基于光譜距離聚類的高光譜圖像解混算法

劉穎 梁楠楠 李大湘 楊凡超

摘 要：為了解決實際高光譜解混（HU）中噪聲對解混精度的影響和光譜、空間信息利用不足的問題，提出了一種改進的基于光譜距離聚類的群稀疏非負矩陣分解的解混算法。首先，引入了基于最小誤差的高光譜信號辨識算法（Hysime），通過計算特征值的方式估計信號矩陣和噪聲矩陣;然后，提出了一種簡單的基于光譜距離的聚類算法，對多個波段生成的光譜反射率距離值小于某一值的相鄰像元進行合并聚類生成空間群結構;最后，在生成的群結構基礎上進行稀疏化非負矩陣分解。實驗分析表明，對于模擬數據和實際數據而言，該算法都比傳統算法產生更小的均方根誤差（RMSE）和光譜角距離（SAD），能夠產生優于同類算法的解混效果。

關鍵詞：高光譜解混;基于最小誤差的高光譜信號辨識算法;光譜距離度量;非負矩陣分解;遙感

中圖分類號：TP751

文獻標志碼：A

Hyperspectral image unmixing algorithm based on spectral distance clustering

LIU Ying1，2， LIANG Nannan1*， LI Daxiang1，2， YANG Fanchao3

1.College of Communication and Information Engineering， Xian University of Posts and Telecommunications， Xian Shaanxi 710121， China;

2.Key Laboratory of Electronic Information? and Application Technology for Scene Investigation， Ministry of Public Security （Xian University of Posts & Telecommunications）， Xian Shaanxi 710121， China;

3.Key Laboratory of Spectral Imaging Technique， Xian Institute of Optics and Precision Mechanics， Chinese Academy of Sciences， Xian Shaanxi 710119， China

Abstract：

In order to solve the problem of the effect of noise on the unmixing precision and the insufficient utilization of spectral and spatial information in the actual Hyperspectral Unmixing （HU）， an improved unmixing algorithm based on spectral distance clustering for group sparse nonnegative matrix factorization was proposed. Firstly， the HYperspectral Signal Identification by Minimum Error （Hysime） algorithm for the large amount of noise existing in the actual hyperspectral image was introduced， and the signal matrix and the noise matrix were estimated by calculating the eigenvalues. Then， a simple clustering algorithm based on spectral distance was proposed and used to merge and cluster the adjacent pixels generated by multiple bands， whose spectral reflectance distances are less than a certain value， to generate the spatial group structure. Finally， sparse non-negative matrix factorization was performed on the basis of the generated group structure. Experimental analysis shows that for both simulated data and actual data， the algorithm produces smaller Root-Mean-Square Error （RMSE） and Spectral Angle Distance （SAD） than traditional algorithms， and can produce better unmixing effect than other advanced algorithms.

Key words：

Hyperspectral Unmixing （HU）; Hyperspectral signal identification algorithm by minimum error （Hysime）; spectral distance metric; Non-negative Matrix Factorization （NMF）; remote sensing

0 引言

高光譜遙感是將成像技術和光譜技術相結合的多維信息獲取技術，同時探測目標的二維集合空間與一維光譜信息，獲取高光譜分辨率的連續、多波段圖像數據[1]。高光譜的遙感數據是一個光譜圖像立方體，其最主要的特點是將圖像空間維與光譜維信息合為一體，在獲取地表空間圖像的同時，會得到每個像元對應的地物光譜信息，與單波段相比，多出了一維光譜信息[1]。獲得的圖像空間可以直觀表達每個像元在圖像中的空間位置以及它周圍鄰域像元之間的相互關系，為高光譜圖像處理提供空間信息，而光譜信息反映了地物在多個波段上的輻射光譜信息，為高光譜圖像的盲源解混提供基礎依據。 高光譜遙感技術已被廣泛應用到城市綠化、精細農業、火山地質調查、軍事目標識別、環境監測、災害評估等行業中，因此，提升高光譜圖像的解混精度對于定性定量地分析地物、進行高效目標檢測有重要的意義[2]。

