參數較小的最優局部修復碼的構造

蔣靜 李勇剛

摘? ?要：局部修復碼（locally Repairable codes）可用于提高分布式存儲系統的修復效率。在假設局部修復碼有多個互不相交修復集合，且每一個修復集合只包含一個校驗元的前提下，Cai等人給出了局部修復碼和組合結構填充（Packing）的關系?；谶@樣的關系，文中利用組合結構填充，平衡不完全區組設計（Balanced Incomplete Block Design），可分組設計（Group Divisible Design）等，構造了參數較小的局部修復碼。同時，利用已知結果可以證明，這些局部修復碼都達到了最優極小距離，即是最優的。

關鍵詞：局部修復碼? 分布式存儲系統? 最優極小距離? 填充? 平衡不完全區組設計? 可分組設計

中圖分類號：TN911? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1674-098X（2019）05（b）-0135-06

在存儲數據時，由于出現存儲設備故障或者軟件故障等原因造成數據丟失會時常發生。為了應對此類情況的發生，最簡單的方法是直接復制所有數據。顯然，這種方法并不適用于海量數據的存儲。為了解決這樣的問題，人們提出了分布式存儲系統的概念。

在分布式存儲系統中，原始數據被分成k個等大小的片段，然后被編碼成n個片段存儲在n個不同的節點中，使得只用連接其中部分節點就可以獲取所需要的數據。在實際的系統中，人們一般使用[n，k]極大距離可分碼（Maximum Distance Separable Code，簡記為[n，k]-MDS code）來對數據進行編碼，因為相對于簡單的復制來說[1]，它具有更強的容錯性能和較高的數據可靠性。對于一個[n，k]-MDS碼，當要修復1個節點時，我們需要連接k個節點。在大規模分布式存儲系統中，k的值很大，從而導致了系統在修復數據時的低效性。

為了改善這個問題，Huang等[2]提出了局部修復碼（Locally Repairable Codes，LRC）的概念，即1個失效的存儲節點可以通過連接其他至多r<

當一個節點和它的修復節點都有故障出現時，節點修復不能在局部執行，這時，每個節點有多個修復集合的局部修復碼更可取。Wang等[3]提出了[（r，δ）]c-局部度的概念，即對于一個局部修復碼來說，如果一個節點可以被其他節點的δ-1個不相交集合分別修復，那么我們稱這種碼具有[（r，δ）]c-局部度。

到目前為止，有一些文獻討論了極小距離的界并構造了一些局部修復碼，如參考文獻[1-14]。但是，關于有多個（δ-1≥2）互不相交的修復集合的局部修復碼的結果很少。Wang等[3]證明了這樣的局部修復碼有兩個限定條件：（1）碼長要非常長，即n≥k（r（δ-1）+1），其中所有修復組的大小都不大于r;（2）有限域的大小q要足夠大，即。顯然這是不切實際的。

2014年，Rawat等[5]在假設每一個修復集合只包含一個校驗元的前提下，構造了三類最優局部修復碼。最近，Cai等[15]基于這樣的假設，討論了局部修復碼與組合結構填充（packing）的關系，并利用填充構造了一些最優局部修復碼。

本文基于文獻[15]的結果，利用一些組合設計結構，如平衡不完全區組設計和可分組設計構造了若干滿足要求的填充，并得到了相應的最優局部修復碼。

1? 相關概念

1.1 局部修復碼

首先我們給出下列記號。

對正整數n，記[n]={1，2，…，n}。

對質數冪q，IFq表示含有q個元素的有限域。

對向量x=（x1，x2，…，x]n）∈IFqn，記[（x1，x2，…，xn）]T為列向量。

一個IFq上的[n，k]q線性碼指指IFqn的一個k維子空間，并令其生成矩陣為G=（g1，g2，…，gn），其中gi為k維列向量，1≤i≤n。若碼的最小距離為d，我們也稱是一個[n，k，d]q線性碼。我們把[n，k，d]2線性碼簡記為[n，k，d]。

