平面直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化的圓錐曲線問題探討

吳美林

（貴州省畢節(jié)市二中，貴州 畢節(jié) 551700）

一、兩種坐標(biāo)的定義

平面直角坐標(biāo)：兩條互相垂直，并且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸。其中橫軸為X軸，縱軸為Y軸。此坐標(biāo)系平面直角坐標(biāo)系。

極坐標(biāo)系：在平面上取定一點(diǎn)O，稱為極點(diǎn)。從O出發(fā)引一條射線Ox，稱為極軸。由平面內(nèi)由極點(diǎn)、極軸和極徑組成的坐標(biāo)系，稱為極坐標(biāo)系。

二、極坐標(biāo)系到直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化

說明：1上述公式即為極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式

3互化公式的三個(gè)前提條件： 極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合；，極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合；? 兩種坐標(biāo)系的單位長度相同。

三、圓錐曲線由平面直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)的幾個(gè)問題

（一）橢圓

（二）拋物線

（三）雙曲線

四、直接推導(dǎo)圓錐曲線的極坐標(biāo)方程

L由圓錐曲線的統(tǒng)一定義：是動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離之比為一定值常數(shù)e，該動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓錐曲線。如圖

今以一定點(diǎn)O為極點(diǎn)，使極軸垂直于定直線建立極坐標(biāo)，取圓錐曲線上一點(diǎn)P。由圖極軸與定直線交點(diǎn)為H，過P點(diǎn)做直線交定直線于D，設(shè)由極坐標(biāo)可設(shè)

P(ρ,θ)為軌跡上任意一點(diǎn)。即ρ=OP，|DP|=|HO|+ρcosθ，又變形得。這就是圓錐曲線的極坐標(biāo)方程，其中e是離心率，焦點(diǎn)位于極點(diǎn)。極軸是曲線對(duì)稱軸。因?yàn)橥瑫r(shí)注意p是曲線頂點(diǎn)到定直線的距離，其中0＜e＜1是橢圓，e=1是拋物線，e＞1是雙曲線。不過對(duì)雙曲線要說明一下，當(dāng)把平面直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化到極坐標(biāo)中還有是因?yàn)槠矫嬷苯亲鴺?biāo)系分為左右兩支雙曲線。

到這里關(guān)于平面直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化的圓錐曲線問題探討的拙文就結(jié)束了，對(duì)圓錐曲線的直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化極坐標(biāo)暈眩是比較復(fù)雜的但是只要注意就可以得到最后的結(jié)果，當(dāng)然直接推導(dǎo)得出的結(jié)果就非常的簡(jiǎn)潔。希望大家讀到這篇文章，能對(duì)大家教學(xué)或者學(xué)習(xí)啟發(fā)，謝謝！