一道推理證明題的多解探究

王青楠

中圖分類號：G634.6 文獻標識碼：A 文章編號：1672-1578（2019）01-02002-01

在學習推理與證明一節內容時，筆者對一道填空題進行了多解探究，并將結論進行了推廣。現整理成文，與大家分享。

題目：若a，b，c是RtΔABC的三條邊，其中c為斜邊，則aⁿ+bⁿ與cⁿ（n>2，n∈N）的大小關系為。

解法1：（構造冪函數法）

在RtΔABC中，a²+b²=c²，且a2，n∈N時，，所以

點評：本解法利用了同向不等式的可加性，將aⁿ+bⁿ傳遞到cⁿ，其中不等式a^n-2n-2和b^n-2n-2利用了冪函數y=x⁰的單調性。另外本題中并沒有利用到n∈N這一條件，這說明命題對n>2，n∈R也成立，所以我們可以得到推論1。

推論1：若a，b，c是Rt△ABC的三條邊，其中c為斜邊，則有aⁿ+bⁿn（n>2，n∈R）成立。

解法2：（構造指數函數法）

在RtΔABC中，a²+b²=c²，且a

點評：本解法同樣利用了同向不等式的可加性，只不過后面用到了指數函數的單調性。

解法3：（解直角三角形，邊角轉換法）

在RtΔABC中，a=csin A，b=ccos A，則aⁿ+bⁿ=cⁿsinⁿA+cⁿcosⁿA=cⁿ（sinⁿA+cosⁿA），因為角A為銳角，所以sinA∈（0，1），當n>2，n∈N時，則sinⁿA2A，cosⁿA2A，所以cⁿ（sinⁿA+cosⁿA）n（sin²A+cos²A）=cⁿ，從而有aⁿ+bⁿn。

點評：解三角形的本質是將三角形的邊與角進行互相轉化。本解法巧妙地運用a=csin A，b=ccos A，將問題轉化為比較sinⁿA與sinⁿA，cosⁿA與cos²A的大小，從而利用三角恒等式sin²A+cos²A=1解決問題。

解法4：（二項式定理法）

在RtΔABC中，a2+b²=c²，所以

當n為偶數時，設n=2k，且k∈N*，則cⁿ=（2²+b²）k>a²k+b²k=aⁿ+bⁿ;

當n為奇數時，設n=2k+1且k∈N*，則

綜上，對任意n>2，n∈N，都有aⁿ+bⁿn。

點評：不等式可由二項式定理推導證明。考慮到在鈍角三角形ABC中，若C為鈍角，且a，b，c分別是角A，B，C的對邊，有a²+b²2成立，可以得到推論2a

推論2：在鈍角三角形ABC中，若C為鈍角，且a，b，c分別是角A，B，C的對邊，則有aⁿ+bⁿn，n2。（證明留給讀者思考）

在學習類比推理時，曾經將勾股定理推廣到直四面體S-ABC中，過頂點S的三條棱兩兩垂直，則。聯想此結論可得到推論3。

推論3：對于n個正數a₁，a₂，a₃，…，a_n均小于c，（證明留給讀者思考）

美國著名數學家波利亞曾說：“當你找到第一個蘑菇或做出第一個發現后，再四處看看，它們總是成群生長的。”總之，在平時解題時我們不能僅僅滿足于得出答案，而應該從不同視角去思考問題，甚至可以將問題進行一般化推廣，往往會有橫看成嶺側成峰的效果，一題多解其樂融融。