對任意子集S[n]，|S|表示集合的大小，span（S）表示由{gi|i∈S}生成的IFq上的線性空間，rank（S）表示span（S）的維數。

定義1[2]：對G中任意列向量gi，1≤i≤n，定義Loc（gi）為滿足以下條件的最小的整數r：存在S={i1，i2，…，ir}[n]＼{i}，使得gi∈span（S），即存在λt∈IFq，1≤t≤r，使得。對任意S[n]，定義Loc（S）=。對一個[n，k，d]q線性碼 ，若存在一個集合S[n]，使得rank（S）=k，且Loc（S）=r，則稱具有信息局部度r。

定義2[3][11][15]：設是一個[n，k，d]q線性碼，且其生成矩陣為G=（g1，g2，…，gn）。

若對gi，

1≤i≤n，存在δ-1個兩兩不交的集合R1（i），

使得≤r，且（稱為gi的一個修復集），1≤j≤δ，則稱gi具有（r，δ）c局部度。若存在一個子集S[n]，使得rank（S）=k，且對任意i∈S，我們都有gi具有（r，δ）c局部度，則稱擁有信息（r，δ）c局部度。若每個修復集合恰好包含一個校驗碼元，則稱擁有信息（r，δ）c局部度。

在文獻[11]中，給出了擁有信息（r，δ，1）c局部度的[n，k，d]q線性碼最小距離的界。

引理1[11]：對于一個擁有信息（r，δ，1）c局部度的[n，k，d]q線性碼來說，

若一個擁有信息（r，δ，1）c局部度的[n，k，d]q線性碼滿足d=n-k-，則稱它是最優的。

1.2 組合設計結構

填充是一種經典的組合結構，被廣泛地應用于構造光正交碼[17-20]。

定義3[22]：設R是正整數集的一個子集，k≥2是一個整數。設X是一個包含k個元素的集合，是X的一些子集（稱為區組）組成的集合。若X，滿足以下條件：

（1）對任意B∈，有|B|∈R;

（2）任意點對{x，y}X至多包含于一個區組中;

則稱（X，）為一個（k，R，1）-填充。

若R=R'∪{s}，且（k，R，1）-填充中恰有一個區組的長度為s，則我們將（k，R，1）填充記為（k，R'∪{s*}，1）-填充。若R={r}，則我們把（k，R，1）-填充簡記為（k，r，1）-填充。若在一個（k，r，1）-填充中，任意點對{x，y}X恰好出現在一個區組中，則我們稱其為（k，r，1）平衡不完全區組設計（Balanced Incomplete Block Design），記為（k，r，1）-BIBD。若在一個（k，R，1）-填充中，X中的每個元素恰包含于g個區組中，則我們稱此填充是正則的，記為g-正則（k，R，1）-填充。

定義4[22]：設（X，）為一個（k，R，1）-填充。若（X，）滿足以下條件：

（1），且對任意i≠j∈[g]，有;

（2）對任意i∈[g]，i是X的一個劃分（稱為平行類），即，且對任意B≠B′∈i，有B∩B'=;

則稱（X，）是可分解的，記為可分解（k，R，1;g）-填充。

顯然一個可分解（k，R，1;g）-填充是一個g-正則（k，R，1）-填充。若在一個可分解（k，r，1;g）-填充中，任意點對{x，y}X恰好出現在一個區組中，則我們稱其為可分解（k，r，1）-平衡不完全區組設計，記為（k，r，1）-RBIBD。

1.3 局部修復碼和填充的關系

Cai等[15]證明了局部修復碼與填充有以下關系。

引理1[15]：設k，δ，r是正整數，且滿足下列條件中的一個條件：

C1：δ≥4;

C2：δ=3，k≥2r或k=r+κ，其中≤κ<或≤κ

C3： δ=2， k≥2r或k=r+κ，其中≤κ

若r| k（δ-1），則擁有局部信息（r，δ，1）c的對稱碼是最優的，當且僅當存在一個（δ-1）-正則（k，r，1）-填充。

引理2[15]：設k，δ，r是正整數，且滿足引理1中C1-C3中的一個條件。若k（δ-1）≡r-1（modr），則擁有局部信息 （r，δ，1）c的對稱碼是最優的，當且僅當

