質(zhì)量矩導(dǎo)彈固定時(shí)間二階滑模控制方法

趙金龍，郭建國(guó)，周 軍

(西北工業(yè)大學(xué)精確制導(dǎo)與控制研究所，西安 710072)

0 引 言

現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)模式的多樣化不斷對(duì)導(dǎo)彈武器的機(jī)動(dòng)能力提出新的要求，質(zhì)量矩控制技術(shù)由于其控制效率高、氣動(dòng)外形完整等優(yōu)點(diǎn)引起了極大關(guān)注，并相繼研究應(yīng)用于再入彈頭、滑翔飛行器、攔截彈、以及水下航行器等。質(zhì)量矩控制的原理是通過(guò)移動(dòng)飛行器內(nèi)部的活動(dòng)質(zhì)量塊來(lái)改變系統(tǒng)質(zhì)心位置，形成氣動(dòng)力相對(duì)于質(zhì)心的偏移，進(jìn)而產(chǎn)生控制力矩，實(shí)現(xiàn)對(duì)飛行器姿態(tài)的控制。內(nèi)部質(zhì)量塊的移動(dòng)使得導(dǎo)彈各通道間存在強(qiáng)烈的動(dòng)力學(xué)耦合，給控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)帶來(lái)了極大的困難[1-3]。

滑模控制是一種具有強(qiáng)魯棒特性的非線性控制方法。滑模控制的閉環(huán)系統(tǒng)收斂過(guò)程可分為趨近階段和滑模運(yùn)動(dòng)階段，傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法中趨近階段系統(tǒng)收斂時(shí)間有限，但滑模運(yùn)動(dòng)過(guò)程的收斂時(shí)間則趨近于無(wú)窮。為了實(shí)現(xiàn)滑模運(yùn)動(dòng)過(guò)程的有限時(shí)間收斂，終端滑模、非奇異終端滑模等設(shè)計(jì)方法相繼提出，但系統(tǒng)的收斂時(shí)間與狀態(tài)初值嚴(yán)格相關(guān)，無(wú)法對(duì)其進(jìn)行主動(dòng)調(diào)節(jié)以實(shí)現(xiàn)固定時(shí)間控制[4-8]。因此，學(xué)者們提出了固定時(shí)間收斂的概念，使得系統(tǒng)收斂時(shí)間不依賴于狀態(tài)初值，并先后設(shè)計(jì)了固定時(shí)間收斂的終端滑模、非奇異終端滑模、二階滑模等方法[9-14]。固定時(shí)間收斂的控制方法還進(jìn)一步研究應(yīng)用于高超聲速導(dǎo)彈[15-16]、攔截彈[17]、再入飛行器[18]、航天器[19-20]等各類飛行器。

本文針對(duì)三軸穩(wěn)定的質(zhì)量矩導(dǎo)彈，基于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)零點(diǎn)配置原理提出了一種快速固定時(shí)間二階滑模控制方法，并通過(guò)分析閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)變量的收斂過(guò)程對(duì)收斂時(shí)間上界進(jìn)行了估計(jì)，仿真結(jié)果表明該方法能夠獲得更高的動(dòng)態(tài)特性，滿足質(zhì)量矩導(dǎo)彈姿態(tài)控制需求。

1 質(zhì)量矩導(dǎo)彈數(shù)學(xué)模型

本文所針對(duì)的三軸穩(wěn)定質(zhì)量矩導(dǎo)彈由彈體和分別沿彈體y軸、z軸方向運(yùn)動(dòng)的雙活動(dòng)質(zhì)量塊p，r組成，彈體質(zhì)心位置為B*，系統(tǒng)總質(zhì)心位置為S*，內(nèi)部結(jié)構(gòu)如圖1所示。

導(dǎo)彈分別在俯仰和滾轉(zhuǎn)通道進(jìn)行質(zhì)量矩姿態(tài)控制，動(dòng)力學(xué)建模將活動(dòng)質(zhì)量塊視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其轉(zhuǎn)動(dòng)特性，且忽略地球自轉(zhuǎn)的影響。

