互相關矩陣的樹狀圖，以使這個抽象的全球市場中的社區可見。結果表明，每個市場都是全球結構的一部分，兩個市場之間的相互關系并不是獨立于其他市場之間。世界金融市場由三個社區組成，地理位置相近的股票市場更容易在同一個社區內。

運用狀態矩陣知識，將股票之間的相關關系通過閾值法構造出閾值網絡，將構造出的閾值網絡依據時間先后順序分為三個階段。第一階段，1998—2004 年，第二階段，2005—2011 年，第三階段，2012—2018 年。運用K 均值法將股票之間的相關關系進行聚類。結果表明，股票之間的相關關系無論在哪一個階段均可分為三類，C2 類表示的五種股票市場之間的關系，表明美國股票市場內部聯系緊密，歐洲地區股票市場聯系緊密，中國大陸股票市場內部之間聯系緊密，這與我們平時的認知是一致的。C3 類在第一階段把7 種股票市場的相關關系聚為一類，在第二階段新增了臺灣股票市場與日本股票市場的相關關系，香港股票市場與日本股票市場之間的相關關系。表明全球化趨勢使亞洲股票市場的相關性顯著增加，第三階段與第二階段保持一致。為了更加形象刻畫股票市場之間相關性隨著時間發展的變化趨勢，本文將每一階段的閾值網絡匯總求均值構成平均閾值網絡。結果發現，隨著時間的推移，各個地區的股票市場聯系的越來越緊密，歐美股票市場可以看作一個整體，亞洲地區股票市場可分為兩部分，一部分是中國大陸股票市場，它外界股票市場聯系不夠緊密，另一部分由日本，中國臺灣、香港這三個股票市場構成。

二、數據處理

收集的股票市場數據從1997 年4 月到2019年1 月共262 個月4 580 個交易日股指收盤價格序列。證券市場周末、節假日和遇到特殊情況時（如：2001 年9 月11 日發生911 恐怖襲擊事件，美國證券交易所關閉至9 月17 日開始交易。）均不進行交易，于是本文選取了各只股指均開盤的交易日期作為研究的對象。本文將十個股指之間的45 種關系進行編號，如表1 所示。

表1 十只股指之間的相關關系

選取各個股票市場均開盤的交易日期股票指數收盤價作為研究對象，這使得全球股票市場的股票指數的收盤價格序列的序列長度相等，因此可以用矩陣的方式表示出來，如式（1）所示。在本文中選取的全球股票市場的股指個數為M=10，序列總長度為T+1=4580。

為了消除股指價格序列的不平穩性，分析不同股票市場收益率之間的相關關系。本文將股指價格序列進行對數差分處理取絕對值構成收益率的波動率序列，如式（2）所示。vi，t表示第i 個股指在t 時刻的波動率，T 表示重新構建出的波動率序列的長度。

三、模型的構建

使用pearson 相關系數法求收益率之間的線性相關關系時會出現正負抵消的情況，不能很好的表示出股票市場的相關性。而使用收益率的波動率序列計算出股票市場收益率的相關性，該相關性不僅包括股票市場之間收益率的線性相關關系也包括非線性相關關系，而且巧妙地避免直接用收益率求pearson 相關系數出現正負抵消的情況。因此，本文使用股票市場的收益率的波動率序列進行模型的構建。為了擴大樣本個數，指定一個窗口和步長沿著收益率的波動率序列滑動，從而切分出若干塊小的收益率的波動率序列矩陣，對每一個矩陣分別用pearson 相關系數法求出股票市場之間的相關系數，對相關系數取絕對值用來表示股票市場之間的相關性強度的度量。通過閾值法將股票市場之間相關性很弱的聯系剔除，從而構造出閾值網絡。

（一）構建股票市場之間的狀態矩陣

對于波動率序列，指定一個窗口（L）和步長（Δ）沿著序列滑動，從而形成一系列小的片段序列矩陣，每個小的片段序列矩陣可以表示為（3）式。d=1，2，…，W-1，W。d 表示以步長（Δ）沿著序列滑動所滑動的次數，W 表示以步長（Δ）沿著序列滑動最多可以滑動的次數。在本文中，以一年的交易日作為計算一次相關系數的時間窗口長度，以一個月的交易日作為步長（滾動時間窗口長度），共得到251 個窗口。

