一類四維超混沌Lorenz型系統(tǒng)的動力學(xué)行為

談鑫杰 李麗潔 覃鳳梅 景瑤昊

摘?要：本文通過構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)，借助最優(yōu)化理論，討論一種四維超混沌Lorenz型系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性、全局指數(shù)吸引集、正向不變集等問題，并運(yùn)用數(shù)值模擬驗(yàn)證結(jié)果。

關(guān)鍵詞：全局漸近穩(wěn)定;全局指數(shù)吸引集;正向不變集;超混沌Lorenz型系統(tǒng)

1 緒論

上世紀(jì)80年代末，R.Mhatews提出混沌加密思想后，混沌序列加密方法迅速成為現(xiàn)代密碼學(xué)的研究熱點(diǎn)，[1]現(xiàn)在其應(yīng)用前景最廣領(lǐng)域?yàn)閳D像大數(shù)據(jù)加密處理.近年來，混沌控制與同步成為混沌保密通訊實(shí)用化研究的熱點(diǎn)，我國也在《國家中長期科學(xué)和技術(shù)發(fā)展綱要（2006-2020）》將其列為重點(diǎn)研究領(lǐng)域.

自Rossler首次報道超混沌后，其在加密處理、安全通訊、流體混合、非線性電路、生物網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域相繼顯現(xiàn)巨大應(yīng)用潛力[2-3].在混沌加密方面，考慮到高維混沌系統(tǒng)在大數(shù)據(jù)加密方面生成超混沌密鑰的時間開銷較大，故建立更為復(fù)雜的混沌系統(tǒng)模型，也就成為了提高大數(shù)據(jù)加密性能的思路之一。[4-5]

2014年Yuming Chen等在文獻(xiàn)[2]中研究了一類四維超混沌Lorenz型系統(tǒng)：

x·=a（y-x），?y·=bx-cy-xz+w，?z·=-dz+xy，?w·=-ky-rw，?（1）

其中?x，y，z，w?是系統(tǒng)狀態(tài)變量，?a，b，c，d，k，r?是實(shí)參數(shù)。[2]

當(dāng)?a=12，b=23，c=1，d=2.1，k=6，r=0.2?時，取初始值?（3，5，30，10）?，則李雅普諾夫指數(shù)分別為?λ?LE?1=0.1740，λ?LE2?=0.1314，λ?LE3?=0.0000，λ?LE4?=-15.6059?，這意味著系統(tǒng)（1）處于超混沌狀態(tài)，該系統(tǒng)超混沌吸引子MATLAB模擬如圖1所示。圖像與Lorenz系統(tǒng)吸引子圖像類似，因此稱其為Lorenz型四維超混沌系統(tǒng)。[2，6]

文獻(xiàn)[2]研究分析了超混沌系統(tǒng)（1）平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，分岔和Hopf分岔等局部動力學(xué)行為，以及同宿軌道和異宿軌道的存在性。[2]

本文將研究超混沌系統(tǒng)（1）的全局漸近穩(wěn)定性、全局指數(shù)吸引集、正向不變集等問題，并運(yùn)用MATLAB R2017a進(jìn)行數(shù)值模擬仿真以驗(yàn)證結(jié)果的準(zhǔn)確性。

2 全局穩(wěn)定性

定理1

當(dāng)?a>0，d>0，k>0，r>0，a+bk

x·=a（y-x），?y·=bx-cy-xz+w，?z·=-dz+xy，?w·=-ky-rw，

（2）

證明構(gòu)造廣義正定、徑向無界的李雅普諾夫函數(shù)

V（x，y，z，w）=12（x?2+ky?2+kz?2+w?2）?，

則

V·=x[a（y-x）]+ky（bx-cy-xz+w）+kz（-dz+xy）+w（-ky-rw）

=-ax?2-kcy?2-kdz?2-rw?2+（a+kb）xy

=-（xyzw）a-a+kb200?-a+kb2kc00?00kd0?000rx?y?z?w

=-（xyzw）Ax?y?z?w

當(dāng)?a>0，d>0，k>0，r>0，a+bk

根據(jù)文獻(xiàn)[8]定義2.6及定理2.1，可得系統(tǒng)（1）的平凡解是全局漸近穩(wěn)定的，定理1成立。

[2，6-8]

