網購環境下考慮退貨因素和不同到達率的排隊庫存系統

田鴿 岳德權

摘 要：為了應對網購環境下電商企業庫存問題的挑戰，在提高服務水平的基礎上，考慮可退貨和到達率受庫存水平影響條件下的排隊庫存系統。利用擬生滅過程理論給出系統穩態平衡條件。利用矩陣幾何解法獲得系統穩態概率的矩陣幾何解，進而得到系統穩態性能指標和效益函數，通過數值算例研究系統參數的變化對性能指標以及效益函數的影響，并數值求解系統的最優庫存控制策略。

關鍵詞：排隊庫存系統；退貨；非齊次泊松到達過程；庫存策略；矩陣幾何解

中圖分類號：TB 文獻標識碼：A doi：10.19311/j.cnki.16723198.2019.33.105

1 引言

互聯網和電子商務的快速發展，為網購平臺的發展擴大帶來重要契機。大數據技術的不斷進步，為用戶提供越來越智能、方便、快捷的購物體驗。新時代的消費者對網購模式越來越認可，據中國互聯網絡信息中心發布的統計報告，截至2018年12月，我國網絡購物用戶規模達到6.10億，年增長率為14.4%。根據商務部發布的統計報告，2018年全國網上零售額突破9萬億元。

網絡購物中產品的多樣化和購買信息的公開化使顧客有更多的選擇，為了增加競爭力，電商企業在庫存管理時既要控制成本，還要考慮到服務水平。排隊庫存系統是排隊系統與庫存系統的集成系統，既考慮顧客服務水平對庫存控制的影響又考慮庫存管理對顧客排隊服務的作用。排隊庫存系統研究始于Sigman和Simich-Levi，他們研究了M/G/1排隊庫存系統模型， 提出了計算系統性能指標的輕話務近似計算方法。此后，陸續發表了許多排隊庫存系統的研究工作，詳見綜述文獻[4]。近期有關排隊庫存系統模型的研究也有很多工作，文獻[5]研究了具有一般補貨時間的M/M/1排隊庫存系統模型，文獻[6]考慮了服務完的顧客按照一定的比例獲得庫存產品的M/M/1排隊庫存系統模型，文獻[7]研究了售后服務中心維修能力和維修部件庫存的管理問題。

由于網購的特征和電商平臺關于退貨的規定，電商企業的退貨大幅增加，其庫存控制成為一大難題。在考慮退貨的庫存控制的研究中，樊雙蛟和王旭坪構建了退貨再次銷售的單周期庫存模型，以銷售利潤最大化為目標，對商品定價和訂貨量進行聯合決策。Qin和Yue研究了考慮服務時間和產品退回的生產庫存系統，得到了隊列長度和現有庫存乘積形式的穩態分布，通過數值分析研究了系統參數對性能指標和費用函數的影響。

關于排隊庫存系統的文獻中，多是假設顧客需求的到達服從指數分布，但是現實生活中，顧客需求的到達會受到庫存水平的影響。在經典的庫存系統中，需求和庫存相依的研究受到很多學者的關注。Baker和Urban設需求率是庫存水平的多項式函數，采用非線性規劃算法確定了最優訂貨點和訂貨量。劉明等研究了需求率同時依賴于庫存和價格的生產庫存系統，運用最大值原理并根據模型參數的不同取值，獲得了三種可能的解，并對其進行了詳細分析。

本文以降低庫存費用，提高電商企業效益和服務水平為目的，研究網購環境下考慮退貨因素和不同到達率的排隊庫存系統。假設需求到達是非齊次的泊松過程，考慮產品的退回和維修對庫存管理的影響，建立連續時間的馬爾可夫過程，利用矩陣幾何解的方法，得到系統的性能指標和效益函數，利用Matlab進行數值實驗分析系統參數的敏感性，得到最優庫存控制策略。

2 模型描述

模型的基本假設如下：

（1）顧客需求到達網店頁面的到達過程是非齊次的泊松過程，參數為λi，i是現有庫存水平1

，假設顧客瀏覽網店頁面決定是否下單的時間忽略不計，顧客下單購買的概率為p（0

（2）每個訂單的服務時間服從參數為μ的指數分布，每個服務需要消耗一個單位庫存，系統中只有一個服務臺，采用先到先服務的服務規則。

（3）系統采用（s，S）策略補貨，即當系統的庫存水平下降到s時，系統立即發出補貨信號，經過一個隨機的補貨前置時間，庫存水平恢復至S（s

（4）顧客退貨時間間隔服從參數為γ的指數分布，顧客退貨的商品經檢驗不影響二次銷售的概率為a（0

（5）庫存為0時，顧客不進入系統，已進入系統等待的顧客不流失。

3 系統穩態分析

3.1 穩態條件

定義系統狀態過程X（t）：t≥0=N（t），I（t）：t≥0，N（t）表示t時刻系統中的顧客隊長，I（t）是系統在t時刻的庫存水平。因此，系統的狀態空間Ω=（n，i）：

