卡爾達諾與《賭博之書》

陳亦宇

摘要：卡爾達諾是文藝復興時期人文主義的代表，也是那個時代偉大的科學家之一。他雖然嗜賭成性，但對賭博游戲中的概率問題進行了深入思考和研究，他的著作《賭博之書》，就是歐洲最早對概率論這一學科作出系統研究的著作，給后世留下了許多值得探討的問題。

關鍵詞：卡爾達諾 《賭博之書》 概率

中圖分類號：I546 ?文獻標識碼：A ?文章編號：1009-5349（2019）16-0237-03

一、卡爾達諾的生平

吉羅拉莫·卡爾達諾（Girolamo Cardano，1501.—1576）是意大利文藝復興時期一位百科全書式的人物，他享有數學家、物理學家、占星家、哲學家等多種稱號，同時也是古典概率論重要的奠基者之一。卡爾達諾一生嗜賭成性，性情孤僻;但他智力超群，著述混雜，一生共寫了200多種不同主題的文章、書籍，內容涵蓋古典文學、數學、物理、化學、生物學、醫學、哲學、占星學和音樂，其最主要的成就集中在數學、醫學、物理學和哲學領域，是個不折不扣的“科學怪人”。萊布尼茲曾如此評價他：“卡爾達諾是一個有許多缺點的偉人，沒有這些缺點，他將舉世無雙。”

卡爾達諾于1501年9月24日出生于帕維亞，他是一位律師的私生子，從小體弱多病，受盡歧視和虐待，慢慢養成了孤僻古怪的性格。他自幼學習古典文學、數學和占星學，他對所有的領域都抱有濃厚的求知欲望，尤其對占星學具有強烈的興趣，終生都沉迷于占星術。

1518年卡爾達諾進入帕維亞大學，他不顧父親的反對，選擇了學醫，他認為自己具有醫學方面的天賦，再加上懂得占星術，將來必定會有一番作為;因為醫療占星在他生活的年代大行其道，人們普遍認為醫生需要掌握占星術，當時甚至還出現了一種專供醫生使用的星盤。

除了學習醫術和占星術，卡爾達諾還迷戀賭博，這是他一生從未間斷的又一項主要活動，他憑借高超的賭技，經常在賭桌上大獲全勝，然而他也在自傳里對此表示過懺悔：“也許我根本就不值得擁有贊美，我過度沉溺于輪盤賭和擲骰子，應該受到最嚴厲的譴責……我不僅每年都賭，而且，我羞愧地承認，是每天都賭。”

帕維亞大學于1523年暫時關閉后，卡爾達諾轉學到帕多瓦大學。1526年他又回到帕維亞大學，獲得了醫學博士學位，畢業后他申請加入米蘭醫學協會，卻因其私生子身分而遭到拒絕。后來，他去了帕多瓦附近一個名叫薩科隆戈的小鎮，在那里開了一家私人診所，期間結識了他的妻子，兩人于1531 年結婚，共育有兩子一女。然而，開診所的微薄收入難以支撐一家人的龐大開銷，卡爾達諾的婚后生活十分窘迫。于是，他在父親的一個貴族朋友的舉薦下，于1534年成為米蘭專科學校的一名數學教師，講授幾何學課程。卡爾達諾在教學和看病之余，還陸續出版了幾部醫學專著，他的《時鐘與鏡子：文藝復興時期的醫學》一書，在總結自己行醫經驗的同時，還揭露當時醫院的那些不為人知的秘密，諸如各種愚昧的醫生、恐怖的治療手段等。

1543年，卡爾達諾受聘于帕維亞大學擔任醫學教授。1552年，成為英國國王愛德華六世的宮廷醫生。最終卡爾達諾一生的命運轉折點就發生在了薩科隆戈小鎮，他先治愈了一位身患急病的著名修道院院長;隨后，蘇格蘭大主教在經過小鎮時突然舊疾復發，他又即時施以援手……從此，他憑借高超的醫術開始在歐洲的上流社會聲名鵲起，米蘭醫學協會也盛情邀請他加入。1539 年，卡爾達諾轉入米蘭醫學院任教。作為醫生，卡爾達諾既精于診斷開方，也長于外科手術，同時也對生理學和心理學的問題提出了自己的見解，他還是歷史上第一個對斑疹傷寒做出臨床描述的人。

