數形結合思想在二次函數中的應用

張麗華

摘要：《數學課程標準》明確提出數學教育要面向全體學生，實現“人人學有價值的數學;人人都能獲得必須的數學;不同的人在數學上得到不同的發展”。標準強調在數學教學中要加強學生能力與思想方法的培養，數學是研究數量關系和空間形式的科學.數能精確地揭示研究對象的數量特征，形能直觀地刻畫研究對象的空間結構，因此數形結合思想被廣泛運用于數學的解題過程中。

著名的數學家華羅庚說過：“數缺形時少直覺，形缺數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事非?！绷攘葦嫡Z把數形結合說得淋漓盡致。數形結合是數學解題中常用一種數學思想方法，可以使抽象的數學問題直觀化，生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題中的本質。二次函數是初中數學的重要內容之一，也是學習的一個難點，同時又是“數形結合”思想方法體現的很充分的一個章節。在此特對數形結合解決二次函數的問題進行簡單的歸納分析。

一、如何解決一次函數、二次函數圖象的性質及其應用問題

解題的方法是首先根據其中一次函數圖象確定a、b的符號，進而判斷另一個函數的圖象是否符合題意，進而運用二次函數的性質判斷圖形中給出的二次函數的圖象是否符合題意，根據題意逐一討論解析，即可解決問題.

在同一平面直角坐標系中，函數 與 的圖象可能是（）

A. B.

C. D.

A.對于直線 來說，由圖象可以判斷，α>0，b>0;而對于拋物線 來說，對稱軸 ，應在y軸的右側，故不合題意，圖形錯誤;

B.對于直線 來說，由圖象可以判斷，α<0，b>0;而對于拋物線 來說，對稱軸 ，應在y軸的左側，故不合題意，圖形錯誤;

C.對于直線 來說，由圖象可以判斷，α>0，b>0;而對于拋物線 來說，圖象開口向上，對稱軸 ，應在y軸的右側，故符合題意;

D.對于直線 來說，由圖象可以判斷，α>0，b>0，;而對于拋物線 來說，圖象開口向下，α<0，故不合題意，圖形錯誤;

二、二次函數與一元二次方程的關系

以前我們從一次函數的角度看一元一次方程，認識了一次函數與一元一次方程的聯系，有前面的知識做鋪墊，下面我就從二次函數的角度看一元二次方程認識二次函數與一元二次方程的聯系。

1、從形式上看：二次函數：y=ax?+bx+c（a≠0）

一元二次方程：ax?+bx+c=0（a≠0）

2、從內容上看：二次函數表示的是一對（x，y）之間的關系，它有無數對解;一元二次方程表示的是未知數x的值，最多只有2個值

3、相互關系：二次函數與x軸交點的橫坐標就是相應的一元二次方程的根

我們要掌握二次函數圖象與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系，及滿足什么條件時方程有兩個不等的實根，有兩個相等的實根和沒有實根;理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函數y=ax2+bx+c 與直線y=h（h是實數）圖象交點的橫坐標。

下面我就結合具體的題目分析二次函數的圖象和性質與一元二次方程的聯系。

⑴求這個二次函數的解析式;⑵是否存在點P，使 是以OC為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點坐標;若不存在，請說明理由;⑶動點P運動到什么位置時， 的面積最大，求出此時P點坐標和 的最大面積.本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、等腰三角形的性質、二次函數的性質、三角形的面積、方程思想等知識.在⑴中注意待定系數法的應用，在⑵中確定出P點的位置是解題的關鍵，在⑶中用P點坐標表示出 的面積是解題的關鍵.本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中。

⑴由A、B、C三點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式;

⑵由題意可知點P在線段OC的垂直平分線上，則可求得P點縱坐標，代入拋物線解析式可求得P點坐標;

⑶過P作 軸，交x軸于點E，交直線BC于點F，用P點坐標可表示出PF的長，則可表示出 的面積，利用二次函數的性質可求得 面積的最大值及P點的坐標。

總之，二次函數在初中教學過程中是我們教學的重點也是學生學習的難點，作為教師的我們應該從教會學生把握基礎知識為根本，讓學生掌握各種有關二次函數的題的解題關鍵和解題步驟以及解題技巧，只有這樣才能達到活學活用，解決問題的最終目的。

參考文獻：

[1] 《數形結合思想在二次函數中的應用》 ? ?作者：陳元云

（作者單位：北京景山學校四川廣安實驗學校）