數(shù)學(xué)“難題”解答過程中的思路引領(lǐng)

姜仁玲

在日常教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)一種現(xiàn)象：學(xué)生在遇到“難”一點(diǎn)的題目時(shí)普遍沒有思路，不知道往哪里想。這引起了我的思考。對(duì)學(xué)生在不同年齡段遇到的“難”題進(jìn)行了整理發(fā)現(xiàn)：題目的設(shè)計(jì)者實(shí)際上考慮到了這個(gè)因素，他們通過設(shè)計(jì)第一問、第二問……對(duì)學(xué)生的思考方向給予了引領(lǐng)。

一、難度在增加但思路不變

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α

（1）如圖1，若點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)為F，△ABD與△ACF有怎樣的關(guān)系？

（2）如圖2，在（1）的條件下，若α=45⁰，則等式DE²=BD²+CE²成立嗎？為什么？

（3）如圖3，若α=45⁰，點(diǎn)E在BC的延長線上，則等式DE²=BD²+CE²還能成立嗎？ 說明理由。

思路引領(lǐng)：第一問是在引導(dǎo)學(xué)生證明兩個(gè)三角形△ABD和△ACF全等（AB=AC?，?AD=AF， ∠BAD=∠CAF），進(jìn)一步得到：BD=?CF、∠ABD=∠ACF，為第二問服務(wù)。

第二問中首先要再次證明第一問中的兩個(gè)三角形全等（方法和第一問中相似）;再者，看到DE²=BD²+CE²后馬上想到勾股定理這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，通過CE這條線段想到△CEF應(yīng)該是直角三角形（∠ACE和∠ACF都是45⁰）;再者，通過△ABD與△ACF全等可以得到BD=CF、通過軸對(duì)稱得到DE=EF。這樣問題就得到解決。

第三問學(xué)生看到后感到無所適從。其實(shí)第一問和第二問已經(jīng)提供了輔助線的做法，特別是第一問清楚的告訴了輔助線的做法。于是，做點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)F，得到△CEF。思路又回到了第二問，而且和第二問的思路完全相同。即：證明△ABD和△ACF全等（AB=AC，AD=AF，∠BAD=∠CAF）;證明△CEF是直角三角形。說明：這是初二上學(xué)期學(xué)了全等和軸對(duì)稱后的一道較難的題目，考試時(shí)大部分同學(xué)都能作對(duì)第一問，到了第二問就感到困難，原因是學(xué)生沒有領(lǐng)會(huì)題目的設(shè)計(jì)者為什么設(shè)計(jì)了第一問（為第二問做思路引領(lǐng)）;到了第三問就基本無人會(huì)做，原因是缺乏經(jīng)驗(yàn)和聯(lián)想能力，更主要是缺乏經(jīng)驗(yàn)，第一問中提供的輔助線的做法沒有運(yùn)用到第三問中。

二、難度增加后思路在原來的基礎(chǔ)上略做拓展

說明：這是初一上學(xué)期學(xué)了有理數(shù)之后的一道較難的題目。由于學(xué)生缺乏閱讀理解能力、對(duì)代數(shù)n的意義理解不到位，因此感到題目很難。實(shí)際上如果能“仔仔細(xì)細(xì)的觀察”和深入理解題目中第一行和第二行的引導(dǎo)提示，就不難做出“猜想”并寫出（2）的計(jì)算結(jié)果;在（2）的基礎(chǔ)上運(yùn)用乘法分配律就能將（3）中的①②轉(zhuǎn)化成與（2）思路相同的題目;而③只要把分母變成兩個(gè)數(shù)的積就又能變成（2）中的形式，就可以用同樣的思路解決問題。

當(dāng)然，隨著知識(shí)點(diǎn)的增加“難題”會(huì)越來越多。當(dāng)遇到“難題”時(shí)要沉著冷靜，深入的體會(huì)前面一問對(duì)后面題目的引領(lǐng)作用，“難”點(diǎn)將比較容易突破。