高光譜解混（Hyperspectral Unmixing，HU）即是從高光譜圖像中分離出純凈像元（端元）和其相對應的分數豐度。由于高光譜數據中包含豐富的光譜和空間信息，對于高光譜解混中的盲源分離（Blind Source Separation，BSS）問題，空間稀疏正則化的非負矩陣分解（Nonnegative Matrix Factorization，NMF）成為了近幾年的研究熱點。由于實際地物分布的復雜性和光譜空間分辨率的不足，使得高光譜圖像中存在大量的混合像元，根據是否考慮光子在不同物質之間的多重衍射[3]，將混合像元分為線性和非線性兩種混合模型，線性模型不考慮地物間的相互影響，認為混合像元是純凈端元和其豐度的線性混合，如圖1所示。線性混合模型結構簡單、意義明確，是非線性混合模型的基礎，具有更廣泛的意義，因此本文的算法建立在線性混合模型的基礎上進行實驗。因為混合模型的存在，單純的分類算法不能對高光譜圖像進行有效、準確的檢測與識別，高光譜解混算法不僅能定性分析高光譜圖像中存在的端元種類，而且能表征這些種類存在的比例，使遙感圖像的地物識別更加準確，并且為人們提供更多的便利。

近年來，建立在線性混合模型上的高光譜解混技術獲得長足的發展，主要可以分成三類：第一類為基于幾何形狀的解混技術，思想是利用圖像數據的空間特性獲取單形體的頂點來獲取端元。王天成等[4]提出的自適應魯棒最小體積高光譜解混算法（Robust Minimum Volume based algorithm with automatically estimating regularization parameters for Hyperspectral Unmixing， RMVHU）在滿足最小體積的條件下，通過引入負數懲罰正則項來代替非負性約束去增強算法對異常值、噪聲值的魯棒性，同時減小在非凸問題中陷入局部極小的概率。第二類為非監督的解混技術，用來解決盲源分離問題。聶明鈺[5]提出了模糊C均值解混（Fuzzy C-Means Unmixing， FCMU）和分塊的頂點成分分析（Vertex Component Analysis， VCA）的非負矩陣分解解混算法，并在實際數據集上獲得了有效驗證。袁博[6]提出的空間與譜間相關性分析的NMF高光譜解混算法（NMF hyperspectral unmixing algorithm based on Spatial and Spectral Correlation， NMFSSC）在NMF目標函數內、外部分別加入基于信號預測度技術的相鄰波段譜間相關約束和基于馬爾可夫隨機場（Markov Random Field，MRF）的相鄰像元空間相關約束來體現空間、譜間特征，在提高解混精度的同時減少對先驗知識的依賴性。賈志成等[7]提出的基于去噪降維和蝙蝠優化的高光譜圖像盲解混算法（Bat Algorithm-abundance Constrained Blind Source Separation， BA-CBSS）用蝙蝠優化算法解決陷入局部極值的問題和基于奇異值分解去噪的正交子空間投影的降維方法去增強算法抗噪聲干擾能力，并獲得了較好的解混結果。彭倩[2]比較了空間預處理（Spatial PreProcessing， SPP）和空間光譜預處理（Spatial Spectral PreProcessing， SSPP）兩種預處理方法并提出對豐度稀疏約束和對端元平滑約束的稀疏平滑非負矩陣分解（Sparse Piecewise Smoothness constrained NMF， SPSNMF）解混算法。第三類是稀疏回歸的解混技術，尹鳳[8]同時考慮稀疏性和空間紋理信息，提出了一種變量裂分增強拉格朗日與總變差稀疏解混算法（Sparse Unmixing via variable Splitting Augmented Lagrangian and Total Variation， SUnSAL-TV），產生了較小的信號重構誤差（Signal Reconstruction Error， SRE），能夠更準確地對礦物進行識別。總的來說，近幾年關于NMF的改進算法，主要集中在三方面：1）解決NMF非凸問題，如文獻[5，7，9];2）增加空間與光譜約束來減少對先驗知識的依賴，如文獻[6，10];3）去噪降維預處理及子空間辨識，如文獻[2，7，11-13]。本文的研究建立在稀疏[14]正則的非負矩陣分解的研究之上，通過加入非負可逆矩陣的方式解決非聯合凸的優化問題，同時加入去噪降維預處理和光譜、空間信息約束來提高解混精度、加速算法收斂。

