論擴(kuò)域中的四種代數(shù)運(yùn)算

張?jiān)? 李靜

摘?要：在高等代數(shù)中已然對(duì)域的概念有了初步介紹，域即是對(duì)加、減、乘、除四則運(yùn)算全部封閉的集合，這僅是一種表面定義，本文從更深一層次對(duì)域的概念進(jìn)行了更加詳細(xì)的界定，從而讓讀者能夠?qū)τ虻母拍钣猩钊肓私猓疚牧硗庖矊?duì)擴(kuò)域的概念進(jìn)行了闡述，并深度剖析相關(guān)擴(kuò)域典型問(wèn)題以加深讀者對(duì)域以及擴(kuò)域的理解與掌握。

關(guān)鍵詞：擴(kuò)域;代數(shù)元;極小多項(xiàng)式;主理想

中圖分類號(hào)：O13?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：C

域和擴(kuò)域的概念皆為高等數(shù)學(xué)中比較抽象難懂的概念，較之于初等數(shù)學(xué)中的一些簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)知識(shí)，域和擴(kuò)域的概念才算涉及到數(shù)學(xué)界真正的前沿，但是由于數(shù)域的定義未免太過(guò)于廣泛，所以我們?cè)诟叩葦?shù)學(xué)中很少用到有關(guān)數(shù)域的定義，倒是數(shù)域的一些子集例如有理數(shù)域，復(fù)數(shù)域，實(shí)數(shù)域和代數(shù)數(shù)域反倒經(jīng)常被提及或使用.而擴(kuò)域指的是在數(shù)域的基礎(chǔ)上，通過(guò)某些特別規(guī)定的法則所構(gòu)建出來(lái)的一種新的域，即稱之為擴(kuò)域.例如在域的基礎(chǔ)上添加單個(gè)元素所構(gòu)成的域即稱為單擴(kuò)域。下面即先介紹域和擴(kuò)域的定義，之后再在實(shí)例中展開論述。

1 域的定義

在抽象代數(shù)中，交換除環(huán)即為域，在域中元素之間是可交換的，而且每個(gè)元素都存在可逆元，當(dāng)然域首先得是一個(gè)環(huán)。

2 擴(kuò)域的定義

一個(gè)域A是域B的擴(kuò)域的充要條件是域B是域A的子域。

眾所周知，實(shí)數(shù)域完全是在有理數(shù)域的基礎(chǔ)上通過(guò)某種方式建立起來(lái)的，而復(fù)數(shù)域是在實(shí)數(shù)域的基礎(chǔ)上通過(guò)某種方式建立起來(lái)的，所以我們發(fā)現(xiàn)探討域的方法就是先從一個(gè)既定的域A出發(fā)，再在域A的基礎(chǔ)上構(gòu)建我們想要的域B。擴(kuò)域大致可分為兩種，一種是單擴(kuò)域，一種是代數(shù)擴(kuò)域。文章主要介紹單擴(kuò)域，至于代數(shù)擴(kuò)域會(huì)在今后進(jìn)一步闡述。

3 域與擴(kuò)域的四種代數(shù)運(yùn)算

例1

證明：我們不妨令?E?是域?F?作成的一個(gè)擴(kuò)域，并且還有?a∈F?。現(xiàn)在來(lái)證明?a?是?F?上的一個(gè)代數(shù)元，而且還有?F（a）=F?成立。

證明：對(duì)于?f（x）=x-a?，我們知道此式為?F（x）?的一個(gè)不等于零的多項(xiàng)式，除此之外我們還有結(jié)論?f（a）=0?，從而我們可以很容易得到結(jié)論：?a?一定為?F?上的一個(gè)代數(shù)元。

另一方面由于?F（a）?含有?F?和?a?，從而我們可以很容易得到結(jié)論：?FF（a）?。從另外一個(gè)層面來(lái)說(shuō)，因?yàn)?F?是含有?F?和?a?的一個(gè)?E?的子域，并且我們還知道?F（a）?是含有?F?和?a?的一個(gè)?E?的最小子域，從而我們可以容易得到結(jié)論：?F（a）F?。綜合以上兩個(gè)方面我們可以得到結(jié)論：?F（a）=F?。證畢！

