復雜邊界矩形板聲輻射特性研究

隗世松 樸金生 張旭萬 王剛

摘?要：本文以矩形板-重流體（水）聲振耦合為研究對象，探究了任意安裝邊界條件下板輻射聲問題。板的振動位移函數通過譜幾何法獲取，即假設板的振動位移由傅里葉余弦級數添加相應的附加項，其中余弦項可用于分析四邊固支板的振動模態，而附加項的添加則是處理在非固支邊界時僅用余弦項帶來的邊界不連續問題，同時附加項能高效率的提高結果的收斂性。本文建立了板-水聲振耦合模型，通過將流體對板的做功加入拉格朗日方程，并同時利用瑞麗輻射聲積分公式來建立二者強耦合模型，該耦合模型可用于分析板在水或空氣中的輻射聲問題。

關鍵詞：矩形板;重流體;聲振耦合;聲輻射

板結構的輻射聲問題一直是眾多學者的研究對象，并得到了深入的研究。當前大量的研究工作集中于板向空氣中輻射噪聲模型，而該類問題無需考慮聲波對板的反作用;但當板浸入在水中或其他重流體中時，流體對板的發作用需加以考慮。本文以此為研究對象，展開相應的研究工作。

板的輻射聲問題得到一定研究，這其中包括板同聲場的耦合以及板的隔聲特性。在板的隔聲性能分析上，Sabin[1]分析了板中含縫隙時結構的隔聲特點，London[2]研究了不同入射波情況下板的隔聲性能，為研究入射聲功率問題，部分學者[3]，[4]通過角度積分來實現該功率的數值計算。當聲波達到同系統耦合頻率相同時，板的隔聲性能大大降低。[5]-[7]當結構的邊界條件發生變化時，板的隔聲性能將相應的發生變化，其中Chiello[8]分析了不同邊界情況下系統的隔聲性，為結構邊界的優化點明方向。

當前針對水中的板輻射問題未得到充分研究，且任意安裝邊界條件下板的水中聲輻射問題未得到實質研究，因此本文以此為研究對象，展開相應的理論研究，并驗證本方法的準確性。

1 理論推導

圖1所示為矩形薄板，不考慮轉動慣量，板的尺寸為a×b×h，為分析不同邊界下板的振動情況，在板的四周采用彈簧進行支撐，彈簧剛度分別是：橫向彈簧kx0，kxa，ky0，kyb和扭轉彈簧Kx0，Kxa，Ky0，Kyb，當板收到點力或面力F（x，y）作用時，則相應的拉格朗日泛函為：

Lplate=Uplate-Tplate-WF（1）

其中Upanel、Tpanel和WF的采用是為了得到勢能、動能和外力功。

對于板的振動位移，本文采用傅里葉級數的譜分析方法。板各點的位移可以表示為：

W（x，y）=∑Mm=0∑Nn=0Amncosλamxcosλbny

+∑4j=1（ξjb（y）∑Mm=0cjmcosλamx

+ξja（x）∑Nn=0djncosλbny）（2）

為簡便計算，本文將帶有余項的傅里葉級數均展開成傅里葉余弦形式，即

W（x，y）=∑Mm=0∑Nn=0A-mncosλamxcosλbny（3）

其中：

A-mn=Amn+∑4l=1（β～lnclm+α～lmdln）（4）

系數α～lm和β～ln可以通過函數ξjb（y） 和ξja（x）的傅里葉余弦展開求得。

將公式（2），（3）和（4）代入拉格朗日方程（1），并采用瑞麗-利茲方法，即可獲取板的系統方程，如：

Kp-ω2MpA=F（5）

其中Kp，Mp，F和A分別表示剛度矩陣、質量矩陣、力矩陣和傅里葉系數矩陣，該方程的求解將獲得傅里葉級數的系數，即得到了板上各處的振動位移。

為獲取板外輻射聲場，本文采用瑞麗積分，設板表面的輻射聲壓為P（x，y，t）=p（x，y）ejωt，則p（x，y）可表示為：

p（x，y）=-iωρ02π∫b0∫a0w·（x′，y′）eikRRdx′dy′（6）

其中w·為板的表面振速，可以表示為w·=jωW（x，y）。k=ω/c為波數，R=（x-x′）2+（y-y′）2表示振動點和聲壓點的直線距離。考慮聲壓分布的任意性，則可將板表面聲壓幅值表示為：