1 相關知識

為了解決高光譜圖像解混的BSS問題，首先將解混問題轉換成數學模型，然后將建立的線性數學模型轉化成帶約束的矩陣分解的優化問題，來模擬高光譜圖像解混中已知高光譜圖像數據求解端元和豐度的過程。同時，利用高光譜群結構的稀疏性來避免在迭代過程中矩陣的重復傳遞，從而節省空間、提高運算速度。

1.1 線性解混模型

已知高光譜圖像數據X=[x1，x2，…，xN]∈RL*N，其中L表示波段數，N表示像素數，R表示實數集，第j個混合像素可表示為Xj=[x1j，x2j，…，xLj]T∈RL，根據線性解混模型，可數學表示為：

Xj=∑qi=1sijai+εj=Asj+εj（1）

其中，A為q個端元光譜反射率組成的矩陣，A可表示為A=[a1，a2，…，aq]∈RL*q，ai表示第i個光譜在L個波段上的反射率向量，Sj=[s1i，s2j，…，sMj]T∈Rq為Xj的豐度向量，sij表示第i個光譜第j個像素的豐度值，εj∈RL為加性噪聲項。根據能量守恒原則，分數豐度需要滿足和唯一和非負性的約束，分別可表示為sij≥0和∑qi=1sij=1[15]。

在高光譜解混中，像素間共享相同的端元矩陣A，光譜數據X可由端元矩陣A和由j個混合像素組成的豐度矩陣S相乘，再添加噪聲項N表示，可向量表示為：

X=AS+N（2）

1.2 非負矩陣分解

非負矩陣分解是一種多變量分析和盲源分離的方法，1999年由Lee和Seung在Nature雜志上正式提出，在海量的盲處理數據上有優越的性能，可以適應于缺乏先驗知識的高光譜圖像解混[16]。對于已知的矩陣Y，可以構建模型Y∈RL*N為矩陣V∈RL*N和矩陣H∈RM*N的乘積，矩陣U為補償項。

Y≈VH+U（3）

其中：U不要求非負，矩陣V和H的維度要求小于Y的維度，即M

minV，H? f（V，H）=‖Y-VH‖F

s.t. V≥0，H≥0（4）

其中：‖·‖F定義為‖Y‖F=（∑ijyij2）1/2，i、 j分別表示矩陣的行和列。

為了解決此優化問題，文獻[9]提出了交替的非負最小二乘法，優化問題被分解為兩個如下的迭代子問題：

Vk+1 ←arg minV≥0‖Y-VkHk‖F=max（0，Vk-ωkfV（Vk，Hk））（5）

Hk+1 ←arg minH≥0‖Y-Vk+1Hk‖F=max（0，Hk-αkfH（Vk+1，Hk））（6）

其中：k表示迭代次數，正參數ωk和αk為更新步長，用函數max（0，x）求解可直接滿足非負約束，子迭代的梯度計算如下：

fV（Vk，Hk）=（VkHk-Y）（Hk）T（7）

fH（Vk+1，Hk）=（Vk+1）T（VK+1Hk-Y）（8）

值得注意得是，該優化問題對于矩陣V和H是分別凸的，但一般而言不是聯合凸的，通過增加1個額外的約束，來確保解混豐度的唯一性，D為非負可逆矩陣，使：

VH≈（VD）（D-1H）（9）

1.3 空間群稀疏非負矩陣分解算法

文獻[15]在實驗驗證了不同大小的規則網格子窗口對高光譜數據的分割處理效果的基礎上，提出了一種簡單的線性迭代聚類（Simple Linear Iterative Clustering， SLIC）算法，文獻[16]將這種算法應用于高光譜解混中進行群結構的生成。六邊形因為具有以下兩個優勢而被用于高光譜圖像分割處理：一是六邊形具有比正方形更多的非對角鄰域，可以表征更多的空間信息;二是可以提供更少的邊界像素距離失真。高光譜圖像經SLIC分割得到p個空間群結構{1，2，…，p}。通過在空間群結構的意義上給豐度矩陣加入正則化項進行稀疏，即：

minA≥0，Sr≥0??? f（A，Sr）=12∑Pp=1‖Xp-ASp‖2F+

λ∑Pp=1∑sj∈pcj‖Wpsj‖2（10）

其中：Sr表示群結構更新后的豐度矩陣，A為q個端元光譜反射率組成的矩陣，Xp表示群結構p的高光譜數據，Sp表示群結構p的豐度矩陣。λ為固定參數;cj為權衡原像素屬于超像素的置信參數，用來加權局部相似性。Wp為M維的對角矩陣，用來大概控制p中的非零豐度項。