（1） 存在一個區組個數為的（k，r，1）-填充。

（2） 存在一個（δ-1）-正則（k，{r，（r-1）*}，1）-填充。

本文將考慮r=3的情況。由以上兩個引理我們可以得到以下引理。

引理3：設k，δ是正整數且滿足引理1中C1-C3中的一個條件。若k（δ-1）≡0，2（mod3），則擁有局部信息（3，δ，1）c的對稱碼是最優的，當且僅當

（1） 存在一個（δ-1）-正則（k，3，1）-填充，或

（2） 存在一個（δ-1）-正則（k，{3，2*}，1）-填充。

本文將通過構造滿足要求的填充，并利用上述引理得到以下結果。

定理1：設k≤21，δ是正整數，且k（δ-1）≡0，2（mod3）。若 k，δ滿足下面條件中的一個條件：

C1：? δ≥4;

C2： δ=3，k≥6;

C3： δ=2，k≥5;

則存在一個擁有局部信息（r，δ，1）c的最優對稱碼。

由引理3，為了得到定理1，我們需要構造相應的填充。顯然，當R∈{{3}，{3，2*}}時，由填充的定義可知，在（k，R，1）-填充中，每個點出現的次數不大于，所以δ-1≤。因此，我們只需構造表1中列出的填充。

2? 最優局部修復碼的構造

本節將構造表1中列出的所有填充。首先我們考慮 δ-1=1的情況。

引理4：設k≥4是一個整數。

（1） 若k≡0 （mod 3），則存在一個 1-正則（k，3，1）-填充。

（2） 若k≡2 （mod 3），則存在一個 1-正則（k，{3，2*}，1）-填充。

證明：（1）當k≡0（mod 3）時，設X={0，1，…，k-1}。對任意1≤i≤，取

Bi={（i-1）3，（i-1）3+1，（i-1）3+2}

且{Bi|1≤i≤k/3}。則（X，）是一個1-正則（k，3，1）-填充。

（2）當k≡2 （mod 3）時，設 X={0，1，…，k-1}。對任意1≤i≤，取

Bi={（i-1）3，（i-1）3+1，（i-1）3+2}，

且。

則（X，）是一個1-正則（k，{3，2*}，1-填充。

推論1：（1）存在一個1-正則（k，3，1）-填充，其中 k∈{6，9，12，15，18，21}。

（2）存在一個1-正則（k，{3，2*}，1）-填充，其中 k∈{5，8，11，14，17，20}。

引理5：若存在一個（k，3，1）-RBIBD，則存在一個g-正則 （k，3，1）-填充，其中1≤g≤。

證明：設（X，）是一個（k，3，1）-RBIBD。則（X，）有個平行類，記為i，1≤i≤。對任意1≤g≤（k-1）/2，取。則（X，（g））即為一個g-正則 （k，3，1）-填充。

引理6[22]：存在一個（k，3，1）-RBIBD，其中k∈{9，15，21}。

推論2：存在一個g-正則（k，3，1）-填充，其中k∈{9，15，21}，1≤g≤。

下面我們將利用可分組設計構造填充。

定義5[22]：設R和H都是正整數集的子集，k≥2是一個整數。設X是一個包含k個元素的集合，是X的一個劃分（中的元素被稱為組），是X的一些子集（稱為區組）組成的集合。若滿足以下條件：

（1） 對任意B∈B，有 |B|∈R;

（2） 不同組的任意兩個元素恰包含于一個區組中;

（3） 同一組的任意兩個元素不包含于同一個區組中;

（4） | |>1;

則稱為一個可分組設計（Group divisible design），記為R-GDD。

若R={r}，則將R-GDD簡記為r-GDD。若在一個r-GDD 中，若||=u且對任意G∈，都有|G|=h，則稱是一個型為hu的r-GDD。更進一步，若一個型為hu的r-GDD 滿足定義4中的條件（1）和（2），則稱其為可分的，記為型為hu的r-RGDD。

引理7：若存在一個型為hu的3-RGDD，則存在一個g-正則（hu，3，1）-填充，其中1≤g≤

證明：設是一個型為?u的3-RGDD。我們首先證明（X，）是一個-正則可分解（hu，3，1）-填充。因為是一個型為?u的3-RGDD，所以對任意B∈，有|B|=3，且對于不同組的任意兩個元素x，y來說，{x，y}恰包含于一個區組中。顯然 X 中的任意一個點在中出現的次數為

