應(yīng)用幾何思想 求解圓錐曲線問題

李世建

(江蘇省徐州市經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)高級中學(xué) 221131)

一、應(yīng)用韋達(dá)定理，轉(zhuǎn)化

韋達(dá)定理表示的是根與系數(shù)的關(guān)系，在解決圓錐曲線與直線相交的問題時(shí)起到了很大的作用.直線是二元一次方程，圓錐曲線是二元二次方程，在求解交點(diǎn)問題時(shí)，往往需要聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)化成一元二次方程，再結(jié)合韋達(dá)定理、求根公式聯(lián)立求解.

這道題直接用到了兩根之和，在圓錐曲線中出現(xiàn)頻率較高的弦長公式以及中點(diǎn)弦公式里面會間接用到韋達(dá)定理.本題巧在對稱點(diǎn)與韋達(dá)定理相結(jié)合，簡化了運(yùn)算過程，將交點(diǎn)問題直接引到了直線的斜率上，一步得出結(jié)果，是解圓錐曲線的關(guān)鍵，要求學(xué)生重點(diǎn)掌握.

二、引入?yún)?shù)變量，化簡

在涉及最值、取值范圍、存在性等問題時(shí)，題中往往不會給出所有信息，比如點(diǎn)的坐標(biāo)、直線斜率……這些是計(jì)算過程中要用到的，需要引入變量，代入計(jì)算.有時(shí)可能會設(shè)出多個(gè)變量，但在計(jì)算過程中通過化簡消去了，只作為中間變量.使用這種方法計(jì)算簡單不易出錯(cuò).

解析這是一道典型的設(shè)而不求，首先假設(shè)存在.畫圖，雙曲線是確定的，直線l是未知的，學(xué)生可能會糾結(jié)該怎么畫交點(diǎn)圖，圖形是為了給我們做題的方向，因此只需要過點(diǎn)A且有兩個(gè)交點(diǎn)即可.設(shè)直線l的斜率為k，M1(x1,y1)，M2(x2,y2).∵A為M1、M2的中點(diǎn)，∴x1+x2=2xA=-2,y1+y2=2yA=2.把M1、M2坐標(biāo)代入雙曲線方程,得：

這道題通過設(shè)出M1、M2的坐標(biāo)，用變量表示，把它當(dāng)作已知條件，代入運(yùn)算，通過移項(xiàng)、化簡或是利用題中所給出的提示信息消掉，可以減少計(jì)算量，提高解題效率.在圓錐曲線的類型題中也是最常見到的，學(xué)生應(yīng)該對這類題型多歸納、多總結(jié)，從而提升解題能力.

三、加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合，簡潔

數(shù)形結(jié)合，顧名思義就是把代數(shù)反映到圖形中，與圖形相結(jié)合，使冗長復(fù)雜的題目變得更加簡潔，在圖形中能夠直觀的看出位置關(guān)系，運(yùn)用學(xué)過的公式、定理把圖中信息轉(zhuǎn)化成代數(shù)運(yùn)算，使圓錐曲線變得簡單易下手.

這道題就很巧妙地運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想，把要求的比值轉(zhuǎn)化成斜率，再把斜率與點(diǎn)到直線的距離聯(lián)系起來，簡化題目，而且圖形會給人一種直接明了的感覺，使解題思路也變得清晰直觀.數(shù)形結(jié)合不僅在圓錐曲線中起到重要作用，而且對整個(gè)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)都有莫大的幫助.

由于圓錐曲線的種類比較多，在高考中的比重較大、靈活性較強(qiáng)，所以學(xué)生往往把它當(dāng)做難題，遇到之后自然在心理上就退縮了.但如果我們教師在教學(xué)中，教會學(xué)生正確的方法，引導(dǎo)學(xué)生只要熟記圓錐曲線的各類圖形的內(nèi)容、性質(zhì)，掌握做題技巧，應(yīng)用幾何思想，就可以輕松應(yīng)對，從而達(dá)到高效解決圓錐曲線，使它變成一道送分題，真正實(shí)現(xiàn)輕松解題的效果.