在群結構方式下實現豐度矩陣Sp和端元矩陣A的更新，公式如下：

SP ← arg minSP≥0? f（A，SP）=12‖XP-ASP‖2F+

λ∑sj∈pcj‖WPsj‖2（11）

A ←arg minA≥0? f（A，Sr）=12‖Xr-ASr‖2F（12）

其中WP的迭代公式如下：

p ← arg minSp12‖p-Ap‖2F

s.t. p≥0， 1Tp=1（13）

wpi=1p[i]+ε（14）

其中：p表示平均豐度向量;ε用來平衡無效項，避免陷入無窮大，其值應小于p。

對于模擬數據集而言，本文通過加入20dB的加性噪聲去模擬真實數據的情況，然后根據SLIC[12-13]生成空間群結構，接著用VCA、完全約束最小二乘（Fully Constrained Least Squares， FCLS）分別進行端元和豐度的初始化，初始化操作一定程度上加速了算法的收斂。空間群稀疏非負矩陣分解（Spatial Group Sparsity regularized NMF， SGSNMF）算法，具體算法步驟如下：

算法1 SGSNMF。

輸入：SLIC生成的P個空間群結構Xr、VCA結合FCLS生成的端元矩陣A和豐度矩陣Sr;

輸出：端元矩陣A、豐度矩陣S。

程序前

終止條件1：最大迭代次數

終止條件2：限制時間

終止條件3：迭代間隔

1）根據式（14）更新Wp;

2）根據式（11）更新SP，要求滿足和為一和非負性約束;

3）根據式（12）更新A。

程序后

2 本文方法

利用高光譜圖像的光譜、空間信息，提出了一種簡單的基于光譜距離的聚類（Simple Hyperspectral Distance Clustering， SHDC）算法來生成空間群結構，結合SGSNMF算法進行高光譜圖像解混，算法流程如圖2所示。

2.1 Hysime算法

Hysime算法是在2008年由Bioucas-Dias和Nascimento提出的，其基本思想是通過下述公式計算觀測數據Y=[y1，y2，…，yn]∈RL*n的特征值估計噪聲矩陣RN和信號矩陣RX：

RY=YYT/n（15）

RN=1n∑ni=1WiWTi（16）

RX=1n∑ni=1（yi-Wi）（yi-Wi）T（17）

其中，RY為觀測數據Y的變換形式，n為Y向量的列數，Wi=Zi-Ziβi，Zi為Yi的轉置矩陣，Zi為去掉Zi項后剩余項組成的順序矩陣。然后計算RX的特征值和特征向量對，特征向量對可數學表示為（λi，ei）（i=1，2，…，L），按最小均方誤差原理可得P個特征值子集，可向量表示為Σ=diag（λ1，λ2，…，λp），對應的P個相互正交的ei組成的E=[e1，e2，…，ep]即為信號子空間[8]。

2.2 簡單的光譜距離聚類算法

文獻[15，17]利用SLIC算法將高光譜圖像分割成一定數量的六邊形網格，由于沒有考慮地物的空間分布情況，在光譜數據較大的情況下，對分割的每一個塊進行群稀疏操作會增加計算量。本文運用光譜距離信息進行空間聚類[18]，通過計算相鄰塊的光譜距離對低于某一值的塊進行合并，有效減少群結構的數量，從而加快算法收斂。光譜距離dx的計算公式如下：

dx=cos-1XTjXi‖Xj‖2‖Xi‖2（18）

其中：Xi、Xj表示第i、 j個像素處的光譜向量。SHDC具體算法如下。

算法2 SHDC。

輸入：SLIC生成的P個空間群結構Xr、標簽文件labels、邏輯相鄰Am;

