多面體的外接球問題的若干解法

廖永福

(福建省廈門第二中學 361009)

近年來，多面體外接球問題一直是高考的一個熱點，也是學生學習的一個難點.為了幫助他們突破這一難點，本文試圖以高考題為例，從知識和方法兩個層面進行歸納總結，給出多面體外接球問題的一般解法，切實提高學生的解題能力.

一、定義法

空間中，到一個定點的距離等于定長的點的集合叫做球面.這個定點叫做球心，定長叫做球的半徑.

如果一個多面體的所有頂點都在同一個球面上，那么這個球叫做多面體的外接球，這個多面體叫做球的內接多面體.不難知道，一個多面體至多有一個外接球，到多面體所有頂點距離相等的點就是球心.

解答多面體外接球問題的關鍵是確定球心，利用上述結論確定球心，進而解決問題的方法叫做定義法.常用的結論有：長方體或正方體的外接球的球心是體對角線的中點．

例1(2017?全國卷Ⅱ)長方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為____.

分析因為長方體的體對角線的交點到八個頂點的距離相等，所以長方體的對角線即為球的直徑.求出長方體對角線的長，就知道球的半徑，進而求得球的表面積．

點評本題考查長方體的外接球的表面積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．解答此類問題常用：長方體或正方體的外接球的球心是體對角線的中點．

分析說明△CDB和△CDA都是以CD為斜邊的直角三角形，則CD是球的直徑，球心O為CD的中點.求出CD，即可求出球的體積．

由DA⊥面ABC得DA⊥AC，DA⊥BC，

又AB∩AD=A，所以BC⊥面ABD，所以BC⊥BD.

點評本題考查球的內接多面體，考查分析問題解決問題的能力．解題關鍵是找出球心.

例3(2017?全國卷Ⅰ)已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為____．

分析根據已知條件判斷三棱錐的形狀，利用幾何體的體積，求出球的半徑，再求球的表面積．

解答三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑，SA=AC，SB=BC,可知OA⊥SC，OB⊥SC，所以SC⊥平面OAB，且∠AOB是二面角A-SC-B的平面角.

又因為平面SCA⊥平面SCB，所以OA⊥OB.

點評本題考查球的內接多面體，三棱錐的體積以及球的表面積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．解答此類問題常用：球心到球面上各點的距離都相等．

二、性質法

球有如下性質:

1.用一個平面去截球，經過球心和截面小圓圓心的直線垂直于截面.

2.經過截面小圓圓心且垂直于截面的直線必過球心.

利用上述性質確定球心，進而解決問題的方法叫做性質法.

常用的結論有：

1.直棱柱的外接球的球心是上下底面多邊形外心連線的中點.

2.正棱錐的外接球的球心必在其高線上，具體位置可通過構造直角三角形，利用勾股定理計算得到.

例4(2014?全國卷)正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為( ).

分析正四棱錐P-ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，記為O，OA=OP. 在Rt△OO1A中，根據勾股定理求出球的半徑，進而求出球的表面積．

點評本題考查球的表面積，球的內接幾何體問題，考查計算能力．解答此類問題常用：正棱錐的外接球的球心在其高線上，具體位置可通過構造直角三角形，利用勾股定理計算得到.

點評本題考查球的內接多面體，棱錐的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．解答此類問題常用：經過球心和截面小圓圓心的直線垂直于截面.

三、補體法

長方體或正方體的外接球球心是其體對角線的中點.把幾何體補成與之有共同外接球的長方體或正方體，進而解決問題的方法叫做補體法。常用的結論有：

1.正四面體可補成正方體.

2.三對對棱分別相等的四面體可補成長方體或正方體.

3.三條棱兩兩垂直的四面體可補成長方體或正方體.

4.三個側面兩兩垂直的四面體可補成長方體或正方體.

分析若把正四面體補成以其六條棱為面對角線的正方體，則它和原四面體有共同的外接球.易求得正方體的棱長為1.因為正方體的體對角線即為球的直徑，求出球的直徑，即可求出球的表面積．

點評本題考查球的表面積，正四面體的外接球問題，考查計算能力．解答此類問題常用：正四面體與以正四面體的棱為面對角線的正方體有共同的外接球.

例7(2019?全國卷Ⅰ)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為( ).

分析由題意畫出圖形，證明三棱錐P-ABC為正三棱錐，且三條側棱兩兩互相垂直，再由補體法求外接球的體積．

解答如圖，由PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，可知三棱錐P-ABC為正三棱錐，則頂點P在底面的射影O為底面三角形的中心.連接BO并延長交AC于G，則AC⊥BG.

又PO⊥AC，PO∩BG=O，可得AC⊥平面PBG，則PB⊥AC.

∵E，F分別是PA，AB的中點，∴EF∥PB，又∠CEF=90°，即EF⊥CE，∴PB⊥CE，得PB⊥平面PAC，

∴正三棱錐P-ABC的三條側棱兩兩互相垂直，

點評本題考查多面體外接球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計算能力，是中檔題．解答此類問題常用：三條側棱兩兩垂直的四面體與以這三條側棱為棱的長方體有共同的外接球.

定義法、性質法和補體法是解答多面體外接球問題的常用方法，解題時應根據題設條件選擇合適的方法，以達到化難為易、化繁為簡、巧妙求解的目的.

牛刀小試：請你分別用性質法和補體法解答例7和例2.