設(shè)彈體B、活動(dòng)質(zhì)量塊p、r的質(zhì)量分別為mB,mp,mr，則系統(tǒng)總質(zhì)量ms和質(zhì)量比μp，μr可表示為

(1)

彈體相對(duì)發(fā)射坐標(biāo)系的角速度在彈體坐標(biāo)系下可表示為

(2)

雙活動(dòng)質(zhì)量塊在彈體坐標(biāo)系下的位置分別為

(3)

式中：lp0，lr0分別為俯仰、滾轉(zhuǎn)通道質(zhì)量塊滑軌中心在彈體坐標(biāo)系x軸坐標(biāo)；δy，δz分別為俯仰、滾轉(zhuǎn)通道質(zhì)量塊在滑軌內(nèi)的位置坐標(biāo)。

根據(jù)動(dòng)量矩定理，可得質(zhì)量矩導(dǎo)彈繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程為

(4)

式中：J為彈體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣,F為彈體所受氣動(dòng)力矢量,M為彈體氣動(dòng)力矩矢量,ΔJ為系統(tǒng)附加慣量，可表示為

ΔJ=-mp((1-μp)(rp×)-μr(rr×))(rp×)-

mr((1-μr)(rr×)-μp(rp×))(rr×)

(5)

質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)將引起飛行器慣性主軸偏移，從而產(chǎn)生附加轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；而質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng)引起系統(tǒng)質(zhì)心的變化則會(huì)產(chǎn)生通道間耦合力矩，包括附加氣動(dòng)力矩、附加慣性力矩、以及附加哥氏力矩等。強(qiáng)烈的通道間耦合將顯著增強(qiáng)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)難度。

2 固定時(shí)間滑模控制律設(shè)計(jì)

2.1 固定時(shí)間系統(tǒng)的零點(diǎn)配置

考慮如下的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)

(6)

式中：λ>0,p>0,q>0, sgn(x)為符號(hào)函數(shù)。

2) 初始狀態(tài)-q/p0，系統(tǒng)軌跡將直接收斂至平衡點(diǎn)x=0。

雖然x=0為系統(tǒng)(6)的唯一平衡點(diǎn)，但系統(tǒng)其它的零點(diǎn)位置將直接影響系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡和收斂速度，因此，可通過(guò)設(shè)計(jì)系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)零點(diǎn)調(diào)節(jié)動(dòng)態(tài)品質(zhì)。首先分析上述系統(tǒng)的固定時(shí)間收斂特性。

定理1. 對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)(6)，設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)滿足|x0|

(7)

證.假設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)x0>0，則px2+qx≥0，系統(tǒng)(6)可寫為

(8)

式(8)進(jìn)一步可寫為

(9)

采用積分方法可得系統(tǒng)狀態(tài)從初始值到平衡點(diǎn)得到收斂時(shí)間為

(10)

第二種情況，假設(shè)初始狀態(tài)x0>-q/p，則系統(tǒng)狀態(tài)將直接收斂至平衡點(diǎn)，采用上文的方法同樣可得式(10)所示收斂時(shí)間。

2.2 固定時(shí)間二階滑模控制律

對(duì)于滑模動(dòng)態(tài)系統(tǒng)

(11)

式中：s為滑模變量，a(t,x)為系統(tǒng)狀態(tài)函數(shù)，b(t,x)為控制增益函數(shù)，u為控制變量。

本文基于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(6)的收斂特性，提出一種新型Super-twisting滑模控制律如下：

(12)

式中：λ,p,q,ρ>0,m>1, 0

引理1[21-23]. 考慮標(biāo)量微分方程

(13)

式中：λ,μ>0,m>1,n<1。

該方程具有一個(gè)與初值z(mì)(0)無(wú)關(guān)的有限調(diào)節(jié)時(shí)間T0，其上界可表示為：

(14)

定理2. 對(duì)于滑模動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(11)，如果采用式(12)所示控制律，則滑模變量將在固定時(shí)間內(nèi)一致收斂至平衡點(diǎn)，收斂時(shí)間上界可表示為：

(15)

