帶不耐煩顧客和單重休假的非搶占優(yōu)先權(quán)排隊模型分析

王慧

摘 要：以經(jīng)典M/M/c排隊模型為基礎(chǔ)，把非搶占優(yōu)先權(quán)策略與單重休假、不耐煩顧客策略相結(jié)合，構(gòu)建一個更實際的模型。研究兩類顧客數(shù)和系統(tǒng)狀態(tài)的三維馬爾科夫鏈。然后運用矩陣幾何解的方法，求解的系統(tǒng)分布，進而給出主要的系統(tǒng)指標表達式。最后通過構(gòu)建效益函數(shù)來優(yōu)化設(shè)計模型，從而得到使系統(tǒng)狀態(tài)處于最優(yōu)的參數(shù)。

關(guān)鍵詞：非搶占優(yōu)先權(quán)；單重休假；不耐煩顧客；矩陣幾何解

中圖分類號：TB 文獻標識碼：A doi：10.19311/j.cnki.16723198.2019.32.098

0 引言

現(xiàn)實生活中依據(jù)顧客的優(yōu)先級別對顧客進行服務(wù)的現(xiàn)象很普遍，例如醫(yī)院的急診病人，銀行的VIP用戶。顧客有優(yōu)先級別，但服務(wù)不具有搶占性。Haviv討論了一類顧客在進入系統(tǒng)后被隨機賦予不同優(yōu)先級的排隊模型。Marks探討了搶占及非搶占優(yōu)先權(quán)M/M/1排隊模型的穩(wěn)態(tài)分布。Wang等討論了多服務(wù)臺下的優(yōu)先權(quán)排隊模型，重點研究了高優(yōu)先級顧客的等待時間以及相關(guān)影響因素。劉楠等研究了帶有不耐煩顧客的M/M/m排隊系統(tǒng)的顧客損失率問題。馬占友等分析了帶搶占優(yōu)先權(quán)和同步多重工作休假的M/M/c排隊模型，分析了模型過程，并求出相應(yīng)的指標。Gao等分析了帶有負顧客和不耐煩顧客的可變服務(wù)率的可修排隊系統(tǒng)。王艷玲研究了帶有不耐煩顧客的部分服務(wù)臺同步單重休假排隊系統(tǒng)，求得了系統(tǒng)在統(tǒng)計平衡條件下的穩(wěn)態(tài)分布，條件排隊顧客數(shù)和顧客條件等待時間的分布。申利民等研究了只允許部分服務(wù)臺進入休假狀態(tài)的M/M/c排隊系統(tǒng)，在同步單休假策略下，給出了穩(wěn)態(tài)指標分布，證明了已知服務(wù)臺全忙條件下的隨機分解結(jié)果。金順福等構(gòu)建了具有自適應(yīng)服務(wù)率和多重工作休假的二維連續(xù)時間馬爾科夫隨機模型，運用矩陣幾何解，從系統(tǒng)節(jié)能水平和用戶請求平均延遲方面評估虛擬機調(diào)度策略的性能。

1 模型分析

本文主要研究帶不耐煩顧客和單重休假的非搶占優(yōu)先權(quán)M/M/c排隊模型，系統(tǒng)中顧客分為兩個級別，II類顧客較I類顧客有更高的優(yōu)先類別。其中，I類顧客空間容量不限量，II類顧客容量為d（dc）。該模型具體描繪如下：

（1）假設(shè)系統(tǒng)中有兩類顧客，記為I類顧客和II類顧客，且到達時間間隔T1、T2分別服從參數(shù)為λ1和λ2（λ1， λ2>0）的指數(shù)分布，即

（2）I類顧客和II類顧客的服務(wù)時間S1、S2分別服從參數(shù)為μ1和μ2（μ1，μ2>0）的指數(shù)分布，即

（3）當服務(wù)完所有顧客且系統(tǒng)中無顧客等待時，服務(wù)臺進入一次休假。休假結(jié)束后發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中已有顧客，就開始進入忙期，若沒有，服務(wù)員就進入閑期，直到有顧客到達時，開始一個新的忙期。休假時間服指數(shù)分布，參數(shù)為θ，記為V，即

（4）當系統(tǒng)處于休假期間或當所有服務(wù)臺被II類顧客占用時，II類顧客在系統(tǒng)內(nèi)的平均等待時間會延長，故變得不耐煩。規(guī)定II類顧客從進入系統(tǒng)到離開的這段等待時間為W，服從負指數(shù)分布，參數(shù)為ν，即