當時歐洲數學界面臨的最大難題就是一元高次方程的求解，卡爾達諾在得知數學家塔爾塔利亞（Tartaglia）已經解出多種三次方程后，便向其求教一元三次方程的解法，并莊嚴地立下予以保密的誓言，最終得到了一首隱藏著一元三次方程解法的詩。卡爾達諾與學生費里拉 （Ferrari）多年潛心研究，不僅得出了一元三次方程的解法，還探索到了一元四次方程的一般解法;但他并沒有遵守諾言，在1545年出版的《大術》 （Ars Magna）一書中，他第一個發表了三次代數方程的一般解法、相關證明以及一元四次方程的一般解法。因此，三次方程求根公式被命名為“卡爾達諾公式”，也有人將這種解法稱為“卡爾達諾法”。從卡爾達諾出版《大術》的那天起，到1560年左右，他擁有了他所希望的一切——名譽、地位、金錢和尊重，這是他人生中的黃金歲月。

盡管卡爾達諾取得了非凡的成就，但他的家庭生活非常不幸。他最疼愛的長子因為投毒殺死妻子于1560年被審判并斬首，此事是卡爾達諾人生的一個轉折點，他從悲痛中恢復過來后，放棄了在米蘭賺錢的醫生職業，搬到了帕維亞。1562年，卡爾達諾因為被指控騷擾學生而被迫辭去在帕維亞的職位，在頗有影響力的博洛梅歐（Borromeo）家族的幫助下，卡爾達諾被調到博洛尼亞擔任醫學教授職位。卡爾達諾從帕維亞搬至博洛尼亞，還有部分原因是他認為其子被判死刑的決定受到了學術機構之間相互斗爭的影響以及他同事對其科學成就的嫉妒。

晚年的卡爾達諾沉迷于占星術和占卜，由此得到了教皇皮烏斯五世的賞識，付給他終身年薪，讓他留在宮廷供職。然而，卡爾達諾因為耶穌基督占卜而被指控，于1570年被宗教法庭判處9個月監禁。卡爾達諾出獄后移居羅馬，獲得了教皇格里高利十三世的年金資助。其間，他寫成了他的自傳《我的一生》，還加入了皇家醫學院，除了行醫之外，繼續他的哲學研究直到1576年去世。

吉羅拉莫·卡爾達諾的人生經歷最為傳奇之處在于：作為占星學大師，他曾經推算出自己的死亡日期——1576年9月21日，不過當這個日子來臨之際，他卻毫無死亡征兆，為了不讓自己的預言落空，他選擇自殺。

二、卡爾達諾的著述

卡爾達諾被譽為百科全書式的學者，他一生著述頗豐，大約有7000多頁的材料現存于世。以下幾本著作較為集中地體現了其在數學方面的成就：《算術實踐與個體測量》（1539），顯示出在計算方法與代數變換方面較高的技巧;《大術》（1545）首次公布了一元三、四次代數方程的一般解法，其中關于一般二次代數方程的求根公式今天被稱為“卡當公式”或“卡爾達諾公式”。卡爾達諾的另外兩部著作《事物之精妙》（1550）與《世間萬物》（1553）包含了大量力學、機械學、天文學、化學、生物學等自然科學與技術的知識，還涉及密碼學、煉金術、占星術等領域的內容，被譽為當時最好的百科全書。

在概率論方面，在16世紀20年代，卡爾達諾寫了一本關于賭博游戲的著作《賭博之書》（Liber de ludo aleae），這本書以手稿的形式存在了一百多年，直到1663年才在卡爾達諾的作品集中出版。卡爾達諾計算兩個或三個骰子會出現的數字總和的概率，并將其結果應用于一些骰子游戲中。在該書中，還出現了類似于后來所稱的冪定理（在一個隨機事件中，某事件重復n次發生的概率）和大數定律（隨著試驗次數的增加，某事件發生的頻率趨于一個穩定值）等概率論中的一些基本概念和定理的論述。

《賭博之書》是歐洲歷史上第一部討論眾多概率問題的著作，第一次嘗試將可能性進行量化研究;他用數字來描述隨機事件發生的似然度，這種思想對后來的概率論、統計學的產生與發展等都具有深遠的影響。不過，除了概率演算之外，該書主要對玩牌和擲骰子等賭博游戲中的作弊方法進行了豐富和詳細的討論，目的是告知賭博參與者謹防被騙以及在賭博中獲勝的技巧，就此而言，卡爾達諾的《賭博之書》不能被當作一本純粹的數學著作，而只是一本賭博指導手冊而已。

