一類四維超混沌Lorenz型系統的動力學行為

談鑫杰 李麗潔 覃鳳梅 景瑤昊

摘?要：本文通過構造李雅普諾夫函數，借助最優化理論，討論一種四維超混沌Lorenz型系統的全局漸近穩定性、全局指數吸引集、正向不變集等問題，并運用數值模擬驗證結果。

關鍵詞：全局漸近穩定;全局指數吸引集;正向不變集;超混沌Lorenz型系統

1 緒論

上世紀80年代末，R.Mhatews提出混沌加密思想后，混沌序列加密方法迅速成為現代密碼學的研究熱點，[1]現在其應用前景最廣領域為圖像大數據加密處理.近年來，混沌控制與同步成為混沌保密通訊實用化研究的熱點，我國也在《國家中長期科學和技術發展綱要（2006-2020）》將其列為重點研究領域.

自Rossler首次報道超混沌后，其在加密處理、安全通訊、流體混合、非線性電路、生物網絡等領域相繼顯現巨大應用潛力[2-3].在混沌加密方面，考慮到高維混沌系統在大數據加密方面生成超混沌密鑰的時間開銷較大，故建立更為復雜的混沌系統模型，也就成為了提高大數據加密性能的思路之一。[4-5]

2014年Yuming Chen等在文獻[2]中研究了一類四維超混沌Lorenz型系統：

x·=a（y-x），?y·=bx-cy-xz+w，?z·=-dz+xy，?w·=-ky-rw，?（1）

其中?x，y，z，w?是系統狀態變量，?a，b，c，d，k，r?是實參數。[2]

當?a=12，b=23，c=1，d=2.1，k=6，r=0.2?時，取初始值?（3，5，30，10）?，則李雅普諾夫指數分別為?λ?LE?1=0.1740，λ?LE2?=0.1314，λ?LE3?=0.0000，λ?LE4?=-15.6059?，這意味著系統（1）處于超混沌狀態，該系統超混沌吸引子MATLAB模擬如圖1所示。圖像與Lorenz系統吸引子圖像類似，因此稱其為Lorenz型四維超混沌系統。[2，6]

文獻[2]研究分析了超混沌系統（1）平衡點的穩定性，分岔和Hopf分岔等局部動力學行為，以及同宿軌道和異宿軌道的存在性。[2]

本文將研究超混沌系統（1）的全局漸近穩定性、全局指數吸引集、正向不變集等問題，并運用MATLAB R2017a進行數值模擬仿真以驗證結果的準確性。

2 全局穩定性

定理1

當?a>0，d>0，k>0，r>0，a+bk

x·=a（y-x），?y·=bx-cy-xz+w，?z·=-dz+xy，?w·=-ky-rw，

（2）

證明構造廣義正定、徑向無界的李雅普諾夫函數

V（x，y，z，w）=12（x?2+ky?2+kz?2+w?2）?，

則

V·=x[a（y-x）]+ky（bx-cy-xz+w）+kz（-dz+xy）+w（-ky-rw）

=-ax?2-kcy?2-kdz?2-rw?2+（a+kb）xy

=-（xyzw）a-a+kb200?-a+kb2kc00?00kd0?000rx?y?z?w

=-（xyzw）Ax?y?z?w

當?a>0，d>0，k>0，r>0，a+bk

根據文獻[8]定義2.6及定理2.1，可得系統（1）的平凡解是全局漸近穩定的，定理1成立。

[2，6-8]

取參數?a=1，b=12，c=3，d=1，k=2，r=1?，初始值為?（3，5，30，10）?，系統（1）隨時間變化軌跡曲線如圖2所示，平凡解確為全局漸近穩定。

3 全局指數吸引集和正向不變集

定理2

當系統（1）在?a，b，c，d，k，r>0?的情況下，令

V（x，y，z，w）=12x?2+ky?2+?kz-a+bkk?2+w?2?，

其中?l1=d2k?（a+bk）?2?，?L=l1l0?，存在全局吸引指數集估計式：?V（x（t））-LSymbolcB@

（V（x（t0））-L）e?-l0（t-t0）?，特別地，

Ω??=?xV（x）SymbolcB@

L，tt0

=x12[x?2+ky?2+k?（z-a+bkk）?2+w?2]SymbolcB@

L，tt0

為系統（1）的全局指數吸引集。

證明?構造廣義正定、徑向無界的李雅普諾夫函數

V（x，y，z，w）=12[x?2+ky?2+k?（z-a+bkk）?2+w?2]

則

V·=x（ay-ax）+ky（bx-cy-xz+w）+k（z-a+bkk）（-dz+xy）+w（-ky-rw）

=-ax?2-cky?2-dkz?2-rw?2+（a+bk）dz

=-12[ax?2+cky?2+dk?（z-a+bkk）?2+rw?2]??-12ax?2-12cky?2+12dk?（z-a+bkk）?2-12rw?2-dkz?2+（a+bk）dz??SymbolcB@

