基于熱防護服溫度分布的數學模型建立

張燁 張曉 惠歡歡 慕濤濤

摘?要：本文針對熱防護服的溫度分布問題，建立多層平壁模型，對熱防護服的溫度分布進行求解。首先利用導熱微分方程得出三類邊界條件，然后建立多層平壁模型，最后結合三類邊界條件，得出求解溫度分布的微分方程并在MATLAB軟件繪制出各層溫度分布圖。測試數據表明，本文方法解決了多徑向導熱問題，準確度更高，可直接服務于高溫作業中的作業人員，具有較高的現實意義。

關鍵詞：高溫作業;溫度分布;導熱微分方程;多層平壁模型

高溫專用服裝的用處就是能起到阻隔熱能到達人體皮膚表面的作用，以保護皮膚不被燒傷或灼傷。當前，對于高溫服裝的材料性能評價主要是依靠大量的性能測試，將材料的性能值作為評價材料隔熱性能好壞的標準。本文參照2018高教社杯全國大學生數學建模競賽A題，利用題目中給出的兩組數據：專用服裝材料的參數值;假人皮膚外側的測量溫度，在特定情形下進行求解，計算得到假人皮膚外側的溫度分布情況。

1 三類邊界條件

針對此問題，利用導熱微分方程，[1，2]求得某點處的溫度變化模型。本文根據環境溫度、時間、每一層的厚度，利用導熱微分方程得出假人皮膚外側溫度隨時間的變化規律。若物性參數?λ?，??c??和?ρ?均為常數，則

T?t?=?a??2?T?x?2?（1）

其中??a?=λρ?c??為熱擴散率（導溫系數）[3][??m?2/?s??]。

與導熱有關的邊界條件[4]有三種：

①第一類邊界條件：已知任一瞬態導熱體邊界上溫度值：

t?|?s=t?w1?（2）

②第二類邊界條件：已知物體邊界上熱流密度的分布及變化規律：

q|???s?=?q???w?=?f?（?r?，τ）?（3）

③第三類邊界條件：已知任一時刻邊界面周圍介質的溫度變化規律以及物體邊界與周圍介質的熱傳遞規律，根據牛頓冷卻定律和傅里葉定律，得到

- λ（?t??x?）??w?=?h?（?t???w??-t???f?）?（4）

其中，??h?（?t?）?為表面傳熱系數，??t???f??為流體溫度。

2 多層平壁模型的建立

現實生活中存在著大量多層材料的導熱問題，通常認為這類問題的溫度梯度僅出現在徑向一個方向上，因此可以根據多層平壁模型[5]來計算。假設：

a?.?各層厚度分別為?δ?1?、?δ?2?、?δ?3?，各層材料的熱導率分別為?λ?1?、?λ?2?、?λ?3?;

b?.?各層之間接觸緊密，相互接觸的表面具有相同的溫度;

c?.?平壁兩側外表面分別保持均勻恒定的溫度??tw?1?、??tw4??。

圖1 三層平壁的傳熱過程

由圖1得出，多層平壁導熱可以看做是一種串聯的導熱過程，其推動力為各分過程溫度差之和（即總溫度差），總熱阻為各分過程熱阻之和，[6]也就是串聯電阻疊加原則。

3 溫度分布圖的求解

基于多層平壁模型，本文結合導熱微分方程的三類邊界條件，最終利用matlab求出各層溫度分布圖。

假設無內熱源，內外表層分別保持均勻溫度。以第一層為例，已知環境溫度為??t???w??，第一層的溫度為??tw?1?即??t???w?=75℃??tw?5=37℃?，則該問題的數學描述為