為了衡量全球股票市場在某個時間段內相互之間的相關關系強度，本文求出每個小的波動率片段序列矩陣的絕對相關系數矩陣，絕對相關系數矩陣的每一個元素可以用（4）式計算出結果。

（二）選取閾值并構造閾值網絡

總體的絕對相關系數漲跌趨勢無法探析具體股票市場之間的相關系數強度的大小，不能排除冗余信息，導致無法抓住重要相關系數強度和結構。本文采用閾值法對絕對相關系數矩陣中較小的絕對相關系數進行過濾，刪除冗余連邊構建出閾值網絡。在一個窗口中十支股指相互之間的皮爾森相關關系有45 種，在251 個窗口中就有11 295個相關系數。將所得到的絕對相關系數匯總，求出絕對相關系數的累計頻率分布函數，通過觀察累計頻率分布函數的趨勢可以得到，當絕對相關系數小于0.4 時，出現累計頻率分布函數的斜率明顯大于絕對相關系數大于0.4 的情況，因此本文選取閾值r=0.4。

通過選取閾值，可以構造出股指之間閾值網絡，當絕對相關系數大于閾值的時候說明股指之間的相關性足夠強，則絕對相關系數不變，反之則為0。

四、股票市場網絡結構趨勢分析

分布在不同地區的股票市場之間的聯系不盡相同，同一地區不同的股票市場之間的相關性很強，而分布在不同地區的股票市場之間會有怎樣的聯系呢？本節對十個股票市場相互之間的45 種關系分三個階段進行聚類，分別求出不同階段的平均閾值網絡。

（一）股票市場之間相關性的聚類分析

聚類分析是將數據集中某一特征相似成分聚為一類。而K 均值聚類是最著名的劃分聚類算法之一。K 均值聚類算法首先隨機選取K 個對象作為初始的聚類中心。然后計算每個對象與各個初始聚類中心之間的距離,將每個對象優先安置到距離最近的聚類中心。當全部對象安置完成，依據現有的對象的分配狀況重新計算每個聚類的聚類中心。不斷重復該過程直到每個對象的分類結果不再發生變化，聚類中心不再發生變化，誤差平方和局部最小為止。

為了區分全球股指之間相關性的強弱隨著時間發展的變化關系，本文選取分布在不同國家具有代表性的十個股票市場指數按照時間發展分為三個階段：第一階段為1998—2004 年；第二階段為2005—2011 年；第三階段為2012—2018 年。分別將每一階段依據股指之間的相關性大小進行聚類。用K 均值聚類使得類內具有較高的相似度，而類間的相似度較低，從而劃分出股指之間的差異。本文用ratio1 表示第一階段組內平方與每一類的組內平方和之和的比值，ratio2 表示ratio1 的變化率。用ratio3 表示第二階段組內平方與每一類的組內平方和之和的比值，ratio4 表示ratio3 的變化率。用ratio5 表示第三階段組內平方與每一類的組內平方和之和的比值，ratio6 表示ratio5 的變化率。從圖1 可以看出，隨著k 的增加ratio1，ratio3，ratio5 逐漸減小，當k ≥3 時，ratio1 的變化率ratio2，ratio3的變化率ratio4，ratio5的變化率ratio6 均趨向于穩定。因此，本文將十只股指每一階段的45 種關系均劃分為3 類，分別表示為C1，C2，C3。

