多樣本尺度參數的非參數檢驗

唐興蕓 羅明燕

摘?要：當總體不是正態時，對它們的尺度參數進行檢驗，通常采用非參數檢驗的方法。本文就多樣本尺度參數非參數檢驗的不同的方法及其原理進行了歸納整理，并通過實例對這些檢驗的功效進行了比較。

關鍵詞：位置參數;尺度參數

尺度參數主要用來描述總體概率分布的離散程度，常用的方差，標準差，平均差等都是關于尺度的參數。對于多個獨立正態總體的尺度參數檢驗，常用的有最大F比檢驗，最大方差檢驗，Bartlett檢驗，levene檢驗等。然而當樣本數據不足以支持總體正態假定時，對總體尺度參數的檢驗就需要用非參數方法來解決：

設有?k?（?k?2?）個獨立總體?X?i?～?Fx?i-θ?iσ?i?，?i=1，2，…，k?，其中?F·?為連續性分布函數。對這k個總體進行尺度參數檢驗，不妨假定檢驗的零假設?H?0：σ?1=σ?2=…=σ?k?，備擇假設?H?1：σ?1，σ?2，…，σ?k?不全相等。檢驗對總體的分布類型沒有要求，但檢驗前一般需假定總體位置參數（均值或中位數）相等，即?θ?1=θ?2=……=θ?。如果不等，則估計出這?k?個總體共同中位數?θ?，將樣本經過平移使位置參數相等后再進行檢驗。

1 多總體尺度參數檢驗的非參數檢驗方法

1.1?Ansari-Bradley?檢驗

檢驗原理：對位置參數相同的合樣本編秩，最大和最小的樣本秩為1，第二大和第二小的樣本秩為2，依次進行直到每個觀測值都有秩。[1]若有來自?k?個總體的樣本，總樣本量為?N?N=∑k?i=1n?i?，合樣本中位數為?N+12?，?X?i1，X?i2，…，X?in?i.表示其中大小為?n?i?的第?i?個樣本，用?R?ij.表示樣本?X?ij.在合樣本中的秩，若樣本?X?i?的秩和?∑jR?ij.比較小，說明其樣本點距最值兩端較近比較分散，否則就會比較集中。若每組樣本的秩和差別不大，則不拒絕零假設。令?A-?i=1n?i∑?n?i.j=1N+12?- R?ij-N+12?，則?k?樣本的檢驗統計量?B=N?3-4N48N-1∑k?i=1n?i?A-?i-N+24.2?。在零假設下，?B?近似服從自由度為?k-1?的?χ?2?分布，若?B?χ?2?1-αk-1?，則在顯著水平?α?下拒絕零假設。

1.2?Kruskal-Wallis?檢驗

檢驗原理：檢驗前提總體分布是連續的，雖然類型未知但分布類型是相似的，。把多個樣本混合起來求秩，按不同樣本組分別求秩和。如果有相同的觀測值時即出現打結的情形，則用平均秩法確定秩。[2]設有k個總體，n個樣本，每組樣本數?n?1，n?2，…，n?k?，即?n=n?1+n?2+…+n?k?，?R?ij.為樣本?X?ij.的秩，?i=1，2，…，k?，?j=1，2，…，n?i?，則第i組的樣本的平均秩?R-?i=R?in?i?，?R?i=∑?n?i.j=1R?ij，?i=1，2，…，k?合樣本秩的平均值為?R-=n+12，?在零假設成立的條件下，每組樣本的秩均值應該與合樣本的秩均值很接近，即?ER-?i=n+12?，如果相差很遠，則可以拒絕零假設。當SSB的值太大就拒絕零假設，檢驗的統計量?H=SSBMST=12nn+1∑k?i=1R?2?1n?i-3n+1?，其中?SSB=∑k?i=1n?i?R-?i-R-.2?為各處理間平方和，?SST=∑k?i=1∑?n?i.j=1.R?ij-R-.2?為合樣本各秩的總平方，其總均方為?MST=SSTn-1?。在零假設下?H?服從自由度為?k-1?的?χ?2?分布，拒絕域?H?χ?2?k-11-α?。