取參數(shù)?a=1，b=12，c=3，d=1，k=2，r=1?，初始值為?（3，5，30，10）?，系統(tǒng)（1）隨時間變化軌跡曲線如圖2所示，平凡解確為全局漸近穩(wěn)定。

3 全局指數(shù)吸引集和正向不變集

定理2

當(dāng)系統(tǒng)（1）在?a，b，c，d，k，r>0?的情況下，令

V（x，y，z，w）=12x?2+ky?2+?kz-a+bkk?2+w?2?，

其中?l1=d2k?（a+bk）?2?，?L=l1l0?，存在全局吸引指數(shù)集估計(jì)式：?V（x（t））-LSymbolcB@

（V（x（t0））-L）e?-l0（t-t0）?，特別地，

Ω??=?xV（x）SymbolcB@

L，tt0

=x12[x?2+ky?2+k?（z-a+bkk）?2+w?2]SymbolcB@

L，tt0

為系統(tǒng)（1）的全局指數(shù)吸引集。

證明?構(gòu)造廣義正定、徑向無界的李雅普諾夫函數(shù)

V（x，y，z，w）=12[x?2+ky?2+k?（z-a+bkk）?2+w?2]

則

V·=x（ay-ax）+ky（bx-cy-xz+w）+k（z-a+bkk）（-dz+xy）+w（-ky-rw）

=-ax?2-cky?2-dkz?2-rw?2+（a+bk）dz

=-12[ax?2+cky?2+dk?（z-a+bkk）?2+rw?2]??-12ax?2-12cky?2+12dk?（z-a+bkk）?2-12rw?2-dkz?2+（a+bk）dz??SymbolcB@

-l0V+F（z）SymbolcB@

-l0V+l1

其中

l0=?min?{a，c，d，r}，l1=F?（z）?max?=12dk?（a+bk）?2，L=l1l0?，

F（z）=12dk?（z-a+bkk）?2-dkz?2+（a+bk）dz

根據(jù)微分方程比較原理得：

VSymbolcB@

e?-∫l0dt（∫Le?∫l0dtdt+c1）=l1l0+c1e?-l0t=L+c1e?-l0t

從而當(dāng)?V（x（t））>L，V（x（t0））>L?時，有全局指數(shù)估計(jì)式?V（x（t））-LSymbolcB@

（V（x（t0））-L）e?-l0（t-t0）?。

對估計(jì)式取極限可得???lim??t→SymboleB@

V（x（t））SymbolcB@

L?。

因此可得到系統(tǒng)（1）的全集吸引指數(shù)集及正向不變集為

Ω??=?xV（x）SymbolcB@

L，tt0

=x12[x?2+ky?2+k?（z-a+bkk）?2+w?2]SymbolcB@

L，tt0?。

即系統(tǒng)的吸引子軌線被?12[x?2+ky?2+k?（z-a+bkk）?2+w?2]SymbolcB@

L?的橢球包裹著。

定理3

當(dāng)系統(tǒng)（1）在?a，b，c，d，k，r>0，h<-b4?的情況下，令?V（x，y，z，w）=12（2b+8ha）x?2+y?2+?（z-4h）?2+1kw?2?，?l1=16dh?2?，?L=l1l0

存在全局吸引指數(shù)集估計(jì)式?V（x（t））-LSymbolcB@

（V（x（t0））-L）e?-l0（t-t0）?，特別地，??Ω??=?xV（x）SymbolcB@

L，tt0

=x12（2b+8ha）x?2+y?2+?（z-4h）?2+1kw?2SymbolcB@

L，tt0?為系統(tǒng)（1）的全局指數(shù)吸引集。

證明

令

V（x，y，z，w）=12（2b+8ha）x?2+y?2+?（z-4h）?2+1kw?2

為廣義正定，徑向無界的李雅普諾夫函數(shù)，則

V·=（2b+8ha）x（ay-ax）+2y（bx-cy-xz+w）+（z-4h）（-dz+xy）+2kw（-ky-rw）

=-2（2b+8h）x?2-2cy?2-2dz?2-2rkw?2+8dhz

=-[12（2b+8ha）ax?2+cy?2+d（z-4h）?2+1krw?2]-（b+4h）x?2-cy?2-dz?2-1krw?2+16dh?2SymbolcB@

