數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用

張麗華

摘要：《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出數(shù)學(xué)教育要面向全體學(xué)生，實(shí)現(xiàn)“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué);人人都能獲得必須的數(shù)學(xué);不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”。標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)在數(shù)學(xué)教學(xué)中要加強(qiáng)學(xué)生能力與思想方法的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué).數(shù)能精確地揭示研究對(duì)象的數(shù)量特征，形能直觀地刻畫研究對(duì)象的空間結(jié)構(gòu)，因此數(shù)形結(jié)合思想被廣泛運(yùn)用于數(shù)學(xué)的解題過程中。

著名的數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形缺數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非。”寥寥數(shù)語把數(shù)形結(jié)合說得淋漓盡致。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用一種數(shù)學(xué)思想方法，可以使抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化，生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題中的本質(zhì)。二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，同時(shí)又是“數(shù)形結(jié)合”思想方法體現(xiàn)的很充分的一個(gè)章節(jié)。在此特對(duì)數(shù)形結(jié)合解決二次函數(shù)的問題進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸納分析。

一、如何解決一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象的性質(zhì)及其應(yīng)用問題

解題的方法是首先根據(jù)其中一次函數(shù)圖象確定a、b的符號(hào)，進(jìn)而判斷另一個(gè)函數(shù)的圖象是否符合題意，進(jìn)而運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷圖形中給出的二次函數(shù)的圖象是否符合題意，根據(jù)題意逐一討論解析，即可解決問題.

在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù) 與 的圖象可能是（）

A. B.

C. D.

A.對(duì)于直線 來說，由圖象可以判斷，α>0，b>0;而對(duì)于拋物線 來說，對(duì)稱軸 ，應(yīng)在y軸的右側(cè)，故不合題意，圖形錯(cuò)誤;

B.對(duì)于直線 來說，由圖象可以判斷，α<0，b>0;而對(duì)于拋物線 來說，對(duì)稱軸 ，應(yīng)在y軸的左側(cè)，故不合題意，圖形錯(cuò)誤;

C.對(duì)于直線 來說，由圖象可以判斷，α>0，b>0;而對(duì)于拋物線 來說，圖象開口向上，對(duì)稱軸 ，應(yīng)在y軸的右側(cè)，故符合題意;

D.對(duì)于直線 來說，由圖象可以判斷，α>0，b>0，;而對(duì)于拋物線 來說，圖象開口向下，α<0，故不合題意，圖形錯(cuò)誤;

二、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

以前我們從一次函數(shù)的角度看一元一次方程，認(rèn)識(shí)了一次函數(shù)與一元一次方程的聯(lián)系，有前面的知識(shí)做鋪墊，下面我就從二次函數(shù)的角度看一元二次方程認(rèn)識(shí)二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系。

1、從形式上看：二次函數(shù)：y=ax?+bx+c（a≠0）

一元二次方程：ax?+bx+c=0（a≠0）

2、從內(nèi)容上看：二次函數(shù)表示的是一對(duì)（x，y）之間的關(guān)系，它有無數(shù)對(duì)解;一元二次方程表示的是未知數(shù)x的值，最多只有2個(gè)值

3、相互關(guān)系：二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是相應(yīng)的一元二次方程的根

我們要掌握二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與一元二次方程的根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，及滿足什么條件時(shí)方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，有兩個(gè)相等的實(shí)根和沒有實(shí)根;理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c 與直線y=h（h是實(shí)數(shù)）圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

下面我就結(jié)合具體的題目分析二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)與一元二次方程的聯(lián)系。

⑴求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;⑵是否存在點(diǎn)P，使 是以O(shè)C為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由;⑶動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)， 的面積最大，求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)和 的最大面積.本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、等腰三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積、方程思想等知識(shí).在⑴中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在⑵中確定出P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，在⑶中用P點(diǎn)坐標(biāo)表示出 的面積是解題的關(guān)鍵.本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中。

⑴由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;

⑵由題意可知點(diǎn)P在線段OC的垂直平分線上，則可求得P點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo);

⑶過P作 軸，交x軸于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)F，用P點(diǎn)坐標(biāo)可表示出PF的長(zhǎng)，則可表示出 的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得 面積的最大值及P點(diǎn)的坐標(biāo)。

總之，二次函數(shù)在初中教學(xué)過程中是我們教學(xué)的重點(diǎn)也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，作為教師的我們應(yīng)該從教會(huì)學(xué)生把握基礎(chǔ)知識(shí)為根本，讓學(xué)生掌握各種有關(guān)二次函數(shù)的題的解題關(guān)鍵和解題步驟以及解題技巧，只有這樣才能達(dá)到活學(xué)活用，解決問題的最終目的。

參考文獻(xiàn)：

[1] 《數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用》 ? ?作者：陳元云

（作者單位：北京景山學(xué)校四川廣安實(shí)驗(yàn)學(xué)校）