基于具體函數條件下的函數不等式問題

符玉袖

【摘要】：高中數學教學中，很多學生對函數不等式部分的知識掌握效果較差，尤其是求解中存在限制條件情況，學生的掌握質量進一步下降。基于對當前常用函數不等式問題解決方法的分析，本文對這些方法進行了總結，讓學生通過對這些方法的應用，高效解決函數不等式問題。

【關鍵詞】：函數不等式 函數條件 不等式解法

引言：在當前的數學考試中，對不等式的考察頻率升高，考察的題型已經從傳統的主觀題向客觀題方形擴展，要求學生根據不同的題型，選用不同的解題方法。就學生目前的學習效果上來看，很多學生對這些知識的掌握效果較差，無法滿足知識考察要求，導致該部分知識成為學生的主要失分點，所以在今后的教學中，要讓學生能夠更好掌握這些知識。

1 根據奇偶性和單調性判斷解法

高中數學中，函數性質學習中的一個重要內容為判斷函數的奇偶性，同時也重視講解函數的單調性質，當當前的數學考察中，若能夠應用函數奇偶性知識解題，通常會在題目中融合單調性知識，既考察了學生的綜合知識，也在一定程度上降低了難度【1】。

奇偶性的描述函數為：奇函數為f（-x）=-f（x），偶函數為f（x）=f（-x），同種奇偶性質的函數加減運算中為同一性質。對于函數的單調性，在學生的學習中很容易掌握，這一條件下，通過對這兩個知識的融合，可以讓學生更好解題。

有如下題目：函數f（x）=x2+|x|中，求函數值不小于2時的x定義域，函數值的大小。這道題的解法簡單，通過對函數值的分析，可以分析出該函數值狀態下，x的取值為±1。同時確定該函數為偶函數，并在x不小于0狀態下，函數為單調增函數，所以函數圖像的右半部分中，函數值不小于0狀態下，定義域為[1，+∞），從偶函數概念中可以得到，左半部分的定義域為（-∞，-1]。

2 構造函數解法

高中數學的知識類型很多，其中最重要的一部分知識為導數知識，在不等式求解中，一個重要方法為應用這種方法求解。

在構造函數中，首先要觀察題目中給出的具體條件，對于有兩個函數式的題目來說，通常應用這種構造函數的方式解答，再根據其余限定條件，確定是否需要對函數求導，需要求導的函數通常表現為，讓學生確定這兩個函數之間具體關系下的定義區間，具體的做法為，讓學生將題目中已知的函數相減，即可視作新構造的函數【2】。

例如有以下題目：函數f（x）=x/（1+x2），g（x）=2x，求當f（x）≥g（x）時，x的取值范圍。

在解題過程中，可以發現已知條件中的內容較少，無法之間代入數值，所以考慮的方法為構造函數，新的函數為h（x）=f（x）-g（x）=x/（1+x2）-2x，將新的函數同分后，編程h（x）=-（x+2x3）/（1+x2），由于在該函數中，發現分母始終大于0，所以計算中，無需經過求導構成，直接從函數符號和分子，即可確定h（x）與0的關系，當h（x）≥0時，則題目得解。

若將分母替換為（1-x2）時，則不可之間觀察出h（x）和0的關系，這種情況需要應用求導的方法求解。

3 極值法求解

當不等式求解中，應用導數公式能夠很好地求出具體數值，其中應用最為廣泛的為極值法。在這種方法的應用中，需要對被求函數求導，分析該函數的極值，但是需要注意的是，一些不等式函數的單調性不同，而極值為一個相對性的概念，不同取值范圍內容的函數機制都有一定不同，所以需要嚴格在取值范圍內，求出函數的極值，以確定最終的結果。

例如在以下題目中：f（x）=x2-lnx，判斷在[2，3]中，函數是否能夠大于7，在解題中，可發現該函數非奇非偶，同時無法確定單調性，所以應用求出極值的方法，確定在該范圍中的極值。

將f（x）求導后，則函數變為f（x）=2x-1/x，將函數處理后，分子為2x2-1，讓分子與0相等，則可以求出函數在（0，+∞）上的極值（需要注意lnx的定義域），但是這種求出的結果與題干中的取值范圍不符，所以在后續的計算中，需要分析在題干取值范圍上的極值，在此基礎上找到函數的極值，與7比較，得到最終的計算結果。

4 其余解法

在不等式函數的求解中，還含有其余重要方法，高中階段常用的方法主要為函數值代入和反證法。前者應用的概念為“寒暑加工廠”概念，即將f（x）視作一個符號，例如函數f（x2）=（1+x2）/x4中，確定函數的是否能夠小于2，可以將x2看做一個整體性參數，將其替換為s，在此基礎上求解。

對于反證法來說，應用方法為先建設題目中給出的條件能夠推導出最終結論，從結論出發，分析函數中的某一參數與題干中信息之間的矛盾，進而得到最終的結論。但是通常情況下，高中階段對這一方法的考察較少。

另外在解題中，還可以對函數進行重構和建設，這對一些基礎知識要求較高，例如題目為，當x2/x3≥sinx/cosx時，應用直接相減的方法過于麻煩，可以應用交叉相乘法，獲取函數f（x）=x2cosx-x3sinx，在此基礎上應用求導等方法完成具體計算。

結論：綜上所述，高中階段的具體函數條件縣的函數不等式就發，可以取得良好應用效果的包括應用函數性質分析結果、構造函數方法、應用極值求解的方法和其余解題方法，其余方法包括代入法、反證法以及函數重構和建設法。

【參考文獻】：

【1】武增明.具體函數條件下的函數不等式問題[J].中學數學研究（華南師范大學版），2018（01）：2+1.

【2】武增明.具體函數背景下的抽象函數不等式問題的探究策略[J].中學數學研究（華南師范大學版），2013（17）：42-43.