即證。因為是一個型為RGDD，所以（X，）是一個可分解（?u，3，1）-填充。

下面我們將構造一個g-正則 （hu，3，1）-填充，其中1≤g≤因為（X，）是一個-正則可分解 （hu，3，1）-填充，所以（X，）有個平行類，記為i， 1≤i≤。對任意1≤g≤，取

1≤i≤g}。則即為一個g-正則（k，3，1）-填充。即證。

引理8[22]：存在一個型為hu的3-RGDD，其中（h，u）∈{（4，3），（2，9）}。

推論3：存在一個g-正則（hu，3，1）-填充，其中（h，u）∈{（4，3），（2，9）}，1≤g≤。

引理9：若存在一個（k，3，1）-BIBD，則存在一個-正則 （k，3，1）-填充、一個-正則 （k-1，3，1）-填充和一個-正則 （k-2，{3，2*}，1）-填充。

證明：設（X，）是一個（k，3，1）-BIBD。顯然（X，）是一個正則（k，3，1）-填充。

設x∈X，且。則為一個-正則（k，1，3，1）-填充，所以。 因此存在一個點z∈X＼x，使得。在中取一個包含z的區組Bz。則即為一個-正則 （k-2，{3，2*}，1）-填充。

引理10[22]：存在一個（k，3，1）-BIBD，其中 k∈{7，9，13，15，19，21}。

推論4：（1） 存在一個 g-正則（k，3，1）-填充，其中（k，g）∈{（7，3），（6，2），（9，4），（8，3），（13，6），（12，5），（15，7），（14，6），（19，9），（18，8），（21，10），（20，9）}。（2） 存在一個 g-正則 （k，{3，2*}，1）-填充，其中（k，g）∈{（7，2），（11，4），（13，5），（17，7），（19，8）} 。

引理11：存在一個g-正則（k，3，1）-填充，其中（k，g）∈{（11，3）， （13，3），（14，3），（16，3），（16，6），（17，3），（17，6），（19，3），（19，6），（20，3），（20，6）}。

證明：設X={0，1，…，k-1}。我們構造g-正則（k，3，1）-填充的區組集（（k，g））如下：

（11，3）={{0，1，3}，{1，2，4}，{2，3，5}，{3，4，6}，{4，5，7}，

{5，6，8}，{6，7，9}，{7，8，0}，{8，9，1}，{9，0，2}};

（13，3）={{0，1，4}，{1，2，5}，{2，3，6}，{3，4，7}，{4，5，8}，

{5，6，9}，{6，7，10}，{7，8，11}，{8，9，12}，{9，10，0}，

{10，11，1}，{11，12，2}，{12，0，3}};

（14，3）={{0，1，4}，{1，2，5}，{2，3，6}，{3，4，7}，{4，5，8}，

{5，6，9}，{6，7，10}，{7，8，11}，{8，9，12}，{9，10，13}，

{10，11，0}，{11，12，1}，{12，13，2}，{13，0，3}};

（16，3）={{0，1，4}，{1，2，5}，{2，3，6}，{3，4，7}，{4，5，8}，

{5，6，9}，{6，7，10}，{7，8，11}，{8，9，12}，{9，10，13}，

{10，11，14}，{11，12，15}，{12，13，0}，{13，14，1}，

{14，15，2}，{15，0，3}};

（16，6）={{0，1，4}，{1，2，5}，{2，3，6}，{3，4，7}，{4，5，8}，

{5，6，9}，{6，7，10}，{7，8，11}，{8，9，12}，{9，10，13}，

{10，11，14}，{11，12，15}，{12，13，0}，{13，14，1}，

{14，15，2}，{15，0，3}，{0，2，7}，{1，3，8}，{2，4，9}，

{3，5，10}，{4，6，11}，{5，7，12}，{6，8，13}，{7，9，14}，

{8，10，15}，{9，11，0}，{10，12，1}，{11，13，2}，

{12，14，3}，{13，15，4}，{14，0，5}，{15，1，6}};

（17，3）={{0，1，4}，{1，2，5}，{2，3，6}，{3，4，7}，{4，5，8}，

{5，6，9}，{6，7，10}，{7，8，11}，{8，9，12}，{9，10，13}，

{10，11，14}，{11，12，15}，{12，13，16}，{13，14，0}，

{14，15，1}，{15，16，2}，{16，0，3}};

