問題引領下的數學探索

摘要：隨著中國教委會對基礎教育課程一次又一次的改革，數學問題中的情境設計逐步邁向了新的臺階，它既能讓學生在生動有趣的情境中獲取數學知識和技能，又能使學生在答疑時體會數學空間的無窮魅力。而我們的數學課程又是基礎教育課程的重要組成成分，因此在逐次的教學改革與逐步完善的《新課程標準》中，數學課程提出了很多新理論，有了很多新的變化。本文主要研究了數學習題中問題的價值，并進一步探索問題背后的知識海洋。

關鍵詞：數學習題;數學問題;數學空間

一、 引言

數學新課程提出的很多新理論，有了很多新的變化，這種“新”的變化既呈現出了數學作為一門基礎學科的自身特性，又在情景導入方面別具一格，顯現出的內容更加讓數學生活化、多元化。同時，在習題的創設方面也更有針對性，更能鞏固和提升學生的思維創新意識和邏輯推理能力;在問題設計方面也更具有新穎性和創造性，逐步引導學生進入問題的深思中。這樣一系列的訓練不僅能加強學生自身對知識的應用能力，也能提高學生對問題的深層探索能力。因此我們對數學部分習題中反映出來的問題進行針對性的研究將具有更深遠的影響意義。

二、 研究背景

而今，我國中學生普遍注重解題，輕視體驗，缺乏循序漸進，腳踏實地的探索精神，對習題的設置意圖和問題的提問角度持冷落態度。然而，學習和研究數學的我們都知道，習題是認識、理解、掌握和鞏固數學知識的鑰匙，而“問題更是數學的心臟”，因此習題中的問題就像心臟中的脈搏一樣，它扮演著舉足輕重的角色，起著至關重要的作用。畢竟，對數學問題的解決可以讓人體驗那種從沉思、迷惘、猶豫、猜想、探索和研究到柳暗花明，豁然開朗后成功的喜悅和快感，真是痛并快樂著，喜在眉頭，甜在心頭，別具一番滋味，而此也正是大多數人喜愛數學，專研數學進而癡迷于數學的主因。

三、 研究過程演練

曾幾何時，有如下幾道題目困擾我很久，同時我也相信有許多和我有著相同疑惑的同學及同事：

【例1】如方程（x-1）2+（y+2）2=|2x+y|所表示的軌跡是什么？

當我看到這道題目時，我欣喜如狂，因為我相信并堅信可以不費吹灰之力攻破它，因為我知道（x-1）2+（y+2）2表示的就是點P（x，y）到點F（1，-2）的距離，而|2x+y|=5|2x+y|5，其中|2x+y|5表示的是點P（x，y）到直線2x+y=0的距離，那么由上我們很容易地得到：（x-1）2+（y+2）2=5|2x+y|5，也就是（x-1）2+（y+2）2|2x+y|5=5，很明顯它的幾何意義表示的就是動點P（x，y）到定點F（1，-2）的距離與動點 P（x，y）到定直線2x+y=0的距離之比為5>1，這不就是圓錐曲線中橢圓的第二定義嘛！于是我很不屑地給出我的答案：此方程的軌跡就是橢圓?？墒俏覀兌贾溃寒斵k一件事情及其順利或解一道看似不尋常的題時及其簡單，反而我們顯得更加緊張和擔憂，經常會多問自己幾個“為什么？”“真的是這樣嗎？”。此題目過后，我內心同樣的緊張和擔憂，帶著先前的疑問去和老師一起探討，原來如此：我的解題過程中竟然沒有考慮到此定點F（1，-2）竟然在直線2x+y=0上，這與定義要求“定點不能在定直線上”相矛盾，于是我的答案就被否定了，其實我們可以繼續研究：它的軌跡其實是兩條相交直線。

