拉格朗日中值定理在解題中的應用

周景芝

摘 要：本文對拉格朗日中值定理進行了敘述，然后舉例說明拉格朗日中值定理在證明不等式，證明單調性，證明一致連續，證明導數極限中的應用。

關鍵詞：拉格朗日中值定理;不等式;一致連續;導數極限

【中圖分類號】O175.55? ? ? ? ? 【文獻標識碼】A

函數的導數反映了函數在一點附近的局部性質，但要利用導數來推斷函數在區間上的整體性質，還需借助于微分學基本定理. 微分學基本定理包括羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。微分中值定理可應用于解決下列問題：判斷可導函數在給定區間內根的存在性和根的個數;對于給定的可微函數得到相應的中值公式，并可證明某些等式和不等式;推出可導函數的某些整體性質，如單調性，有界性，一致連續性，以及某些導數極限的性質;推導泰勒公式和求不定式極限的洛必達法則.

1. 拉格朗日中值定理

定理1 若函數滿足下列條件：

（1）在閉區間[a，b]上連續;（2）在開區間（a，b）內可導，

則在（a，b）內至少存在一點，使得? ? ? ? ? ? ? ? （1）

公式（1）稱為拉格朗日公式，它還有下面幾種等價表示形式，可根據不同場合靈活選用：

拉格朗日公式無論對于a>b還是b>a都成立，而則是介于a與b之間的某一定數.而（3）、（4）兩式的特點，在于把中值點表示成了，使得不論a，b 為何值，總可為小于1的某一正數.

拉格朗日中值定理的幾何意義是，在每點都有切線的曲線上，至少存在一條切線平行于兩個端點的連線.

拉格朗日中值定理給出函數與其導函數之間的一種關系，因此可用來從導函數的某些信息得到函數本身的某些性質.

2. 應用拉格朗日中值定理證明不等式

例1證明：對一切成立不等式

證明 設，由拉格朗日中值定理，存在，使得

從而得到所要證明的結論.

3. 應用拉格朗日中值定理證明函數的單調性

定理2 設函數在區間上可導，則在上遞增（減）的充要條件是

證明 若為上的增函數，則對每個，當時，有

當時，得.

反之，若在區間上恒有，則對，由拉格朗日中值定理，，使得

故在上為增函數.

4. 應用拉格朗日中值定理證明一致連續性

例2設函數在區間上可導且在上有界，證明在上一致連續.

證明因為在上有界，所以存在，使得

對于任意的，取，則時，有

其中介于之間，于是在上一致連續.

5. 應用拉格朗日中值定理證明導數極限定理

例3 設函數在點的某領域內連續，在內可導，且存在，則在處可導，且

證明 按左右導數證明.

（1） 任取，在上滿足拉格朗日定理條件，則，使得

由于介于之間，當時有，則

（2）同理可得

又因為存在，所以

從而，即

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系. 數學分析 [M].北京：高等教育出版社， 2001.

[2]劉玉璉，傅沛仁. 數學分析講義[M].北京：高等教育出版社，1997.

[3]方企勤，林源渠.數學分析習題課教材[M].北京：高等教育出版社，2000.

[4]吳良森，毛羽輝. 數學分析習題精解[M].北京：科學出版社，2002.