過程N（t），I（t）：t≥0正常返當且僅當φCe<φBe，可得系統的穩態條件是∑Si=1λiφi<μ（1-φ0）。

3.2 穩態分布

定義穩態概率向量πn，i=limt→

系統穩態概率向量具有如下矩陣幾何解的形式

其中π0滿足方程組 π0（A0+RB）=0π0（I-R）-1e=1，R是矩陣二次方程R2B+RA+C=0的最小非負解。

利用循環簡約算法，得到方程R2B+RA+C=0的最小非負解R，進而得到具體的穩態概率向量。

3.3 系統性能指標

利用3.2節給出的穩態概率，可求得如下一些重要的系統性能指標。

3.4 效益函數

令C1表示單位時間單位產品的收益，C2表示單位產品在單位時間內的庫存費用，C3表示顧客等待引起的損失費用，C4表示單位時間內的需求損失，C5表示一次補貨的固定費用，C6表示單位產品的補貨成本，C7表示檢驗單位退貨產品所需的費用，C8表示單位不合格產品打折銷售損失的費用。根據系統性能指標，得到系統單位時間內的效益函數：

F（s，S）=C1Eor-（C2Einv+C3El+C4Edl+（C5+C6Ep）Erep+C7Eret+C8Emc）

效益函數F（s，S）是關于決策變量s，S的復雜的非線性函數，決策變量s，S的取值受到庫存空間和產品進銷策略及成本的限制，假定庫存容量有上限0

4 數值分析

本章給出數值例子，分析研究系統參數的變化對系統性能指標以及效益函數F（s，S）的影響，得到最優庫存控制策略。特別地，假設顧客需求到達網店頁面的平均速率與庫存水平的函數關系式為λi=λiβ，0<β<1，其中λ為規模參數，β為形狀參數。

設庫存成本參數C1=350，C2=20，C3=5，C4=12，C5=300，C6=200，C7=16，C8=40。

圖1反應非齊次泊松到達規模參數λ，瀏覽轉化率p對平均顧客需求損失率和效益函數的影響，其他參數設置為：μ=22，υ=0.6，γ=1.6，a=0.85，η=1.5，β=0.38，s=8，S=20。

如圖1所示，當p取某一定值時，平均顧客需求損失率隨著λ的增大而增大。當λ取某一定值時，平均顧客需求損失率隨著p的增大而減小。當p取某一定值時，效益函數隨著λ的增大而增大。當λ取某一定值時，效益函數隨著p的增大而增大。盡管到達率的增加會使平均顧客需求損失率增大，但是效益函數的變化趨勢是上升的，可以通過加大宣傳等措施吸引顧客到達，提高效益，另外通過增大瀏覽轉化率p，降低平均顧客需求損失率，從而獲得更多的效益。

如表1所示，當最大庫存限制M為某一定值時，在最優庫存控制的情況下，隨著到達參數λ和λ′的增大，非齊次泊松到達和相對應的齊次泊松到達系統的效益函數均增大，當到達參數λ和λ′為定值時，庫存量增大，非齊次泊松到達和相對應的齊次泊松到達系統的效益函數增大，電商企業可以在合理范圍內增大庫存量，并且采取措施提高顧客到達率，改進企業的經營。

當λ，λ′和M為某一定值時，非齊次泊松到達系統的效益函數較大一些，電商企業可以通過向顧客展示庫存信息刺激顧客購買需求，獲得較大的利潤。相對于齊次泊松到達系統，非齊次泊松到達系統需要設置更高的安全庫存，以應對變化的顧客需求。

表2反應退貨比率對與庫存相關的性能指標、系統費用函數、效益函數和最優庫存控制策略的影響，設C（s，S）=C2Einv+C3El+C4Edl+（C5+C6Ep）Erep+C7Eret+C8Emc表示系統費用函數，退貨比率是系統退貨參數γ與顧客到達參數pλ-之比，用ρ=γpλ-表示，其他參數設置為：

λ=7.5，p=0.3，μ=22，υ=0.6，γ=1.6，a=0.85，η=1.5，β=0.38

如表2所示，隨著退貨比率ρ的增大，平均庫存水平、 平均退貨率、效益函數增大，平均補貨率、平均補貨量減小，不合格產品平均修理率略有減小，系統費用函數減小，最優庫存策略減小。當退貨比率增大時，在滿足顧客需求的前提下，補貨應適當減少。

5 結論

本文研究了網購環境下可退貨和到達率受庫存水平影響條件下的排隊庫存系統。建立連續時間的馬爾可夫過程，給出了系統性能指標和效益函數，通過數值分析得出了系統參數對性能指標和效益函數的影響，對電商企業的管理經營具有指導借鑒意義。

參考文獻

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[2]商務部：2018年全國網上零售額突破9萬億元[EB/OL].https：//baijiahao.baidu.com/s？id=1626073473701485895&wfr=spider&for=pc.

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[4]Krishnamoorthy A，Lakshmy B，Manikandan R.A survey on inventory models with positive service time[J].OPEARCH，2011，48（2）：153169.

[5]Saffari M，Asmussen S，Haji R.The M/M/1 queue with inventory，lost sale，and general lead times[J].Queueing Systems，2013，75（1）：6577.

[6]Krishnamoorthy A，Shajin D，Lakshmy B.On a Queueing-inventory with Reservation，Cancellation，Common Life Time and Retrial[J].Annals of Operation Research，2016，247（1）：365389.

[7]Srivathsan S，Viswanathan S.A Queueing-based Optimization Model for Planning Inventory of Repaired Components in a Service Center[J].Computers & Industrial Engineering，2017，106：373385.