放縮法在高中數學數列中的應用

唐悅容

摘 要：數列與不等式在高中數學中占有舉足輕重的地位，它可以考察學生邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。為了更好地掌握此部分相關內容，本文就通過高考的一些經歷經驗，以數列和不等式作為探討對象，以放縮法作為基本方法，通過對高中數列與不等式的分析，闡述放縮法在其中的巧妙應用。

關鍵詞：放縮法;高中數列;不等式運用

對放縮法的應用把握就是指對放縮力度的大小，以及放縮精細的程度，以達到預定的標準[1]。通過對迅速的找到解題突破口，逐漸培養學生嚴謹的思考能力和學習興趣，發現數學中數列不等式的內在魅力，認識到放縮法在解決此類問題中的有效性。

1.放縮法在數列中的分類應用

1.1取舍的放縮形式

在實際計算中可以通過觀察題目取舍一些項的放縮形式來達到預期結果，例如在使用放縮法處理多項式的過程中，就可以采用增添或舍去項的放縮形式來進行結果運算。

1.2通項公式的放縮形式

利用式子中通項式子的基本特點對式子的每一項進行放縮達到化簡求和的目的。

1.3逐步放縮的形式

假如面臨的是多個不同樣式的放縮結果，并且出現了結果之間的互異性，最簡便的辦法就是對計算逐步進行，這種放縮方式可以最大限度的提升放縮的精度大小。

1.4部分放縮形式

為了避免在放縮過程中出現超出預期效果的大小范圍，就采用了一部分另部分進行相應變化的部分放縮形式。

1.5利用基本不等式的放縮形式

基本不等式的放縮主要就是利用運算過程中存在可以推導得出的等式，或是利用已經存在的等式，對存在組合性質的元素進行等式重構，并對殘留的部分執行放縮過程。基本不等式的放縮形式最大的優勢就是對精度的提升，方便解題的準確性和便捷性。

1.6放縮法及常見的放縮技巧

放縮法總結以及實際題目中經常用到的放縮技巧。

放縮法：實則就是放寬或縮小不等式值的范圍的方法。常用在多項式中“舍掉一些正（負）項”而使不等式各項之和變小（大），或“在分式中放大或縮小分式的分子分母”，或“在乘積式中用較大（較小）因式代替”等效法，而達到其按要求證明題目的目的。

2函數單調性的放縮法形式

參照具體的題目類型和所提供的信息，對不等式架構進行重構，得到新的單調函數，并對其進行下一步放縮，從而得到結果。比如說：在某例題中為求任何正整數對于等式都成立的問題，就可以對其進行單調函數放縮，因為直接做差，難以找到切入點，而得到該函數的單調性能卻是比較容易的，定義域的范圍為正整數范圍，排除導數的可能性，通過計算可以找到解題思緒，但是依然困難重重，很難下手。但是，數列有著特殊的函數性質，它呈現的是一種單調狀態，就會得到函數存在的單調特點。[2]

以上例題運用了函數單調性來證明數列不等式，把數列轉化為函數，通過求函數的單調性來呈現數列增減的特點，然后放縮達到證明的目的。

放縮變形在根本上區別于恒等變形，放縮變形無論是在形式上，還是空間上都給人們提供了更多的可能性，可以自由的創造更大空間和添加更多計算的局部內容。使得放縮后的計算形式達到簡化效果，結構明了，具體一定的規律性，從而很好的解決問題，實現放縮形式作用的最大化。

3采用放縮形式的注意事項和方法

首先對于放縮法，我們要做到對于放縮的大小和方向要心中有數，無論是放大還是縮小都必須是根據要證明的結論而言，針對的大小數值呈現反向狀態，也就是計算結果大于標準項則進行縮小，小于標準項則進行擴大。除此之外，針對放縮的項數可以分別從第一、二、三等項開始，也可以不必是針對所有的存在項進行統一放縮。在放縮法的一般形式與常用技巧中，第一種是對于根式的放縮形式;第二種是對于分式分子分母的大小縮放，適用的規律一般是真分數分子分母一起減掉同樣的正數，呈現變大趨勢，假分數的分子分母一起減掉某個正數，呈現的是遞減趨勢;第三種是在傳統不等式的基礎上進行放縮操作，第四種是對于二項式的定理收縮形式，第五種是針對特殊情況采用添加或者舍棄某些項數來達到證明的目的。

高中階段所學習的證明數列不等式的方法包括：重要不等式法（例如運用均值不等式解決）、作差比較法（一般用于兩個不能直接求出單調性的數列函數）、先求和再放縮（一般用于基本有規律的數列不等式求和）、先放縮再求和（一般用于直接可以看出放縮范圍的兩個數列通項）、數學歸納法、構造數列法，函數單調性法等等，都是基于“放縮”即放大和縮小的基礎之上，對不等式進行變形，對原式子進行化簡，以至得到我們想要的結果。所以，“放大”與“縮小”的“度”應該要做到不多不少，恰到好處。數學是精密而準確的學術學科，需要我們對于數學的一切講究“有理可循，有據可依”，放縮法對數列不等式的證明是鍛煉我們的思維能力和邏輯推理能力，需要我們嚴謹的邏輯思維和精密的計算能力。“放大”與“縮小”的“度”，更是我們思維是否嚴謹，計算是否精密的一個直觀體現。

4結束語

綜上所述，正確把握收縮尺度的大小，對于放縮法的正確運用具有極其重要的意義。必須通過不斷的思考鍛煉和思維邏輯訓練，認識到題目本質的考察方向特性，才能對計算流程和放縮過程有一個足夠的認識，把復雜的解題過程規模化、結構化。比如說在構建函數的過程中，如果前后的不等號出現差別，無法對其單調性進行準確判斷，這時運用單調函數這個方法去解決該類問題就顯得不合時宜。進行略微的調整，在同樣的中心問題下，可以采取利用不同的方式進行解決不同的問題。

參考文獻：

[1]朱占奎.放縮應適度證明就有路[J].中學數學月刊，2007（03）：23-25.

[2]董入興.放縮“失控”的調整初探[J].中學數學，2007（01）：64-68.