p（x，y）=∑Mm=0∑Nn=0Pmncosλamxcosλbny（7）

將公式（7）代入（6），并利用傅里葉級數的正交性，兩邊同時乘以cosλamxcosλbny，并對板區域進行積分，表示成矩陣形式，則：

κP=ω2QA（8）

其中P是聲壓的傅里葉系數矩陣形式

結合方程（5）和（8），則此耦合系統的振動和聲輻射響應可由下式計算得到：

通過觀察公式（9）可以看出，板振動幅值系數不受板外聲場的影響，即本模型為弱耦合模型，若考慮輻射聲壓對于板振動的影響，則這種情況為強耦合，后文將對其進行相應分析。

板的輻射聲功率可以表示為：

W=12Re∫b0∫a0I（x，y）dxdy（10）

其中I（x，y）=Re（w·*（x，y）p（x，y））為板表面聲強，Re和*分別表示實部和復共軛。

板的輻射阻抗為：

Rrad=W〈w·2〉（11）

其中〈w·2〉表示板的平方振速。下文將采用實例來對板的聲輻射特性加以分析。

2 結果驗證及分析

為驗證本文所提模型的正確性，首先選取文獻[9]中的算例對本文進行驗證，板的幾何尺寸為邊長a=1 m，b=1 m，厚度h=1 mm，材料楊氏模量E=2×1011 Pa，密度7800 kg/m3。圖2為板的輻射效率，通過圖2可以看出，本方法計算輻射功率所得結果同文獻吻合良好。

本文以板的彈性阻尼為研究對象，分別計算了阻尼值為0001、0.01、0.03、0.1和0.3時板的輻射功率、振速和平均輻射效率，如圖3-5所示，通過圖可以看出，當板的阻尼增大時，板的輻射功率降低，但輻射效率提高，這跟板的近邊界效應有關。

3 結論

本文以水中板的聲輻射為研究對象，分析了任意邊界條件板的輻射聲問題，并通過同文獻結果比對驗證了本方法的準確性。本文分析了板在不同的阻尼條件下的聲輻射特性，發現高阻尼情況會降低板的輻射功率，但是板的輻射效率將得到提高。

參考文獻：

[1]Sabine P E.Weight as a determining factor in sound transmission.The Journal of the Acoustical Society of America，1932，4（1A）：38-43.

[2]London A.Transmission of reverberant sound through single walls.J.Research Nat.Bur.of Stand，1949，42（605）.

[3]Ungar E E，Beranek L L.Noise and vibration control.McGraw-Hill，New York，1971.

[4]Kang H J，Ih J G，Kim J S，et al.Prediction of sound transmission loss through multilayered panels by using Gaussian distribution of directional incident energy.The Journal of the Acoustical Society of America，2000，107（3）：1413-1420.

[5]Cremer L.Theory of the sound attenuation of thin walls with oblique incident.Architectural Acoustics，Bechmark papers in Acoustics，1942，10：367-399.

[6]Ljunggren S.Airborne sound insulation of thick walls.The Journal of the Acoustical Society of America，1991，89（5）：2338-2345.

[7]Davy J L.Predicting the sound insulation of single leaf walls：Extension of Cremers model.The Journal of the Acoustical Society of America，2009，126（4）：1871-1877.

[8]Chiello O，Sgard F C，Atalla N.On the use of a component mode synthesis technique to investigate the effects of elastic boundary conditions on the transmission loss of baffled plates.Computers & structures，2003，81（28）：2645-2658.

[9]Nelisse H，Beslin O，Nicolas J.A generalized approach for the acoustic radiation from a baffled or unbaffled plate with arbitrary boundary conditions，immersed in a light or heavy fluid[J].Journal of Sound and Vibration，1998，211（2）：207-225.