2?t??x?2=0?（5）

對其積分求出通解為：

t?=C?1?x?+C?2?（6）

（1）平壁邊界的第一類邊界條件，即

x?=0，?t?=?t???w

x?=δ?1，?t?=?tw?1?（7）

代入（6）式，可確定通解中的兩個任意常數，得到該問題的溫度分布為

t?=?t???1??- ?t???w??-tw1?δ?x??（8）

通過平壁的熱流量[7]的最終表達形式為：

=λA?t???w??-tw?1δ=?t???w??-tw?1δλA?（9）

在上述表達式中，?δλ?為熱阻用?R?λ?表示。把通過第一層的熱流密度[8]記作??q??1?，單位為?W/m?，則有：

q??1=?t???w??-tw?1R?λ1=?t???w??-tw?1δ?1λ?1?（10）

同理，可以得出第二層、第三層、第四層及假人皮膚外側的熱流密度。

q??2=?tw1??-tw?2?R??λ?2?=?tw?1?-tw?2δ?2λ?2?（11）

q???3?=?tw2??-tw?3?R??λ?3?=?tw?2?-tw?3δ?3λ?3?（12）

q???4?=?tw3??-tw?4R?λ4=?tw?3?-tw4?δ??4?λ??4??（13）

q???5?=?t???w??-tw?5R?λ1+R?λ2+R?λ3+R?λ4?（14）

對于一維導熱，傅里葉定律可寫作??q?=λ?t??x??，穩態導熱無內熱源，q為不隨??x??變化的常量。根據能量守恒定律原理得到平壁中穩態溫度分布的另一種形式

t?=?t???w??- qλ?x??（15）

（2）平壁邊界的第三類邊界條件，即：

-λ?t??x??x=0=h?1（t?w-t?w1）

-λtx?x=δ=h?2（?tw1??-tf2?）

計算得到第一層熱流密度，即

q?x=0=h?1（t?f1-t?w1）

q=λδ（t?w1-t?w2）

q?x=δ=h?2（t?w2-t?f2）?（16）

在穩態情況下可得：

q?1=t?f1-t?f21h?1A+δλ+1h?2A=?k?（?tf?1?-tf?2）?（17）

其中，傳熱系數?K?滿足?1k=1?h??1+δλ+1?h??2?，又根據傅里葉定律可得

dt??dx?=?- qλ=?- 1λ·?tf?1?-tf?21?h??1+δλ+1?h??2?（18）

據上式，將相關參數帶入方程，利用?matlab?軟件求出各層的溫度分布圖，如圖2所示。

圖2 各層的溫度分布圖

結合得出的數據，從圖2可以看出溫度隨時間變化的規律：第一層織物材料，在0-886s時間段內溫度上升較快，最后溫度穩定在74.34??°?C?左右上下波動;第二層織物材料，在0-876s時間段內溫度上升較快，溫度在72.80??°?C?左右上下波動;第三層織物材料的溫度，在0-810s時間段內溫度上升較快，溫度保持在63.17??°?C?左右;第四層，即第三層與皮膚之間的間隙，在0-881s時間段內的溫度上升較快，最后緩慢上升并在48.12??°?C?左右上下浮動。

4 結語

本文首先利用導熱微分方程得出三類邊界條件，然后建立多層平壁模型，最后結合三類邊界條件，得出求解溫度分布的微分方程并在MATLAB軟件繪制出各層溫度分布圖，進而分析得到溫度隨時間變化的規律。測試數據表明，本文方法便于理解，準確度更高，可以解決許多徑向導熱問題，對挖掘和提高這類系統的熱工作性能、節約能源具有十分重要的意義。本文的研究成果，可直接服務于高溫作業中的作業人員，為其提供良好的服裝設計方案，具有較高的現實意義。

參考文獻：

[1]鄧先琛.對建立球面坐標系中的導熱微分方程式探討[J].安徽工學院學報，1987（6）：58-60.

[2]賈力，方肇洪，錢興華.高等傳熱學[M].高等教育出版社，2003（3）：21-25.

[3]張傳坤，魏珉，劉福勝，徐平麗.日光溫室后墻夜間非穩態導熱特性研究[J].西北農林科技大學學報，2019（2）：3-4.

[4]烏江津.加熱爐優化控制方法與仿真系統研究[J].大連理工大學，2006（12）：11-12.

[5]滕波濤，謝堅堅，馮姍，劉亞.研究性學習在化工原理教學中的應用[J].化學教育，2016：58-59.

[6]趙娟，蘇曉海.組合壁熱阻的求解思想及應用分析[J].陜西理工學院學報，2010（12）：49-50.

[7]鄭坤燦，陳莉榮，向峰偉，覃禎俊，李和輝.對一維穩態傳熱過程類電流求解方法的討論[J].中國冶金教育，2012（12）：49-51.

[8]高子龍.火用分析在穩態導熱中的應用研究[J].節能，2017（10）：23-24.