雨滴沖擊荷載對斜拉橋拉索風雨激振影響的初步分析

李錦華，毛坤海，余維光，管海平，陳水生

(1.華東交通大學 土木建筑學院,南昌 330013；2.南昌鐵路天河建設有限公司,南昌 330026)

風雨激振是指在特定風雨環境下，斜拉橋拉索發生的大幅振動，這非常容易造成斜拉索的疲勞破壞。Hikami等[1]對風雨激振現象進行了研究，并總結了許多關于風雨激振的基本特性；隨后，大量研究如泉噴涌，主要為大量的現場實測[2]和風洞試驗[3-4]探討基本特性，然后通過力學分析建立理論方程進行分析。

風雨激振是由氣體、液體和固體的三相耦合作用而產生，現象復雜，研究困難。目前主要的關注點有：Gu等[5]針對三維剛性節段模型進行風洞試驗，擬合得到拉索氣動力系數和水線氣動力系數，并在水線運動方程中考慮了庫倫阻尼力和黏滯阻尼力；張琪昌等[6]聚焦于風雨激振運動方程的求解方法，并運用混沌理論分析風雨激振的非線性特性，開拓了非線性方程的求解新思路；李暾等[7]討論了連續拉索面內面外振動，在此基礎上分析了多模態的耦合作用，并改進了庫倫阻尼力的作用方式，認為其方向應該與水線的運動方向有關，使得水線運動方程更加完善；Wang等[8-9]的不同之處在于對水線運動方程的推導，他們運用滑移理論推導水線方程。總結之前的研究，主要在于水線運動方程的討論及方程的求解，缺乏雨滴沖擊對拉索振動影響的研究。考慮風雨激振的產生條件，雨滴沖擊應該存在，但其影響則很難確定，因此其討論顯得非常必要。

雨滴沖擊荷載作為外荷載而存在，若探討它的作用，必須考慮風雨激振運動方程的形式。總的來說，風雨激振的運動方程有節段模型[10-11]和連續模型[12-13]兩類。但本文的目的不是討論運動方程，而是關注雨滴的沖擊作用。為分析方便，采用節段模型進行分析。關于準運動水線單自由度節段模型，主要問題集中于對相對風速和相對風攻角進行處理。Wang等[14-15]忽略了相對風攻角式中分母項的水線項，并對相對風攻角在原點進行泰勒展開，對相對風速未做處理；Wilde等[16]的討論選擇忽略相對風攻角分母中水線項和相對風速中水線項，并在風攻角處進行泰勒展開；何向東等[17]則忽略相對風攻角和相對風速中所有的水線項。在這里所有的簡化過程，最后的目的都是將相對風攻角和相對風速中包含的水線項及拉索振動項顯式化，方便求解；然而這樣處理卻又導致了另外一個問題，使原本簡潔的運動方程變得非常繁雜；為此相對風速和相對風攻角的處理方式就變得舉足輕重。

由此，本文針對準運動水線單自由度節段拉索進行了雨荷載沖擊的初步分析，并將分析過程分成三個部分進行討論，分別為運動方程推導、處理方法比較及參數分析。由于雨滴沖擊對拉索的作用，拉索運動方程將會有所不同，這部分將對這點進行詳細討論；盡管每位學者處理方法不同，但差別大小卻不知道，故在第二部分將會對這個問題仔細分析；下面先討論拉索運動方程。

1 考慮雨滴沖擊荷載的拉索運動方程推導

傳統在分析拉索風雨激振的時候，大多數學者往往將視角集中在水線形成后，拉索與水線耦合作用導致拉索的大幅振動，并分別對水線運動方程及拉索運動方程進行討論；然而關于水線的形成條件及雨滴對拉索沖擊力的影響則基本沒有分析。基于此，本節的視角放在在整個風雨激振過程雨滴不斷沖擊作用，水線的形成條件需要大量實驗取得統計結論，本文不做過多討論。現實中，雨滴不斷地撞擊拉索，然后在拉索表面形成水線，并且這一過程與風速，雨滴質量及拉索表面材料等因素有關。于是就存在這樣的兩種可能：①雨滴均能黏附于拉索表面運動形成水線；②在特殊情況下雨滴均很難在拉索表面形成水線。為了考慮各種可能存在的情況，下面將分別基于這兩種狀態建立受雨滴沖擊荷載作用的拉索運動方程。

1.1 無水線形成拉索運動方程

在降雨環境中，考慮拉索表面可能在特定強風速下難以形成水線。因此，在這一小節中，將討論拉索表面不會形成水線，但有雨滴沖擊時，拉索的運動微分方程。拉索實際振動情況非常復雜，在自然狀態下很難精確地通過數學方程來表達。為此，進行基本假設：①不考慮拉索的面外振動，僅對面內振動分析；②節段拉索端部假定為鉸接形式；③在計算微分方程時考慮拉索的靜力構形作為計算初始條件；④由于拉索表面難以形成水線，因此認為雨滴與拉索之間的碰撞為完全彈性碰撞；⑤雨滴質量與拉索質量相比很小，可以忽略不計。