（17，6）={{0，1，4}，{1，2，5}，{2，3，6}，{3，4，7}，{4，5，8}，

{5，6，9}，{6，7，10}，{7，8，11}，{8，9，12}，{9，10，13}，

{10，11，14}，{11，12，15}，{12，13，16}，{13，14，0}，

{14，15，1}，{15，16，2}，{16，0，3}}，{0，2，7}，{1，3，8}，

{2，4，9}，{3，5，10}，{4，6，11}，{5，7，12}，{6，8，13}，

{7，9，14}，{8，10，15}，{9，11，16}，{10，12，0}，

{11，13，1}，{12，14，2}，{13，15，3}，{14，16，4}，

{15，0，5}，{16，1，6}};

（19，3）={{0，1，4}，{1，2，5}，{2，3，6}，{3，4，7}，{4，5，8}，

{5，6，9}，{6，7，10}，{7，8，11}，{8，9，12}，{9，10，13}，

{10，11，14}，{11，12，15}，{12，13，16}，{13，14，17}，

{14，15，18}，{15，16，0}，{16，17，1}，{17，18，2}，

{18，0，3}};

（19，6）={{0，1，4}，{1，2，5}，{2，3，6}，{3，4，7}，{4，5，8}，

{5，6，9}，{6，7，10}，{7，8，11}，{8，9，12}，{9，10，13}，

{10，11，14}，{11，12，15}，{12，13，16}，{13，14，17}，

{14，15，18}，{15，16，0}，{16，17，1}，{17，18，2}，

{18，0，3}，{0，2，7}，{1，3，8}，{2，4，9}，{3，5，10}，

{4，6，11}，{5，7，12}，{6，8，13}，{7，9，14}，{8，10，15}，

{9，11，16}，{10，12，17}，{11，13，18}，{12，14，0}，

{13，15，1}，{14，16，2}，{15，17，3}，{16，18，4}，

{17，0，5}，{18，1，6}};

（20，3）={{0，1，4}，{1，2，5}，{2，3，6}，{3，4，7}，{4，5，8}，

{5，6，9}，{6，7，10}，{7，8，11}，{8，9，12}，{9，10，13}，

{10，11，14}，{11，12，15}，{12，13，16}，{13，14，17}，

{14，15，18}，{15，16，19}，{16，17，0}，{17，18，1}，

{18，19，2}，{19，0，3}};

（20，6）={{0，1，4}，{1，2，5}，{2，3，6}，{3，4，7}，{4，5，8}，

{5，6，9}，{6，7，10}，{7，8，11}，{8，9，12}，{9，10，13}，

{10，11，14}，{11，12，15}，{12，13，16}，{13，14，17}，

{14，15，18}，{15，16，19}，{16，17，0}，{17，18，1}，

{18，19，2}，{19，0，3}，{0，2，7}，{1，3，8}，{2，4，9}，

{3，5，10}，{4，6，11}，{5，7，12}，{6，8，13}，{7，9，14}，

{8，10，15}，{9，11，16}，{10，12，17}，{11，13，18}

{12，14，19}，{13，15，0}，{14，16，1}，{15，17，2}，

{16，18，3}，{17，19，4}，{18，0，5}，{19，1，6}}。

引理12：存在一個g-正則（k，{3，2^* }，1）-填充，其中（k，g）∈{（10，2），（13，2），（14，4），（16，2），（16，5），（17，4），（19，5），（20，4），（20，7）}。

證明：設X={0，1，…，k-1}。我們構造 g-正則（k，{3，2^* }，1）-填充的區組集B^（（k，g））如下：

（10，2）={{8，9}，{0，1，2}，{0，3，4}，{1，3，5}，{2，4，6}，

{5，7，8}，{6，7，9}};

（13，2）={{11，12}，{0，1，2}，{0，3，4}，{1，3，5}，{2，4，5}，

{6，7，8}，{6，9，10}，{7，9，11}，{8，10，12}};

（14，4）={{12，13}，{0，1，2}，{0，3，4}，{0，5，6}，{0，7，8}，

{1，3，5}，{1，4，6}，{1，7，9}，{2，3，6}，{2，4，5}，{2，7，10}，

{3，8，11}，{4，9，12}，{5，10，13}，{6，11，12}，{7，11，13}

{8，9，13}，{8，10，12}，{9，10，11}};