圖1 不同階段股票市場之間相關性的聚類

圖1 顯示了45 種關系每個階段的類別分配，本文發現，C2 中股指之間關系的相關性最為強烈，在這三個階段中均沒有發生變化，表明中國大陸內部兩個股指互關聯程度高，美國內部兩個股指互關聯程度高，歐洲各國互關聯程度高。C3中股指之間關系的相關性排名第二，隨著時間的推移，在第一階段表示DAX、FTSE、CAC 與DJI 之間的三種相關關系，DAX、FTSE、CAC 與NASD 之間的三種相關關系以及TWII 與HIS 之間的相關關系被劃分為一類。在第二階段和第三階段C3中新增了TWII 與NIKK 之間的相關關系、HIS 與NIKK 之間的相關關系，表明歐洲與美國聯系緊密，而日本、中國臺灣、香港三個地區在第一階段相關性不大，在第二階段和第三階段相關性有所增加。而C1 中股指之間關系的相關性排名第三，C1 中股指之間的相關性遠小于C2 和C3。

（二）構造不同階段的平均閾值網絡

為了更加形象刻畫股指之間相關性的變化趨勢，本文將每一階段的閾值網絡匯總求均值構成平均閾值網絡。在平均閾值網絡中，邊越粗表示股票市場之間的相關性越強，沒有連接表明股票市場之間相關性很弱可以忽略。從構造出的平均閾值網絡中可以看出，在第一階段，歐洲股票市場DAX、FTSE、CAC與美國股票市場DJI、NASD聯系緊密，亞洲地區股票市場比較分散，香港股票市場可以看作亞洲股票市場與歐美股票市場聯系的紐帶，中國大陸股票市場與外界幾乎沒有聯系，只和德國DAX 有微弱連接。第二階段，歐美股票市場聯系依然比較緊密并且有所加強，全球股票市場連邊明顯增強，中國臺灣股票市場，中國香港股票市場和日本股票市場三者之間的相關性顯著增強，中國大陸的股票市場與其他地區的股票市場雖然有聯系但相關性強度依然很弱。第三階段，世界各國股票市場之間幾乎均有聯系，歐美股票市場之間聯系依然緊密，中國臺灣、香港，日本聯系緊密，值得注意的是中國大陸股票市場與外界聯系有所提升，不再是孤立的個體。

圖2 不同階段的平均閾值網絡

五、結論及建議

本文通過研究分布在不同大陸的全球十個具有代表性的股票市場，DJI、NASD、DAX、CAC、FTSE、HIS、NIKK、TWII、SHI、SZI。以pearson 相關系數法為基礎，運用股票市場收益率的波動率序列研究股票市場收益率的非線性相關關系。運用狀態矩陣理論，將股票之間的相關關系通過閾值法構造出閾值網絡，并將構造出的閾值網絡依據時間先后順序分為三個階段。第一階段，1998—2004 年；第二階段，2005—2011 年；第三階段，2012—2018 年。運用K 均值法將股票之間的相關關系進行聚類，結果發現，股票之間的相關關系無論在哪一個階段均可分為三類且聚類結果高度相似，C2 類的五種股票市場之間的相關關系強度最強，表示出美國股票市場內部聯系緊密，歐洲地區股票市場聯系緊密，中國大陸股票市場內部之間聯系緊密，這與平時的認知是一致的。C3 類在第一階段把7 類關系聚為一類，第二階段新增了中國臺灣股票市場與日本股票市場的相關性，中國香港股票市場與日本股票市場之間的相關性，表明全球化趨勢使亞洲股票市場的相關性顯著增加，第三階段與第二階段保持一致。為了更加形象刻畫股票市場之間相關性的變化趨勢，本文將每一階段的閾值網絡匯總求均值構成平均閾值網絡。結果發現，隨著時間的推移，各個地區的股票市場聯系的越來越緊密，歐美股票市場可以看作一個整體，亞洲地區股票市場可分為兩個部分，第一部分是與外界股票市場聯系不夠緊密的中國大陸股票市場，在第一階段時，中國大陸股票市場才剛剛建立，與外界股票市場之間的相關性很弱，然而隨著改革開放的不斷深入，中國大陸股票市場與外界股票市場之間的相關性也不斷增強。另一部分是由日本、中國臺灣、中國香港這三個股票市場構成的整體。在第一階段，亞洲地區股票市場中香港股票市場與歐美股票市場連接最為緊密，第二階段和第三階段，亞洲地區股票市場與歐美股票市場相關性明顯增強。