單位長度質量為mc，直徑為的拉索Dc，其空間布置如圖1所示。無水線拉索橫截面模型如圖2所示。斜拉索的大幅振動，主要是風和雨共同作用造成的。因此，在分析過程中，對風荷載及雨滴沖擊荷載分別考慮。首先考慮風荷載的影響，當來流風速為U0，風向角為β，拉索傾角為α時，由于拉索只在動平面內振動，此時按照平行四邊形法則將U0分解到與拉索動平面正交的平面內(后面稱為正交平面)，在該平面內風速大小用U表示，風速與水平方向的夾角(風攻角)用γ表示，即

(1)

(2)

進一步考慮由于拉索本身振動對實際情況的影響。建立正交平面內風速與拉索振動速度矢量運算圖(見圖2)，可以得到相對風速Urel和相對風攻角φrel的表達式

(3)

(4)

圖1 拉索節段模型Fig.1 Segment model of a cable

圖2 無水線拉索橫截面模型Fig.2 Cross section model of no rivulets

Fa為豎向作用在拉索上的氣動力，即在拉索上的氣動升力和氣動阻力在豎向的合力。說明：拉索在風雨共同激勵時，盡管表面沒有形成水線，但卻處在降雨環境中，如果運動方程中的氣動力系數采用無雨環境的風振氣動力系數似乎不容易接受。因此，對于雨滴難以形成水線時考慮雨滴沖擊荷載作用下的拉索風雨激勵振動，運動方程采用降雨環境下的拉索氣動力系數。

(5)

(6)

(7)

式中：CL和CD分別為升力系數和阻力系數，其中系數Ai和Bi的取值：A0=-0.390 9，A1=0.250 7，A2=1.762 5，A3=1.008 1，B0=1.555 5，B1=-0.538 2，B2=-0.885，B3=0.083 1；ρa為空氣密度；φefc為有效風攻角，由于沒有形成水線，故φefc=φrel。

接下來分析雨滴沖擊荷載。根據風驅雨的研究可知，在水平方向上雨滴的運動速度最終會與風速無限接近，由此在雨滴降落時間足夠長時，可以認為水平方向上風速即為雨滴運動速度。然后將風速分解到動平面內，如圖1所示；由于拉索質量與雨滴相比非常大，考慮雨滴與拉索的碰撞為完全彈性碰撞，則應用沖量定理可得單個雨滴的沖擊力，如下所示

(8)

Frs=4mr(U0sinαsinβ)2/Dr=2πρrDr2(U0sinαsinβ)2/3

(9)

式中：τ為作用時間；取Dr/(2U0sinαsinβ)；mr為雨滴質量；Dr為雨滴的有效直徑；ρr為雨滴密度。

通過考慮M-P雨滴譜將單個雨滴的沖擊力轉化成大量雨滴的沖擊力[18]，表達式如下所示

Fr=αDcFrsU0sinαsinβΔt/Ar=
2N0πρrDc(U0sinαsinβ)3Δt/(3λ4)

(10)

式中：α為雨滴在空氣中的占有率；α=πDr3N(Dr)/6；N(Dr)為M-P雨滴譜，其形式為N(Dr)=N0exp(-λDr)，其中N0=8 000；λ為斜率因子，λ=4.1I-0.21，I為降雨強度。

拉索運動方程的建立。根據達朗貝爾原理，可知拉索運動方程如下所示

(11)

將式(5)和式(10)代入式(11)，得拉索運動微分方程如下

CD(φefc)sinφrel]/(2mc)-2N0πρrDc(U0sinαsinβ)3/(3λ4mc)

(12)

1.2 考慮水線拉索運動方程

在降雨環境中，考慮拉索表面形成水線。因此，在這一小節中，將討論有水線形成，且有雨滴沖擊時拉索的運動方程。首先進行如下假設：①不考慮拉索的面外振動；②上水線的振動頻率與拉索相同；③上水線的初始位置是風速的函數，且水線運動形式為諧振動；④水線的質量很小，可以忽略不計；⑤認為下水線對拉索振動無影響，只考慮上水線的影響；⑥不考慮軸向流的作用；⑦在計算微分方程時考慮拉索的靜力構形作為計算初始條件；⑧節段拉索端部假定為鉸接形式；⑨由于水線的存在，認為雨滴與拉索之間的碰撞為完全非彈性碰撞；⑩忽略水線對拉索的壓力；忽略水線與拉索之間的相互作用力。