1.3?Fligner-Killeen?檢驗

檢驗原理：假定有?k?個來自不同總體的樣本，它們的位置參數相同，因為具有大的尺度參數的總體，其樣本值一般會傾向于遠離這?k?個總體共同中位數?θ?。[3]由此角度出發，將樣本值到共同的中位數的距離?V?ij=X?ij-θ?進行排序，其中?X?i1，X?i2，…，X?in?i.表示大小為?n?i?的第?i?個樣本，?i=1，2，…，k，j=1，2，…，n?i?。再用?R?′?ij.表示在合樣本中的?V?ij.秩，?K=12NN+1∑k?i=1n?i?R-?′?i-N+12.2?作為檢驗的統計量，這里?R- ′?i=1n?i∑?n?i.j=1R?′?ij.。在零假設下，統計量?K?有?Kruskal-Wallis?分布，對于太大的?K?，應拒絕零假設。[4]

1.4 平方秩檢驗

檢驗原理：平方秩檢驗無需考慮總體的位置參數，把每個總體的樣本與其平均數計算絕對離差后混合排序編秩，總體?X?i?的平方秩的和?T?x=∑m?i=1R?xi.2?越小，則說明樣本離中心越接近，分散程度越低。[4]具體做法如下：設有個?k?總體的樣本，樣本總容量為?N?，記?X-?i=1n?i∑?n?ijX?ij.為各總體樣本的均值，于是所有樣本的?N?個絕對離差?X?ij-X- i?，?i=1，2，…，k，j=1，2，…，n?i?混合排序得到?N?個秩，不妨用?R?ij.表示這些秩的平方，?T?i=∑?n?i.j=1R?ij.

i=1，2，…，k?，表示相對于第?i?個總體樣本的平方秩的和。在零假設下，檢驗統計量?T=N?- 1∑k?i=1T?2?i/n?i-?∑k?i=1T?i.2/N∑k?i=1∑?n?i.j=1R?2?ij-?∑k?i=1T?i.2/N?，漸進服從自由度為?k-1?的?χ?2?分布。

2 尺度參數非參數檢驗方法的實例分析

三個單位的管理人員年度管理表現評分如下：

在顯著水平?0.05?下，這三個單位的管理表現評分的方差有無顯著差異？

采用四種方法，借助于軟件SPSS24對此三樣本的尺度參數進行檢驗，結果如下表所示：

通過這四種檢驗方法得出的?P?值都明顯大于?0.05?，表明這四種方法對本例數據檢驗結論一致：在顯著水平?α?下不能拒絕零假設，即三個單位的管理表現評分的方差無顯著差異。

從檢驗原理上來看，Ansari-Bradley檢驗性，Kruskal-Wallis檢驗，平方秩檢驗都是漸進服從?χ?2?分布。由于檢驗過程中都使用到了Wlicoxon秩和檢驗統計量，所以Fligner-Killeen檢驗和平方秩檢驗，二者檢驗結果比較相近。然而當大樣本時，有研究表明這四個檢驗的統計量都漸進正態分布，所以它們的檢驗結果大致相同。[5]

參考文獻：

[1]吳喜之，趙博娟.非參數統計（第三版）[M].北京：中國統計出版社，2012-11，第三版.

[2]薛留根.應用非參數統計[M].北京：科學出版社，2013-7，第一版.

[3]王靜龍，梁小筠.非參數統計分析[M].北京：高等教育出版社，2006-4，第一版.

[4]王星，褚挺進.非參數統計[M].北京：清華大學出版社，2014-9，第二版.

[5]陳希孺，方兆本，李國英，陶波.非參數統計[M].北京：中國科學技術大學出版社，2012-4，第一版.