MATLAB在求解常微分方程積分因子中的應用

鄧麗瑩 梁倩倩 羅媚 李麗潔 馮瑜

摘要：積分因子法是解一階微分方程的有效的方法，本文利用MATLAB編程求解四種常見的一階微分方程的積分因子，繼而快速地求解微分方程，提高解題效率.

關鍵詞：常微分方程;積分因子;MATLAB

1 概述

在自然科學中，一般地，與導數相關的問題都可用微分方程來描述。但只有極少數的常微分方程中可求出解析解，不過，若求得微分方程的解析解，便可獲取函數性質，因而尋找微分方程的解析解占有重要地位。[1]一階常微分方程的求解沒有一般的方法，針對各種類型方程可用一些技巧，如分離變量法、常數變易法、積分因子法、變量替換法等可化為可積分的方程而求得解析解。

在常微分方程課程中，為解決非恰當微分方程轉化為微分方程求通解的問題而引入了積分因子，積分因子的求法傳承了偏導數在方程中的運用，為微分方程的求解結果創造了條件。[2]鑒于積分因子的不唯一性和求解過程的復雜性，因此在求解積分因子的過程中有效地利用數學軟件Matlab來求解是很有必要的。

MATLAB自身強大的計算和繪圖功能使得它在數學專業課程中具有廣泛的應用。它不僅在數學分析、高等代數等課程中會應用到，在常微分方程課程中同樣也會應用到。

本文將對利用Matlab提供的功能和計算機的速度對求解常微分方程（組）積分因子的算法進行總結和歸納，試圖提高求解常微分方程的效率。下面介紹積分因子的定義和幾類積分因子存在的充要條件，并通過應用MATLAB編程求解微分方程幾類常見的積分因子，并輔以實例說明。

3 總結

本文首先介紹微分方程積分因子的定義和幾類常見微分方程積分因子存在的充要條件，之后利用Matlab編程，試圖快速求解微分方程幾類常見的積分因子，繼而求解微分方程提高解題效率，最后輔以實例說明。

參考文獻：

[1]耿翊翔.具有5次強非線性項波方程的解析解[A].云南：曲靖師范學院學報，2005.5.

[2]寸得偶.積分因子求法探討[J].云南：文山學院學報，2016.

[3]王高雄，周之銘.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，1983：5556.

[4]唐洪浪.用MATLAB符號工具箱編程求常微分方程的通解[J].河南：洛陽師范學院學報，2005.

[5]潘鶴鳴.幾種特殊類型積分因子的求法及在解微分方程中的應用.安徽：巢湖學院學報，2003.5.

[6]王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松.常微分方程[M]第三版.高等教育出版社，2007.

項目：該論文由玉林師范學院大學生創新創業項目（201710606146）和玉林師范學院校級教改項目（2017XJJG23）資助完成