幾類轉化為雙曲線特征三角形的問題的解法

吳峻峰

雙曲線中很多求基本量的問題涉及的背景可以轉化為雙曲線的特征三角形問題，運用特征三角形的幾何性質解決這類問題思路簡潔，運算量小，若能進行合理轉化，往往能達到事半功倍的效果。

以焦點在x軸上雙曲線為例，常見有如下兩種種特征三角形：

本文主要研究圖二中的特征三角形，其中A為焦點：

結論1.OA=c，OB=a，AB=b，

結論2.點B坐標

結論3.過F作漸近線的垂線，垂足為A落在準線上;反之，漸近線和準線交點與相應焦點連線與該漸近線垂直。

以上結論均可計算證明，下面我們例舉幾類可以轉化為雙曲線特征三角形的問題的模型，體會巧妙結合特征三角形解題的魅力。

一、以準線與漸近線交點為背景的特征三角形問題

根據特征三角形的性質，準線與漸近線交點與相應焦點連線與該漸近線垂直，可以形成特征三角形。

例1.設雙曲線的兩條漸近線與直線分別交于A，B兩點，F為該雙曲線的右焦點，若60°<∠AFB<90°，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（? ? ? ）

A.B.C.D.

解法1 （代數法）

∵60°<∠AFB<90°

而

解得：

解法2 （幾何法）

∵60°<∠AFB<90°，∴45°<∠AOF<60°從而，

二、以圓的切線為背景的特征三角形問題

特征三角形中的垂直關系是可以利用半徑為a的圓與過焦點的直線相切構造，所以這類問題都可以轉化為特征三角形問題。

例2.過曲線的左焦點F1作曲線C2：x2+y2=a2的切線，設切點為M，延長F1M交曲線C3：y2=2px（p>0）于點N，其中C1、C3有一個共同的焦點，若|MF1|=|MN|，則曲線C1的離心率為

A.B.C.D.

分析：OM即為雙曲線的一條漸近線，為特征三角形，而各邊長為其兩倍

解法1 （代數法）

由拋物線定義AN=2a，可得N點橫坐標x=2a-c

在△NF1F2中由面積法可求得N點縱坐標

由N在拋物線上代入坐標化簡可得：e4-2e3+e2-1=0，結合b>a求得

此代數方法計算量較大，事實上注意利用特征三角形中結論，可極大簡化計算。

解法2 （代數法）

易知M坐標，所以N點橫坐標

化為齊次即e2-e-1=0求得 的更充分些，求解過程將更簡潔。下面給出兩種幾何方法：

解法3（幾何法）

在△NF1A中，由勾股定理：y2+4a2=4b2，

即4c（2a-c）+4a2=4b2

解法4（幾何法）

由Rt△NF1A與Rt△NF1F2N相似可得：

即b2=ac

三、以對稱問題及其他幾何背景的特征三角形問題

以對稱的關系描述特征三角形的垂直關系也是一類重要的模型。

例3.已知雙曲線C：的左、右焦點為F1，F2，P為雙曲線C右支上異于頂點的一點，△PF1F2的內切圓與x軸切于點（1，0），且P與點F1關于直線對稱，則雙曲線的方程為

分析：首先由內切圓的性質易知切點（a，0），則a=1.

解法1 （代數法）

設P（m，n），由對稱可知：

則所求雙曲線方程為

解法2 （幾何法）

為特征三角形，各邊長是其兩倍，有2b-2a=2a.故b=2

除了本文介紹，可以轉化為雙曲線特征三角形的模型還有很多，值得我們去挖掘。若能準確轉化，合理運用性質，對解題的速度和準確率都有很大幫助。對于與本文類似的可以轉化為雙曲線特征三角形的其它幾何背景或橢圓特征三角形的幾何背景模型，讀者可以自行研究。