三、卡爾達諾的概率統計思想

在《賭博之書》書中，卡爾達諾對許多賭博游戲進行了概率計算，其中一些關于賭博實例的討論已包含了某些有關概率論的基本思想和規則，相關的具體內容如下：

一是卡爾達諾思考了擲距骨（踝骨）和骰子的機遇問題，通過理論上的論據提出了明確的概率計算思想。他說：踝骨有四個面并有四個點數，但骰子有六個面。拋擲六次，每個點數會出現一次，但由于會發生有的點數不止出現一次的情況，因而有的點數就不會出現。踝骨呈現扁平面的形狀，它的每一面都位于背面之上;……它和骰子的形式不盡相同。各面總數的一半總是會出現相等次數;因而在給定某個點數的情況下，拋擲三次的機會是完全均等的，因為總的變化是根據六面順序來決定的。此外，在一次拋擲中，必定會出現三個給定點數中的其中一個。如果一個骰子是誠實的，它的不同面出現的概率是相等的。他還計算了用多少種方法可以在擲兩顆和三顆骰子時得到某一總點數。但這對于踝骨來說并不適用，因為踝骨只有四個面，每個面都不完全相同，因此每個面出現的概率是不相等的。對此，卡爾達諾曾經說過，“我擲出1、3、5的能力和擲出2、4、6的能力是一樣的”，卡爾達諾由此推論，一個六面完全相等的骰子，每一面出現的機會是可以通過數學抽象作出概率計算的。

二是卡爾達諾找到了用骰子下注的合理幾率，準確地列舉各種可能的拋擲情形，即一個骰子有6種可能，兩個骰子是6×6，三個骰子則是6×6×6，等等。當擲出兩到三個骰子時，他就能確定所有36種或216種排列的集合。他用“巡回”（circuit）這個詞來表示這種集合，“巡回”是可能出現的所有結果的數量，即樣本空間的大小。當一個試驗的“巡回”確定之后，一個事件發生的概率由整個巡回中對它有利的“部分”來表示。卡爾達諾給出的規則是：為了獲得勝算，我們必須考慮“有利的結果能以多少種方式出現，并將這個數字與巡回進行比較”，即將優勢量化為有利結果與所有可能情況的比率。

三是卡爾達諾在互斥事件中正確地使用了概率的加法定理（有限個互不相容事件的和的概率等于這些事件的概率的和）。比如：在擲兩個骰子時，共有36種等可能情形，其中有11種對事件“至少有一個1點”有利，還有另外9種對事件“至少有一個1點或3點”有利，等等。如果有人說，我想要一個1點，2點或者3點，則共有27個有利的投擲情形，由于“巡回”是36，其余的9種投擲情形中不會出現這些點數，因此概率是3比1。這里的有利結果就是至少一個面顯示1點、2點或3點。

四是在許多古代文獻中也都討論過機會游戲和抽簽，一些神秘主義者和數學家列舉了各種游戲的可能結果。問題是，這些枚舉中大多數都不是等可能情況下的枚舉，因此很難用它們來系統地計算概率。卡爾達諾則更謹慎，他從公平的概念開始，或者用他自己的話說，是在“平等條件”下來進行計算。在賭博中最基本的原則就是平等的條件，例如：對手的條件，旁觀者的條件，金錢的條件，處境的條件，骰子的條件。在你偏離公平的程度上，如果對你的對手有利，你就是一個傻瓜;如果對你自己有利，你就是不公正的。在最簡單的情況下，如果兩個玩家擁有相等的賭注，如果每個玩家的有利結果和不利結果數目相同，那么游戲就是公平的。卡爾達諾認為，更普遍的情況是，公平要求公平博弈的賭注應與每個參與者獲勝的方式成比例。所以這就是平等競爭的基本原理，這意味著準確的規則，即不確定的回報的期望或現值等于機會和數量的乘積，如果兩個玩家的預期回報相同，則游戲是公平的，即賭注就是賠率的比例。

五是隨機試驗中事件發生的可能性代表著其長期相對頻率。因此，在討論了用兩個骰子確定的試驗中事件發生的可能性之后，卡爾達諾說，“這個論點是基于這樣一個事實，即這種連續的事件與一系列的試驗相一致，如果沒有這樣一系列的試驗，那么它將是不準確的”。在另一個地方，頻率可能會在少量的試驗中與概率有很大偏差，但如果試驗次數很多，則偏差將變得微不足道。他意識到當一個事件的概率是p時，那么通過大量n次重復事件發生的次數就離p（n）不遠了。盡管他聲稱預見到了大數定律是難以證明的，但很明顯，他的直覺正引導他走向正確的方向。《賭博之書》最引人注目的部分是卡爾達諾對重復扔骰子的概率的討論，這使他在幾次失敗的嘗試之后，最終找到了正確的公式。

概而言之，卡爾達諾的著作在許多方面喚起了后世的數學家們對賭博這種人類實踐活動的認知熱情，概率論在17世紀的產生與賭博問題有著直接的淵源關系。從卡爾達諾對擲骰子等賭博游戲的一些問題的思考和研究中，人們看到了關于賭博的問題由經驗向理論的概率思想轉變。從這一角度看，卡爾達諾當之無愧地應該被看作概率論的最重要的先驅者。

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責任編輯：楊國棟