立足認(rèn)知結(jié)構(gòu) 探究變式策略

■李琳琳

對(duì)于數(shù)學(xué)變式問題的分類，有許多不同的分法，筆者這里傾向于常州市特級(jí)教師潘建明老師的界定，將變式分為概念變式和過程變式，過程變式又分為水平變式和垂直變式。變式既是一種重要的思想方法，又是一種重要的教學(xué)策略，在教學(xué)過程中要合理運(yùn)用不同的變式策略，立足學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，逐步推進(jìn)，層層深入。

一、巧用概念變式，促進(jìn)知識(shí)內(nèi)化

初中數(shù)學(xué)中有大量的概念，它是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分，也是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和法則的邏輯基礎(chǔ)。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的掌握會(huì)受許多因素的影響，其中的變式至關(guān)重要。概念變式不變的是概念的本質(zhì)屬性，變的是概念的非本質(zhì)屬性。概念變式的目的是為了讓學(xué)生經(jīng)歷概念形成過程，即概括、抽象、具體化，從而使學(xué)生獲得的概念更加準(zhǔn)確、更加深刻。這里的概念變式我們分為標(biāo)準(zhǔn)概念變式（即概念外延的變化）和非概念變式（即舉反例）。

[案例1]在學(xué)習(xí)蘇科版八年級(jí)下冊(cè)“11.1反比例函數(shù)”時(shí)，筆者給出了三個(gè)實(shí)際問題情境，用函數(shù)關(guān)系式表示下列情境中兩個(gè)變量之間的關(guān)系:

（1）小明家距離學(xué)校5000m，他到校的時(shí)間y（h）隨騎車速度x(m/h)的變化而變化；

（2）已知菱形的面積為24cm2,一條對(duì)角線長(zhǎng)n（cm）隨另一條對(duì)角線長(zhǎng)m（cm）的變化而變化；

（3）實(shí)數(shù)a與b的積為-10，a隨b的變化而變化。

師：很好，請(qǐng)同學(xué)們觀察這三個(gè)式子有什么共同特征？你能用一個(gè)一般的式子表達(dá)出來嗎？

生2：都有兩個(gè)變量。

生3：都是函數(shù)。

生4：函數(shù)的右邊都是一個(gè)分式。

生6：k≠0，自變量x≠0。

師：你能否對(duì)這種函數(shù)下個(gè)定義呢？

師：請(qǐng)判斷哪些是反比例函數(shù)？

學(xué)生開始辨析反比例函數(shù)的形式，師生共同總結(jié)反比例函數(shù)的另外兩種形式。

此案例屬于標(biāo)準(zhǔn)概念變式，這里通過三個(gè)實(shí)際背景的問題情境，變換反比例函數(shù)的非本質(zhì)屬性，引導(dǎo)學(xué)生抽象出反比例函數(shù)的本質(zhì)屬性。在概念的教學(xué)中我們既要注重對(duì)概念的傳授，也不能忽視概念的背景介紹，要讓學(xué)生先抓住事物的本質(zhì)屬性，再給學(xué)生創(chuàng)造從多個(gè)側(cè)面、多個(gè)角度去理解概念的機(jī)會(huì)。

[案例2]在學(xué)習(xí)蘇科版七年級(jí)上冊(cè)“6.3余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角”時(shí)，對(duì)頂角的概念學(xué)生比較容易混淆。我們可以通過非概念變式來進(jìn)行辨析，使學(xué)生輕松掌握對(duì)頂角的概念。

概念圖像

非概念變式圖像

在概念形成以后，應(yīng)針對(duì)概念的內(nèi)涵和外延設(shè)計(jì)辨析型題目，可以列舉具有本質(zhì)屬性的事物或不具有該本質(zhì)屬性的事物的辨析，達(dá)到深化概念理解的目的。另外，概念變式的運(yùn)用要掌握時(shí)機(jī)，如果在學(xué)生沒有形成初步概念時(shí)就運(yùn)用變式，將會(huì)干擾學(xué)生對(duì)概念的理解，所以我們要關(guān)注對(duì)概念變式教學(xué)的合理運(yùn)用。

二、活用過程變式，聯(lián)系知識(shí)結(jié)構(gòu)

過程變式是指，學(xué)生通過概念、定理、命題等的學(xué)習(xí)過程，獲得多層次的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在概念、定理、命題形成的過程中，過程變式反映了它們形成的歷史過程和邏輯過程，在這樣一個(gè)過程中，學(xué)生的新舊知識(shí)之間的聯(lián)系得以建立，解題的經(jīng)驗(yàn)和策略得以積累和提升。

過程變式中最具代表性的是水平變式和垂直變式。水平變式通常變更問題的背景，在同一思維水平上解決同一類問題。我們?cè)诮虒W(xué)中常用的策略有：（1）變換背景；（2）特殊到一般；（3）基本圖形變式；（4）條件結(jié)論變式；（5）實(shí)際應(yīng)用。垂直變式是思維逐步深入的過程，由表層學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)，問題逐漸升華，進(jìn)而加深對(duì)數(shù)學(xué)深層次價(jià)值和數(shù)學(xué)本質(zhì)的體會(huì)。

[案例3]在學(xué)習(xí)蘇科版九年級(jí)下冊(cè)“6.4探索三角形相似的條件（2）”時(shí)，給出例題:

已知：如圖1，∠A=∠E=∠BCD=90°，圖中存在相似三角形嗎？并說明理由。

變式1.已知：如圖2，∠A=∠E=∠BCD=70°，圖中存在相似三角形嗎？并說明理由。

變式2.已知：如圖3，∠A=∠E=∠BCD=130°，圖中存在相似三角形嗎？并說明理由。

圖1

圖2

圖3

以上的源問題與兩個(gè)變式問題中，給出的度數(shù)不同，圖形也不同，但解決問題的方法是相同的，思維量是相當(dāng)?shù)模瑢W(xué)生能感受到多題可以一解。實(shí)際上這是我們總結(jié)的相似問題中的“一線三等角”模型，水平變式有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)和解題策略的認(rèn)識(shí)，改變學(xué)生孤立、靜止地看待問題的思維習(xí)慣，幫助他們把握數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律，形成“以不變應(yīng)萬變”的能力。

數(shù)學(xué)教學(xué)中結(jié)構(gòu)性變式的設(shè)計(jì)遵循認(rèn)知的連續(xù)性，通常是從源問題到變式題，從水平變式到垂直變式，水平變式發(fā)展學(xué)生思維的廣度，垂直變式發(fā)展學(xué)生思維的深度。但在教學(xué)中還要注意合理安排水平變式的“量”和垂直變式的“度”，才能達(dá)到既有量的積累，又有質(zhì)的飛躍。