拉索空間布置如圖1所示，有水線拉索橫截面模型如圖3所示。首先考慮風荷載的影響，此時按照平行四邊形法則將U0分解到正交平面內，在正交平面內風速大小用U表示，風速與水平方向的夾角(即風攻角)用γ表示，即

(13)

(14)

式中：ε為上水線對來流駐點影響的修正系數，本文修正系數取0.4。

圖3 有水線拉索橫截面模型Fig.3 Cross section model of rivulets

進一步考慮相對風速和相對風攻角，建立矢量運算圖(見圖3)，可以得到相對風速Urel和相對風攻角Urel的表達式分別為

(15)

(16)

參考Wilde等假定水線的振動為諧振動，水線的振動幅值是風速的函數。本文假設水線運動滿足該方程，即

(17)

式中：A為水線運動振幅；ω為水線振動頻率(等于拉索固有頻率)；Umax為當拉索產生最大振幅時的平均風速，采用試算法進行確定，系數a1和a2分別考慮為a1=0.448，a2=1.584 2。

上水線初始位置為平均風速的函數如下所示

(18)

則氣動力如下所示

(19)

式中：φefc為有效風攻角，如下所示

φefc=φrel-θ-θi

(20)

下面分析雨滴沖擊荷載。雨滴黏附于拉索表面運動，故考慮雨滴與拉索的碰撞為完全非彈性碰撞，根據圖3，應用沖量定理可得單個雨滴的沖擊力，如下所示

(21)

Fre=2mr(U0sinαsinβ)2/Dr=πρrDr2(U0sinαsinβ)2/3

(22)

式中：mr為雨滴質量；Dr為雨滴的有效直徑；ρr為雨滴密度。

通過考慮M-P雨滴譜將單個雨滴的沖擊力轉化成大量雨滴的沖擊力，表達式如下所示

Fr=αDcFrs/Ar=N0πρrDc(U0sinαsinβ)2/(3λ4)

(23)

式中：α為雨滴在空氣中的占有率，α=πDr3N(Dr)/6，N(Dr)為M-P雨滴譜，其形式為N(Dr)=N0exp(-λDr)，其中N0=8 000，λ為斜率因子，λ=4.1I-0.21，I為降雨強度。

根據D′Alembert原理推導出拉索單自由度振動微分方程為

(24)

將式(19)和式 (23)代入式(25)，整理后可得拉索運動微分方程

(25)

通過比較式(10)和式(23)，發現在雨滴沖擊荷載公式中并不包含拉索振動項，故可以明確這樣一個問題，雨滴沖擊荷載是可以獨立出來的，與拉索的振動無關，因此在分析雨荷載的沖擊時可以單獨考慮；此外可以知道，兩種情況下的雨滴沖擊荷載是兩倍關系，然而實際情況是介于這兩者之間，于是針對沖擊荷載引入沖擊系數μ，如下所示

Fr=(1+μ)N0πρrDc(U0sinαsinβ)3/(3λ4)

(26)

式中：μ的取值范圍為0～1，且當取值為1時應運用式 (12)進行計算。

則有沖擊荷載的拉索風雨激振運動方程如下所示

(27)

2 風雨激振運動方程不同簡化方式比較分析

通過前面的討論，建立了有雨滴沖擊荷載的拉索振動微分方程；而且可以知道雨滴沖擊荷載是獨立的，與拉索本身的振動無關，因此在分析方程其他問題時可以將雨滴沖擊荷載暫時忽略。在準運動水線風雨激振方程中，水線與拉索的耦合導致運動方程非常復雜。為方便求解，許多學者針對該運動方程提出了不同的簡化方法，而這些簡化對最后結果的影響目前并沒有被詳細討論。然而隨著計算工具的不斷發展，現在可以直接求解拉索風雨激振方程，不需要簡化。故本節討論的問題是，未施加沖擊荷載時，簡化方程與未簡化方程求解拉索運動方程的差別。

以單位長度質量為10.2 kg，阻尼比為0.007，直徑為0.14 m的節段拉索為例進行討論。對拉索施加平均風速，得到在不同風速情況下拉索振動時程曲線。取固有頻率為1 Hz的拉索，繪制時程曲線如圖4～圖7所示，其中圖4為Wilde等模型1的簡化形式，圖5為Xu等的簡化形式，圖6為何向東等的簡化形式，圖7為未進行簡化時拉索振動時程曲線，風速分別為9 m/s，11.6 m/s，15 m/s時拉索振動曲線。首先比較時程曲線，可以看到圖4和圖7比較接近，圖5和圖6差距較大，這說明Wilde等的簡化方式所計算的結果更加接近未簡化方程的數值解。其次繪制風速-振幅曲線，如圖8所示，頻率分別為1 Hz，2 Hz，3 Hz時拉索振動曲線。從總體上來看基本都符合風雨激振的基本特性，皆隨風速先增大后減小，而Wilde等的簡化方式中數值更加接近未簡化的值。