雖然在解此題時，我給出的結果是不科學的，但是帶著疑問和困惑，讓我清楚地認識到了此題背后所蘊含的內涵和學識，通過此題，我相信我對圓錐曲線的內在條件認識的更加到位，這就是思考問題所帶來的喜悅和收獲！

【例2】已知：1x+x=1，則x2+1x2的值為多少？

當我們解這道題目時，每位同學都比較容易上手，因為我們都學習過：（a+b）2=a2+2ab+b2，依樣畫葫蘆便可得：1x+x2=x2+2x·1x+1x2=x2+2+1x2，于是很快有：x2+1x2=-1，可是我們不禁要問：“x≠0時，x2+1x2>0，可為什么會有x2+1x2=-1呢？”于是我們陷入了沉思，百思不得其解。當我們帶著這些疑問去研究這道題時，我們的數學修養將會發生質的飛躍。這時我們不妨回頭看1x+x=1這個方程，很容易發現此方程無實數解。為了解決此問題，就自然地引出另外一種數域——復數域。由此可知：這樣的結果也就在情理之中了！

對于這道題而言，它的設置意圖就是制造懸念，進而引起思考和疑問，并進一步去獲取新知——復數，這就是多思多疑后的成果。

【例3】我們知道：①對于指數函數y=ax（a>0且a≠1），如果：x=y，那么：ax=ay;②如果：a=b，x=y，那么：ax=by。

同樣我們也知道：26=13，按照常理我們也有：（-8）26=（-8）13，可是我們應該仔細琢磨一下：（-8）26=？（-8）13=？，當我們仔細考慮這些問題時，我們必然會有意想不到的收獲。

【例4】同樣我們感覺整數分為偶數和奇數，我們就會認為整數個數多于偶數個數，這種思想看是平常，其實不然。因為我們知道當給它們建立一個雙射f：k→2k（k是整數）時，就可得出：只要有一個整數，就會得到一個和它對應的偶數，因此從廣義上講它們的個數是一樣的，這些問題都應該引起我們的思考和探索甚至是共鳴。因為它們必將能開闊我們的視野，增長我們的見識，增強我們的求知欲！

四、 研究的目的和意義

多思考習題中的問題對于學生而言作用頗多，首先，它能讓其感知教學中的知識導向、能力導向以及未知領域中的進軍方向，從而做到對已學知識的復習鞏固、綜合應用及拓廣探索。這樣既培養學生獨立思考問題的能力，又讓學生體驗習題中滲透的數學思想，何樂而不為！其次，它能讓其對所學的知識結構在腦海里進行浮現，對所涉及的相關問題進行預想，對問題的解決方案進行初步診斷。這樣既是知識的積累，又是能力的培養。最后，它也能培養學生的邏輯推理能力，使他們的思維更加具有靈活性和創造性，讓學生在疑問中體會動與靜，變與不變間的種種思想，進而增強思維的變通性。

五、 總結

綜上，對數學習題所設問題的思考在整個學習生涯中起著不可取代的作用，它是我們邁上更高臺階的最佳樓梯，我們必須思考數學問題背后蘊含的思想內涵和銜接知識，還數學知識“有趣，益智，交叉，互融”的本來面目，使數學意識和數學素養深入大眾，通過分析和探索數學問題，感知和體會這些問題所帶來的驚喜和奧秘。

我們知道一切創新知識和創新活動都是從疑問中誕生的，因此我們在以后學習數學的道路上，就應該帶著疑問與思考一起前行，齊頭并進，一起去探索那未知的世界，去體會數學空間的無窮魅力。久而久之，我們必將會打造出一條屬于自己的成功之道，大可盡情地去享受成功路上的喜悅與收獲。

參考文獻：

[1]徐金梅.數學例題及習題進行研究[D].呼和浩特：內蒙古師范大學，2007.

[2]賢家興.簡析數學習題的導學功能[J].教學與管理，2004.

作者簡介：

張富冬，浙江省溫州市，溫州第二實驗中學。