蕩秋千的力學原理

林引春，林輝慶

1.浙江省臨海市大田中學，浙江 臺州 317004

2.杭州市余杭高級中學，杭州 311100

1 秋千簡介

秋千的起源，可追溯到幾十萬年前的上古時代。那時，我們的祖先為了謀生，不得不上樹采摘野果、追獵或逃避野獸。在攀登和跨越中，他們往往抓住粗壯的蔓生植物，依靠藤條的搖蕩擺動上樹或跨越溝澗，這是秋千最原始的雛形。“秋千”的本意即為揪著繩子遷移。后來作為人們健身和游戲的設施，演變為在木架或鐵架上系兩根長繩，下端固定一塊底板。

秋千設備簡單，蕩秋千容易學習，老少皆宜。蕩秋千既能鍛煉身體和意志、增強動作協調性，又能陶冶心情、營造娛樂氛圍，是很流行的健身和游戲活動。在中小學、幼兒園和公共活動場所，秋千均十分常見。由于蕩秋千在少數民族地區尤為盛行，1986年開始它被列為全國少數民族體育運動會正式比賽項目。

蕩秋千方式多樣，可以一人蕩，也可以兩人甚至更多的人一起蕩；可以坐著蕩，也可以站著蕩或用其他動作蕩；可以是別人推動著蕩，也可以通過自身動作蕩。通過自身動作蕩秋千需要技巧，根據經驗，動作要領是在秋千向下擺時迅速改變身體姿勢使重心下降，向上擺時迅速改變身體姿勢使重心上升。例如，蕩秋千的人手拉擺繩站在底板上，向下擺時下蹲，過最低點后向上擺時站起，就能使自己越擺越高。下面分析通過自身動作蕩秋千的力學原理。

2 物理模型

蕩秋千的運動過程和能量轉化過程十分復雜，我們以上述人站在底板上蕩秋千的情況為例，先建立理想化模型，然后通過對理想化模型的分析，弄清蕩秋千的力學原理。

為了避免由于擺動過程中擺繩彎折帶來的復雜性，我們用一根不計質量和伸縮的擺桿代替擺繩。設人的質量為m，底板的質量遠小于人的質量而忽略不計。蕩秋千過程人的大小和形狀不能忽略，計算人繞懸掛點O轉動的動能十分復雜，但可以將人的質量等效地集中于一點。這一點一般不與重心重合，不過為了簡化定量分析，我們將它等同于重心，這不會影響問題的結論。

將人在下擺時下蹲的過程，理想化為擺桿在最大偏角時人瞬間下蹲，然后保持姿勢不變擺到最低點。將人向上擺動時站起的過程，理想化為人在最低點時瞬間站起，然后保持姿勢不變擺到最高點。忽略運動過程中人、桿受到的空氣阻力和擺桿在懸掛處與固定物間的摩擦。

整個蕩秋千運動過程的模型如下：如圖1所示，擺桿在左側最大位置時與豎直方向的夾角為θ0，人的重心位于a點，與懸點O的距離為l。此時人瞬間下蹲，重心沿桿向下移動Δl距離到達b點。然后人保持姿勢不變下擺到最低點，獲得速度v。此時人瞬間站起，重心向上移動Δl從c點上升到d點，速度變為v'。接著人保持姿勢不變，擺到右側最高點，重心位置為e，擺桿偏離豎直方向的角度為θ1。接著重復上述動作，重心沿e→f→c→d→a'到達最左側。

圖1 蕩秋千模型

3 擺角變化

重心從a到b的過程，人在初、末狀態的動能均為0。

對重心從b到c的過程，由機械能守恒定律有

對重心從c到d的過程，人們常錯誤地認為人在初、末位置的速度相同。其實，在這個過程中，擺桿懸掛點受到的約束力R和人受到的重力G對懸點O的力矩都等于0，人、底板和擺桿組成的系統角動量守恒，從而有

所以有 v'＞v

對重心從d到e的過程，由機械能守恒定律有

可以看出，θ1＞θ0

同理可得，人的重心沿e→f→c→d→a'擺到左側，擺桿的最大偏角 θ2＞θ1。 如此反復，秋千就越擺越高。

4 能量轉化

秋千越蕩越高，擺動系統的機械能不斷增大。那么，擺動系統增加的機械能來自哪里？

考慮機械能時，應該以擺桿、底板、人和地球為擺動系統。在前述理想的情況下，系統受到的外力只有擺桿懸掛點受到的約束力R；重力G是保守內力，人身體中各部分之間的相互作用力是非保守內力。由功能原理知道，擺動系統機械能的變化等于外力做的功與非保守內力做的功之和。約束力R始終不做功，人在蹲下和站起過程中人的內力做功。我們把人從一側的最大偏角處擺到另一側的最大偏角處叫作一次擺動。下面計算在一次擺動中人的內力做的總功。

重心從a到b的過程，人的內力做負功，所做的功W人1等于人的重力勢能的變化，即

W人1=-mgΔlcosθ0

重心從c到d的過程，人的內力做正功，所做的功W人2等于人的機械能的變化，即

人從最左側擺到最右側的過程，人的內力做的總功 W人=W人1+W人2，把 W人1、W人2代入得到

（5）式對于人從最右側擺到最左側的過程也適用，這時θ0是人在最右側時擺桿與豎直方向的夾角。可以看出，W人始終大于零。正是在每一次擺動中人的內力都做正功，將體能轉化為機械能，才使擺動系統的機械能不斷增加。

由（5）式還可以看出，隨著擺角的增大，W人也增大。在前述理想條件下，人的最大擺角能增加到等于或大于π，這時人繞懸掛點在豎直面上沿一個方向做圓周運動，不再做來回擺動。這個結論也可以從（4）式得到。

實際蕩秋千的過程，空氣阻力、懸繩與固定物之間的摩擦力等外力做負功，懸繩的形變、懸繩與秋千板連接處的摩擦等因素也使擺動系統內力做負功。一次擺動過程中，這些功之和的絕對值W阻也隨擺角的增大而增大。當W人＞W阻，秋千越蕩越高；當W人=W阻，秋千做穩定的擺動。