式中：K為狀態(tài)初值的上界。

證. 將控制律(12)代入系統(tǒng)(11)，可得閉環(huán)滑模動(dòng)態(tài)方程：

(16)

式中：t0為初始時(shí)間，s0,v0為系統(tǒng)初始狀態(tài)。可見，相平面內(nèi)原點(diǎn)(s,v)=(0,0)為閉環(huán)系統(tǒng)唯一平衡點(diǎn)。

采用與文獻(xiàn)[24-26]類似的證明方法，根據(jù)系統(tǒng)初始狀態(tài)符號(hào)的不同情況估算狀態(tài)收斂時(shí)間。

首先考慮初始狀態(tài)符號(hào)相反的情況，sgn(s0)=-sgn(v0)，則式(16)中第一個(gè)方程可寫為：

(17)

對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a和b有不等式：

(18)

因此，式(17)可寫成：

(19)

根據(jù)引理1可知，滑模變量s將在固定時(shí)間內(nèi)到達(dá)零點(diǎn)，到達(dá)時(shí)間T1上界為：

(20)

在時(shí)間區(qū)間t∈[t0,t0+T1]內(nèi)，滑模變量s的符號(hào)與v相反。從式(16)可以看出，|v|將以恒定的速度ρ增大，則在t0+T1時(shí)刻，變量|v(T1)|的上界可表示為：

|v(T1)|≤K+ρT1

(21)

當(dāng)時(shí)間t>t0+T1時(shí)，滑模變量s的符號(hào)將與變量v一致，|s|和|v|將同時(shí)收斂至平衡點(diǎn)。由于|v|的收斂速度為恒值ρ，因此，收斂時(shí)間T2的上界可估算為

(22)

則滑模變量s和變量v收斂至平衡點(diǎn)的總時(shí)間Tf 1的上界可表示為

(23)

如果滑模變量s的符號(hào)與變量v相同，那么|s|和|v|將同時(shí)減小并收斂至平衡點(diǎn)。考慮到變量v的收斂速度為恒值ρ，因此，總的收斂時(shí)間上界可表示為

(24)

綜合以上兩種情況，可得閉環(huán)系統(tǒng)(16)的固定收斂時(shí)間上界為

Tf=max{Tf 1,Tf 2}=Tf 1

(25)

3 仿真分析

假設(shè)導(dǎo)彈殼體質(zhì)量mB=10 kg，滑塊質(zhì)量mp=mr=1 kg，質(zhì)量塊最大行程為32 mm，最大速度0.1 m/s。縱向通道跟蹤系統(tǒng)過(guò)載指令，滾轉(zhuǎn)通道進(jìn)行滾轉(zhuǎn)角穩(wěn)定控制，并設(shè)初始滾轉(zhuǎn)角為3°，仿真結(jié)果如圖2～5所示。

圖2～3分別為縱向過(guò)載指令響應(yīng)和彈體y軸質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng)曲線，可以看出，活動(dòng)質(zhì)量塊最大位移量0.03 m便可建立最大過(guò)載1，控制效率較高，系統(tǒng)收斂速度快。圖4～5分別為彈體滾轉(zhuǎn)角曲線和z軸質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng)曲線，可見彈體滾轉(zhuǎn)角快速收斂至0，質(zhì)量塊位移接近最大行程，控制效果比較理想。

4 結(jié) 論

針對(duì)三軸穩(wěn)定的雙滑塊質(zhì)量矩導(dǎo)彈，本文首先建立了具有完整耦合動(dòng)力學(xué)特征的質(zhì)量矩導(dǎo)彈姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型；其次，基于典型動(dòng)態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行零點(diǎn)配置原理分析和收斂時(shí)間估計(jì)；在此基礎(chǔ)上，提出動(dòng)態(tài)過(guò)程可調(diào)節(jié)的固定時(shí)間二階滑模控制方法，并對(duì)系統(tǒng)收斂時(shí)間的上界進(jìn)行估計(jì)；最后，針對(duì)質(zhì)量矩導(dǎo)彈的仿真校驗(yàn)了設(shè)計(jì)方法的有效性。