（16，2）={{14，15}，{0，1，2}，{0，3，4}，{1，3，5}，{2，4，5}，

{6，7，8}，{6，9，10}，{7，9，11}，{8，10，12}，{11，13，14}，

{12，13，15}};

（16，5）={{12，13}，{0，1，2}，{0，3，14}，{0，5，6}，

{0，7，13}，{0，9，10}，{1，3，5}，{1，4，6}，{1，7，9}，{1，8，10}，

{2，3，6}，{2，4，5}，{2，8，9}，{2，11，14}，{3，7，11}，

{3，8，12}，{4，7，12}，{4，8，11}，{4，10，15}，{5，9，13}，

{5，11，15}，{6，7，15}，{6，9，14}，{8，13，15}，{10，11，12}，

{10，13，14}，{12，14，15}};

（17，4）={{14，15}，{0，1，2}，{0，3，4}，{0，5，16}，

{0，7，8}，{1，3，5}，{1，4，6}，{1，7，9}，{2，3，6}，

{2，4，5}，{2，7，10}，{3，7，11}，{4，8，9}，{5，8，10}，

{6，8，12}，{6，13，16}，{9，12，15}，{9，13，14}，{10，11，14}，

{10，13，15}，{11，12，13}，{11，15，16}，{12，14，16}};

（19，5）={{16，18}，{0，1，2}，{0，3，13}，{0，9，10}，

{0，14，15}，{0，17，18}，{1，3，5}，{1，4，6}，{1，7，9}，

{1，8，10}，{2，3，6}，{2，4，5}，{2，7，10}，{2，13，17}，

{3，7，11}，{3，8，12}，{4，7，12}，{4，8，11}，{4，13，14}，

{5，6，15}，{5，9，11}，{5，10，12}，{6，9，12}，{6，13，16}，

{7，14，16}，{8，14，18}，{8，15，17}，{9，15，18}，{10，14，17}，

{11，13，18}，{11，15，16}，{12，16，17}};

（20，4）={{17，19}，{0，1，2}，{0，3，4}，{0，5，6}，{0，7，8}，

{1，3，5}，{1，4，6}，{1，7，9}，{2，3，6}，{2，4，5}，{2，7，10}，

{3，7，11}，{4，8，16}，{5，8，10}，{6，8，11}，{9，10，11}，

{9，12，13}，{9，15，16}，{10，12，14}，{11，14，18}，{12，15，17}，

{12，18，19}，{13，14，17}，{13，15，18}，{13，16，19}，

{14，15，19}，{16，17，18}};

（20，7）={{15，16}，{0，1，2}，{0，3，18}，{0，7，8}，

{0，9，10}，{0，11，12}，{0，13，14}，{0，16，19}，{1，3，5}，

{1，4，6}，{1，7，16}，{1，11，13}，{1，12，17}，{1，18，19}，

{2，3，6}，{2，4，5}，{2，7，10}，{2，11，14}，{2，13，15}，

{2，16，18}，{3，7，12}，{3，8，16}，{3，9，13}，{3，10，14}，

{4，8，19}，{4，9，14}，{4，10，18}，{4，12，15}，{4，16，17}，

{5，6，19}，{5，7，13}，{5，8，14}，{5，9，15}，{5，10，12}，

{6，7，14}，{6，8，13}，{6，10，11}，{6，15，17}，{7，17，19}，

{8，9，17}，{8，15，18}，{9，12，18}，{9，11，16}，{10，13，17}，

{11，15，19}，{11，17，18}，{12，14，19}}。

定理1的證明：由推論1-4和引理11-12可知，存在一個（δ-1）-正則（k，R，1）-填充，其中（k，δ-1，R）的值為表1中列出的值。由引理3可知，存在一個擁有局部信息（r，δ，1）c的最優 對稱碼。

3? 結語

本文構造了參數較小的最優局部修復碼，即基于文獻[15]的結果，利用一些組合設計結構，構造了當k（δ-1）≡0，2（mod 3）且k≤21時，擁有局部信息（3，δ，1）c的最優對稱碼。本文方法也可以用于構造k>21時的最優局部修復碼，但這樣的局部修復碼結構較復雜、相應的構造也更加困難，需要對構造方法做進一步地改進。

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