（5）在此排隊模型中，II類顧客擁有優(yōu)先類別但當I類顧客正在服務(wù)時，II類顧客不得搶占打斷I類顧客的服務(wù)。當系統(tǒng)內(nèi)II類顧客大于d（dc）時，新到的II類顧客消失。

假設(shè)L1（t）、L2（t）分別表示I類顧客和II類顧客在t時刻的顧客數(shù)，J（t）表示系統(tǒng)服務(wù)狀態(tài)。令

2 性能指標

根據(jù)上述分析，我們可以得到I類顧客、II類顧客的平均隊長，II類顧客中途退出的概率，系統(tǒng)處于休假的概率等性能指標。

（1）I類顧客的平均隊長為：

3 數(shù)值例子

在實際探究中發(fā)現(xiàn)，一般系統(tǒng)指標與參數(shù)之間存在某種關(guān)聯(lián)。本節(jié)利用Matlab編寫程序，給出參數(shù)，用圖表描繪系統(tǒng)參數(shù)變化對性能指標的影響，令λ1=6，μ1=4，θ=2，d=10，μ2=2。

4 社會最優(yōu)策略

在本節(jié)，我們將依據(jù)實際構(gòu)造社會效益函數(shù)，來對比分析兩類顧客的均衡行為，并給出系統(tǒng)最優(yōu)參數(shù)。我們定義Rs為服務(wù)完一位顧客后的利潤，CS服務(wù)一個顧客的成本，Cb表示一個II類顧客中途退出對系統(tǒng)造成的損失。則系統(tǒng)的社會利益Us可以表示為：

MS=μSRS-λSEWSCS-CbPC

其中EWS=（EL1/λ1+EL2/λ2）/2，λS=λ1+λ2/2，μS=μ1+μ2/2。通過上式，假設(shè)高優(yōu)先類顧客的潛在服務(wù)率為λ2=ξ，將其最優(yōu)服務(wù)率定為λ2*=argmax0<λ2<ξMS。

圖3 λ2和c對MS的影響

圖3反映了在μ1=6，μ2=4，Rs=20，CS=2，λ1=6，Cb=40時，λ2和c對MS的影響，可知當c不變時，λ2變大時，MS先增大后減小。當λ2固定時，c越大對應(yīng)的MS越大。由圖可得，當c=3時，λ2=5.1可以使MS達到最大；當c=4時，λ2=7.7可以使MS達到最大；當c=5時，λ2=9.5可使MS達到最大。

5 結(jié)論

本文研究了帶非搶占優(yōu)先權(quán)的M/M/c排隊模型，結(jié)合不耐煩顧客和休假策略，建立了更切合實際的排隊模型。用矩陣幾何解的方法得到兩類顧客穩(wěn)態(tài)平均隊長、服務(wù)臺休假的概率等重要性能指標。最后使用Matlab刻畫出參數(shù)改變對性能指標的影響，并通過構(gòu)造社會效益函數(shù)，得到使系統(tǒng)到達最優(yōu)的服務(wù)率。

參考文獻

[1]Haviv.The Performance of a Single-Server Queue with Preemptive Random Priorities[J].Performance Evaluation，2016，（103）：6068.

[2]Marks.State Probability of M/M/1 Priority Queues[J].Operational Research，1973，21（4）：974987.

[3]Wang，Baron，Scheller-Wolf.M/M/c Queue with Two Priority Classes[J].Operations Research，2015，63（3）： 733749.

[4]劉楠，岳德權(quán).帶有不耐煩顧客的M/M/m排隊系統(tǒng)的顧客損失率[J].數(shù)學的實踐與認識，2015，45（24）：229234.

[5]馬占友，王文博.帶搶占優(yōu)先權(quán)和同步多重工作休假的M/M/c排隊模型[J].重慶師范大學學報（自然科學版），2018，35（3）：96100.

[6]Gao Cui.A Repairable M/M/1/N-G Queue with Impatient Customers and Variant Service Rates[J].Journal of Natural Science of Heilongjiang University，2015，32（6）：746752.

[7]王艷玲.帶有不耐煩顧客的部分服務(wù)臺同步單重休假M/M/c/K排隊系統(tǒng)研究[D].重慶： 重慶師范大學，2008：2535.

[8]申利民，金順福，田乃碩.部分服務(wù)臺同步單重休假的M/M/c排隊系統(tǒng)[J].運籌學學報，2004，8（3）：7888.

[9]金順福，郝閃閃，王寶帥.融合雙速率和工作休眠的虛擬機調(diào)度策略及參數(shù)優(yōu)化[J].通信學報，2017，38（12）：1020.