-l0V+l1

其中?l0=?min?{2b+8h，2c，2d，2rk}，l1=16dh?2，L=l1l0

根據(jù)微分方程比較原理得：

V·SymbolcB@

-l0V+l1

VSymbolcB@

e?-∫l0dt（∫Le?∫l0dtdt+c1）=l1l0+c1e?-l0t=L+c1e?-l0t

當(dāng)?t=t0?時，

V（x（t0））=c1e?-l0t0+L?，

可得?c1=（Vx（t0））-L）e?l0t0?，

從而當(dāng)?V（x（t））>L，V（x（t0））>L?時，有全局指數(shù)估計(jì)式?V（x（t））-LSymbolcB@

（V（x（t0））-L）e?-l0（t-t0）?。

對估計(jì)式取極限可得：???lim??t→SymboleB@

V（x（t））SymbolcB@

L?。

因此可得到系統(tǒng)（1）的全集吸引指數(shù)集及正向不變集為

Ω??=?xV（x）SymbolcB@

L，tt0

=x12（2b+8ha）x?2+y?2+?（z-4h）?2+1kw?2SymbolcB@

L，tt0?。

即系統(tǒng)的吸引子軌線被?12（2b+8ha）x?2+y?2+?（z-4h）?2+1kw?2SymbolcB@

L?的橢球包裹著。

[2，9，10]

4 數(shù)值模擬

取?a=12，b=23，c=1，d=2.1，k=6，r=0.2?，初始值為?（3，5，30，10）?時，根據(jù)定理2知

l1=3937.5，l0=0.2，L=19687.5?，那么?x?2+6y?2+6?（z-25）?2+w?2SymbolcB@

（198.43）?2?。

從而?x?2+6y?2+6?（z-25）?2SymbolcB@

（198.43）?2?，

x?2+6y?2+w?2SymbolcB@

（198.43）?2?，

6y?2+6?（z-25）?2+w?2SymbolcB@

（198.43）?2?，

下面模擬x-y-w的相圖及其全局指數(shù)如圖3所示。

取?a=12，b=23，c=1，d=2.1，k=6，r=0.2，h=-08?，初始值為?（3，5，30，10）?時，根據(jù)定理3知?l1=21.50，l0=007，L=322.56?，那么?1.65x?2+y?2+?（z+3.2）?2+16w?2SymbolcB@

（17.96）?2?。

從而

1.65x?2+y?2+?（z+3.2）?2SymbolcB@

（17.96）?2?，

1.65x?2+y?2+16w?2SymbolcB@

（17.96）?2?，

y?2+?（z+3.2）?2+16w?2SymbolcB@

（17.96）?2?，

下面模擬x-y-w的相圖及其全局指數(shù)如圖4所示。

比較定理2和定理3條件下，系統(tǒng)（1）混沌吸引子的界的范圍的模擬仿真結(jié)果，可直觀得出定理3條件下：

當(dāng)?a，b，c，d，k，r>0，h<-b4?，令

V（x，y，z，w）=12（2b+8ha）x?2+y?2+?（z-4h）?2+1kw?2?，?l1=16dh?2?，?L=l1l0?，

系統(tǒng)（1）的界??Ω??=

x12（2b+8ha）x?2+y?2+?（z-4h）?2+1kw?2SymbolcB@

L，tt0?更優(yōu)。

5 結(jié)論

本文在Chen等構(gòu)建的四維混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，利用李雅普諾夫函數(shù)方法研究了該系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性和全局指數(shù)吸引集，得到了四維橢球估計(jì)，最后應(yīng)用MATLAB模擬仿真驗(yàn)證了結(jié)果。

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