圖4 Wilde等模型1的拉索振動曲線Fig.4 The cable oscillation curve of wind induced vibration of Wilde,et al model 1

圖6 何等的拉索振動曲線Fig.6 The cable oscillation curve of rain-wind-induced vibration of He,et al

圖7 未簡化的拉索振動曲線Fig.7 The cable oscillation curve of rain-wind-induced vibration of no simplification

3 風雨激振不同情況分析

通過比較簡化與未簡化之間的差別，可以知道簡化方法非常重要，未處理好對結果影響非常大，甚至改變振動特點；此外，在簡化過程會形成復雜的公式，容易疏忽，將公式弄錯，這也會造成不小的問題。基于這個考慮，在可以求解的情況下，本文認為運用原始方程討論更加合理。從兩個方面進行討論：①形成水線的條件下，施加沖擊荷載與不施加沖擊荷載時拉索振動的差別，同時對沖擊系數μ及降雨強度進行討論；②未形成水線的條件下，施加沖擊荷載與不施加沖擊荷載時拉索振動的差別，及不同降雨強度的影響。

討論①：首先討論能形成水線的情形；拉索屬性同前，取沖擊系數值為0.5，可以得到固有頻率為1 Hz，2 Hz和3 Hz的拉索在不同風速時的振幅，分別繪制成拉索的風速-振幅曲線如圖9所示。從圖9可知，當風速為5～17 m/s時，施加沖擊荷載的振幅曲線幾乎與未施加沖擊荷載的振幅曲線重合，這說明在這個風速范圍內雨滴沖擊荷載的影響很小幾乎可以不考慮。

圖8 不同頻率拉索的風速-振幅曲線Fig.8 The curve of wind speed-amplitude of the cable with different frequency

圖9 不同頻率拉索的風速-振幅曲線Fig.9 The curve of wind speed-amplitude of the cable with different frequency

圖10 沖擊系數-振幅曲線Fig.10 Impact coefficient-amplitude curve

討論②：針對無水線的討論如下；拉索屬性同前，取沖擊系數值為0.5，可以得到拉索在不同風速時的振幅，繪制成風速-振幅曲線如圖12所示。從圖12可知，當風速為30～80 m/s時，施加沖擊荷載的振幅曲線遠大于未施加沖擊荷載的振幅曲線，且隨著風速的增大它們之間的差距越來越大，這說明在這個風速范圍內雨滴沖擊荷載的影響非常大，不能忽略。同討論①，降雨強度振幅曲線如圖13所示，從圖13可知，隨著降雨強度的增大，拉索振幅會減小，但是差距并不是很大；說明降雨強度會影響沖擊力大小。

圖11 降雨強度-振幅曲線Fig.11 Rainfall intensity-amplitude curve

圖12 無水線的風速-振幅曲線Fig.12 Wind speed-amplitude curve of no rivulet

圖13 降雨強度-振幅曲線Fig.13 Rainfall intensity-amplitude curve

在本小節從兩個方面討論了沖擊荷載的作用，首先是低風速能形成水線的情況，通過分析發現，在低風速范圍內雨滴沖擊荷載的影響很小幾乎可以不考慮；然后分析了在強風環境下的雨滴沖擊作用，知道雨滴沖擊荷載的影響非常大，且隨著風速的增大它們之間的差距越來越大。由此得出結論，在低風速環境下雨滴沖擊荷載可以忽略，在強風環境時，雨滴沖擊荷載較大，不能忽略。

4 結 論

(1)傳統對拉索施加雨滴沖擊荷載的討論還比較少，從風雨環境來說，風雨荷載肯定會同時存在，對風雨環境下拉索承受雨滴沖擊荷載進行了討論。由于拉索與雨滴之間的相互作用，在考慮雨滴沖擊時，必須考慮拉索本身的振動對雨滴沖擊力的影響，通過動量定理對其的分析，可以發現由于雨滴質量與拉索質量相比非常小，關于雨滴沖擊力的計算，可以忽略拉索本身振動的影響，即雨滴沖擊力可以作為單獨的部分進行討論。

(2)關于風雨激振準運動水線方程的求解問題一直以來都非常重要，許多學者對單自由度準運動水線進行了處理，本文比較了幾種不同的處理辦法對最后結果的影響，Wilde等簡化處理比較接近未簡化的結果；但是在簡化的過程中很明顯會使方程變得更加復雜，在可以求解方程的情況下，顯然采用原方程將會更加簡潔明了。

(3)關于沖擊力對拉索的影響有多大，對于這個問題分別從低風速能形成水線和高風速不能形成水線兩個方面進行了討論，結果表明在低風速環境下雨滴沖擊荷載的影響很小可以忽略，而在強風環境時沖擊荷載則非常大，隨風速的增大而增大。