-l0V+F（z）SymbolcB@

-l0V+l1

其中

l0=?min?{a，c，d，r}，l1=F?（z）?max?=12dk?（a+bk）?2，L=l1l0?，

F（z）=12dk?（z-a+bkk）?2-dkz?2+（a+bk）dz

根據微分方程比較原理得：

VSymbolcB@

e?-∫l0dt（∫Le?∫l0dtdt+c1）=l1l0+c1e?-l0t=L+c1e?-l0t

從而當?V（x（t））>L，V（x（t0））>L?時，有全局指數估計式?V（x（t））-LSymbolcB@

（V（x（t0））-L）e?-l0（t-t0）?。

對估計式取極限可得???lim??t→SymboleB@

V（x（t））SymbolcB@

L?。

因此可得到系統（1）的全集吸引指數集及正向不變集為

Ω??=?xV（x）SymbolcB@

L，tt0

=x12[x?2+ky?2+k?（z-a+bkk）?2+w?2]SymbolcB@

L，tt0?。

即系統的吸引子軌線被?12[x?2+ky?2+k?（z-a+bkk）?2+w?2]SymbolcB@

L?的橢球包裹著。

定理3

當系統（1）在?a，b，c，d，k，r>0，h<-b4?的情況下，令?V（x，y，z，w）=12（2b+8ha）x?2+y?2+?（z-4h）?2+1kw?2?，?l1=16dh?2?，?L=l1l0

存在全局吸引指數集估計式?V（x（t））-LSymbolcB@

（V（x（t0））-L）e?-l0（t-t0）?，特別地，??Ω??=?xV（x）SymbolcB@

L，tt0

=x12（2b+8ha）x?2+y?2+?（z-4h）?2+1kw?2SymbolcB@

L，tt0?為系統（1）的全局指數吸引集。

證明

令

V（x，y，z，w）=12（2b+8ha）x?2+y?2+?（z-4h）?2+1kw?2

為廣義正定，徑向無界的李雅普諾夫函數，則

V·=（2b+8ha）x（ay-ax）+2y（bx-cy-xz+w）+（z-4h）（-dz+xy）+2kw（-ky-rw）

=-2（2b+8h）x?2-2cy?2-2dz?2-2rkw?2+8dhz

=-[12（2b+8ha）ax?2+cy?2+d（z-4h）?2+1krw?2]-（b+4h）x?2-cy?2-dz?2-1krw?2+16dh?2SymbolcB@

-l0V+l1

其中?l0=?min?{2b+8h，2c，2d，2rk}，l1=16dh?2，L=l1l0

根據微分方程比較原理得：

V·SymbolcB@

-l0V+l1

VSymbolcB@

e?-∫l0dt（∫Le?∫l0dtdt+c1）=l1l0+c1e?-l0t=L+c1e?-l0t

當?t=t0?時，

V（x（t0））=c1e?-l0t0+L?，

可得?c1=（Vx（t0））-L）e?l0t0?，

從而當?V（x（t））>L，V（x（t0））>L?時，有全局指數估計式?V（x（t））-LSymbolcB@

（V（x（t0））-L）e?-l0（t-t0）?。

對估計式取極限可得：???lim??t→SymboleB@

V（x（t））SymbolcB@

L?。

因此可得到系統（1）的全集吸引指數集及正向不變集為

Ω??=?xV（x）SymbolcB@

L，tt0

=x12（2b+8ha）x?2+y?2+?（z-4h）?2+1kw?2SymbolcB@

L，tt0?。

即系統的吸引子軌線被?12（2b+8ha）x?2+y?2+?（z-4h）?2+1kw?2SymbolcB@

L?的橢球包裹著。

[2，9，10]

4 數值模擬

取?a=12，b=23，c=1，d=2.1，k=6，r=0.2?，初始值為?（3，5，30，10）?時，根據定理2知

l1=3937.5，l0=0.2，L=19687.5?，那么?x?2+6y?2+6?（z-25）?2+w?2SymbolcB@

（198.43）?2?。

從而?x?2+6y?2+6?（z-25）?2SymbolcB@

（198.43）?2?，

x?2+6y?2+w?2SymbolcB@

（198.43）?2?，

6y?2+6?（z-25）?2+w?2SymbolcB@

（198.43）?2?，

下面模擬x-y-w的相圖及其全局指數如圖3所示。

取?a=12，b=23，c=1，d=2.1，k=6，r=0.2，h=-08?，初始值為?（3，5，30，10）?時，根據定理3知?l1=21.50，l0=007，L=322.56?，那么?1.65x?2+y?2+?（z+3.2）?2+16w?2SymbolcB@

（17.96）?2?。

從而

1.65x?2+y?2+?（z+3.2）?2SymbolcB@

（17.96）?2?，

1.65x?2+y?2+16w?2SymbolcB@

（17.96）?2?，

y?2+?（z+3.2）?2+16w?2SymbolcB@

（17.96）?2?，

下面模擬x-y-w的相圖及其全局指數如圖4所示。

比較定理2和定理3條件下，系統（1）混沌吸引子的界的范圍的模擬仿真結果，可直觀得出定理3條件下：

當?a，b，c，d，k，r>0，h<-b4?，令

V（x，y，z，w）=12（2b+8ha）x?2+y?2+?（z-4h）?2+1kw?2?，?l1=16dh?2?，?L=l1l0?，

系統（1）的界??Ω??=

x12（2b+8ha）x?2+y?2+?（z-4h）?2+1kw?2SymbolcB@

L，tt0?更優。

5 結論

本文在Chen等構建的四維混沌系統的基礎上，利用李雅普諾夫函數方法研究了該系統的全局穩定性和全局指數吸引集，得到了四維橢球估計，最后應用MATLAB模擬仿真驗證了結果。

參考文獻：

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