例2

不妨令?F?是有理數(shù)域，復(fù)數(shù)?i?和?2i+1i-1?在?F?上的極小多項(xiàng)式各是什么？另外，?F（i）?和?F（2i+1i-1）?是否同構(gòu)？

解答：我們可以顯然發(fā)現(xiàn)?2i+1i-1∈F（i）?，因而我們有結(jié)論：?F（2i+1i-1）F（i）?。而我們可以發(fā)現(xiàn)另一方面：

（2i+1i-1）.2=-32i+2∈F（2i+1i-1）?（1）

而且

[（-32i+2）-2] -1（-32）=i∈F（2i+1i-1）?（2）

從而我們可以得到結(jié)論：?F（i）F（2i+1i-1）?。根據(jù)此我們可以得到結(jié)論：?F（i）=F（2i+1i-1）?，從而可以得到結(jié)論：

F（i）F（2i+1i-1）?（3）

另一方面，?F?上的一次多項(xiàng)式?f（x）=x-a?很明顯是不能滿足條件?f（i）=0?的，從而可得?i?在?F?上的極小多項(xiàng)式絕不可能是一次的，可是另一方面?F?上的二次多項(xiàng)式?p（x）=x?2+1?是完全滿足條件?p（i）=0?的，從而我們可以得到結(jié)論：?i?在?F?上的極小多項(xiàng)式一定為多項(xiàng)式?x?2+1?。與此同時(shí)另一方面，?2i+1i-1?在?F?上的極小多項(xiàng)式絕對(duì)不可能為一次的。理由是：?2i+1i-1=（2i+1）（i+1）（i-1）（i+1）=12-32i?，根據(jù)于此，我們就可以輕松得出：?2i+1i-1?在?F?上的極小多項(xiàng)式毫無(wú)疑問(wèn)是?x?2-x+52?。

例3

求證元素?a?在域?F?上的極小多項(xiàng)式為?p（x）?。

證明：我們不妨令?H?為?F（x）?中一切滿足條件?f（a）=0?的多項(xiàng)式?f（x）?作成的集合。我們知道?p（x）∈H?，從而得到結(jié)論?H?不能是空的。我們不妨假設(shè)?f（x），g（x）∈H?并且?h（x）∈F[x]?，上面這個(gè)結(jié)論完全可以使得我們輕松地得到另外一個(gè)結(jié)論：

f（a）=0，g（a）=0f（a）-g（a）=0f（x）-g（x）∈H?（1）

f（a）=0h（a）f（a）=0h（x）f（x）∈H?（2）

從而我們可以得到結(jié)論：?H?為?F[x]?的一個(gè)理想，可是另一方面由于?F[x]?為一個(gè)主理想環(huán)，從而我們可得結(jié)論：?H=（p?1（x））?。另一方面我們根據(jù)條件?0≠p（x）∈H?，從而我們可得結(jié)論?H?一定不是0理想但是?d?1（x）≠0?。我們完全可以假設(shè)?p?1（x）?的最高系數(shù)為1，可是另一方面?H?中所有?f（x）?都是完全可以整除于?p?1（x）?的，從而我們可得結(jié)論為：?p?1（x）?一定為?H?中的多項(xiàng)式，而且這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)肯定很低，從而我們可以說(shuō)這個(gè)多項(xiàng)式一定是元素?a?在域?F?上的極小多項(xiàng)式。

另一方面我們根據(jù)條件?p?1（x）|p（x）?，但是我們知道?p（x）?是不可約的事實(shí)，所以我們完全可以得到結(jié)論為：?p（x）=cp?1（x）?，其中條件?c∈F?，可是另一方面我們知道多項(xiàng)式?p（x）?和?p?1（x）?的最高系數(shù)完全一致為1，綜上所述我們可得最終結(jié)論為：?p（x）=p?1（x）?，而且還有結(jié)論是多項(xiàng)式?p（x）?一定毫無(wú)疑問(wèn)為元素?a?在域?F?上的最小多項(xiàng)式。

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