中考數學二次函數綜合題的策略研究

渠秋艷

(江蘇省徐州市豐縣和集初級中學 221700)

二次函數綜合題難題大、綜合性強，對于學生考查的方向和知識面也相對較廣.縱觀近幾年全國各地中考數學試卷的出題點及考查方向，也恰恰體現出了對學生核心素養能力的追求.我認為初中數學教師在數學素質化教學管理中，應立足核心素養全局視角，結合學生特點來傳授、引導二次函數綜合題的解題策略和現實技巧.縱觀全國范圍內，各省市地區中考數學中二次函數是核心考查點，并作為載體以綜合題的形式全面考查學生初中數學知識掌握情況.下面通過具體的題目分析二次函數綜合題解題思路與方法.

原題呈現：如圖1，直線x=-4與x軸相交于點E.一條過原點O的拋物線與x軸上OE線段相交于點A，且與直線x=-4相交于點B.過點B的一條直線與x軸平行，與拋物線相交于點C，且直線OC與直線AB相交于點D.AD∶BD=1∶3.(圖1)

①：求圖中點A的坐標(x,y);

②：假設圖中三角形OBC為等腰三角形，求圖中拋物線的表達式.

對于此題，正如上述所言，以二次函數作為載體，考查點比較多.這類題目，對于絕大部分學生來說，第一印象也不陌生，只要熟知數學課本教材中的知識體系和公式概念等，基本都能夠在較短的時間內進入到正題思路，即能夠大體知道本題目考查的知識方向，然后結合教師傳授的解題思路和思考方式來解題.

在解題中，首先明白這是一道二次函數題目，所以題目中關于二次函數的關鍵信息和已知條件顯得很重要.具體來看，最先利用二次函數的對稱性.其次，題目中給出的各項信息相對繁瑣，需要學生花費一些時間盡快將這些繁瑣的信息整理起來，即挖掘所有的隱含條件.快速整理之后，對各方已知條件在內心已經有一個大體的認識和梳理，譬如，D是BA和CO延長線上相交于拋物線的一個點，并且處在拋物線的對稱軸上.如圖1所示，依據已知條件推理演算，創造更進一步的條件，即離答案更進一步的有利條件.此處，實際上考查的是平面幾何知識，并且學生本人也基本清楚.再加上題目的最后給出了直線比例關系，所以，可過點D作一條與x軸垂直的直線，即可構造出一對相似三角形.如此以來，即可求出A點的具體坐標.

隨著點A坐標答案成功計算得出，借助直線、點等彼此間的位置關系和比例關系，各點的位置以及直線長度同樣可輕松計算得出.如此以來，直接代入拋物線公式y=ax2+bx即可.

如上所述，關于數學解題，本身就是課堂教學的重要組成部分，因為各項教學活動的開展和實施，本身就是圍繞著如何讓學生自主解決和思考問題、尋求答案.具體來看，二次函數章節內容的教學管理中，也基本圍繞著學生如何解題來展開.但是，核心基礎始終不變，即圍繞著函數性質、方程與數學模型等.以近兩年全國多地的中考數學來看，二次函數綜合題的考查點主要集中在建模思想、最值問題、幾何關系、樹形結合、問題轉化等.嚴格講，側重點在于數學問題中的思路創新.譬如，對于部分學生而言，幾乎什么樣的題目都能夠快速進入正確思路，并給出答案，而對于大部分學生來說，短時間內并不會認清問題所在，也無法迅速準確進入正確思路.反之，對于我們潛意識中的優秀學生來說，很多題目也都屬于新題，但是這部分學生已經具備了綜合分析和解決問題的能力，即發散性的數學思維和快速的推演邏輯.以上述中考原題為例，其屬于相對簡單的題目，并且考查點并不算多.本處再次以2016年某地中考的一大難題為例，做進一步思路數理.

(1)求二次函數的表達式及其頂點坐標；

(3)M(s，t)為拋物線對稱軸上的一個動點．若平面內存在點N，使得以A、B、M、N為頂點的四邊形為菱形，則這樣的點N共有____個；

對于本題，正如前文所分析，旨在側重學生的數學思路，更加直接一點說，就是如何創新解題技巧.實際上，本道題和第一道題并無本質區別，均是以二次函數為載體，唯一的不同就是考查點縱橫延伸，即考查的寬度以及問題的深度.

與第一道題不同，問題方向并未發生改變，均是要求求二次函數表達式，但給出的解題工具和知識內容卻發生了變化，所以解題思路方面也應當調整.對于第一問和第二問，基本可參照例題1的解題思路來解決.對于第三問，屬于反證的題型，給出的答案和已知條件，要求學生來證明答案的正確性.是否存在點N使得四邊形ABMN成為菱形.故此，可直接將四邊形ABMN當成菱形，結合點M及其可能的坐標位置，先行求出ABM三點和線之間的位置關系，即AB和AB等長.如此以來，即可將具體問題抽象化.添加輔助線，并結合平面幾何相關定理和公式.由于已經知道M點有5個，那么對應的N點也應當是5 個.將抽象問題具體化、將繁瑣問題簡易化，整個過程本身就是方程思想形成過程.