輸出：Labels、P、C。

程序前

預處理：遍歷每個像素

判斷光譜標簽邏輯相鄰，若相鄰則根據式（18）計算光譜距離矩陣D;

算法核心：if d小于某一值

更新當前標簽，并保存標簽;

遍歷每個像素，更改當前標簽

更新其他區域標簽;

更新群結構C和群結構個數P;

程序后

本文將從時間復雜度和空間復雜度兩方面分析算法性能。本文算法SHDC和SLIC的運行時間分別為8.848370s 和7.774267s，P的個數分別為208、173。雖然本文算法SHDC比SLIC運行時長多了約1s，但生成了更少的群結構，為后續的群稀疏非負矩陣分解節省了運行時間和存儲空間。

3 實驗結果

在這一部分，將對本文改進的算法與其他先進的算法在常見數據集上進行測試。為了比較解混性能，首先介紹兩個指標，均方根誤差RMSEm和光譜角距離SADm，計算公式如下：

RMSEm=1N ‖Sm-S·m‖F（19）

SADm=cos-1a·Tmam‖am·‖2‖am‖2（20）

其中：N為端元個數，m表示某一端元，Sm和S·m分別表示實驗所得豐度和實際豐度矩陣，am和a·m分別表示實驗所得端元和實際地物光譜矩陣。

3.1 模擬數據實驗

本文所用的第一個數據集為模擬數據集Simu-1，包含原始端元集和豐度矩陣，其原始端元集、豐度矩生成方式參考文獻[19-20]，數據大小為100×100像素，波段數量為221，從USGS光譜庫中選擇的9種端元，分別為Kaolinite KGa-1、Dumortierite、Nontronite、Alunite、Sphene、Pyrobelite、Halloysite、Muscovite、Kaolinite CM9，其類別與光譜曲線如圖3所示。

通過本文算法、VCA+FCLS先進算法的9類端元豐度重構結果如圖4～6所示，由圖4可知，本文算法和VCA+FCLS算法生成的9類端元的豐度結果相近。由圖5可知，在反射率的取值接近1時，本文算法生成的端元更接近實際地物事實，由圖6（a）、（b）可知本文算法有更少的異常點，因此整體重構誤差較小。下面將用質量評價指標均方根誤差（Root-Mean-Squard Error， RMSE）和光譜角距離（Spectral Angle Distance， SAD）值，并與其他先進的算法進行比較來評估本文算法的性能。比較結果如圖7和表1所示，圖7中用1～9分別代表Kaolinite KGa-1、Dumortierite、Nontronite、Alunite、Sphene、Pyrobelite、Halloysite、Muscovite以及Kaolinite CM9共9類端元。

由圖7可知，SGSNMF、VCA+FCLS和本文算法在RMSE上都明顯優于NMF、FCMU+塊VCA算法，其中本文算法對9類端元的解混性能都略微優于SGSNMF算法和其他先進算法，而SGSNMF和VCA+FCLS在多數端元上的RMSE值不相上下。SGSNMF、FCMU+塊VCA 、VCA+FCLS、NMF以及本文算法的平均RMSE值分別為0.1370、1.1694、0.1944、0.7334和0.0950，本文算法獲得了最小的平均RMSE值，且是唯一一個平均RMSE值達到0.1以下的算法。Simu-1模擬數據集的SAD值如表1所示，由表1可知：SGSNMF、VCA+FCLS分別在Alunite、Muscovite和Sphene、Halloysite

端元上取得最好的解混效果;而本文算法獲得了最低的平均SAD值，對Kaolinite KGa-1、Dumortierite、Nontronite、Sphene 、Kaolinite CM9的端元解混精度更高，對其他四類的解混也接近算法最優水平。因此可得，本文算法在模擬數據集上對大多數類別有優越的性能。

3.2 實際數據實驗

第二個數據集為常用Urban實際數據集，包含6類端元，分別為A-Road、Grass、Tree、Roof、Metal、Dirt，數據大小為256×256像素，共162個波段。實驗將用上文得出的實驗結果較好的三種算法以及文獻[21]所述的PIPA（Proximal Interior Point Algorithm）解混算法在實際數據集上進行測試。

圖8（a）、（b）為本文算法和PIPA算法的解混效果。下面用SAD、RMSE進行比較，SAD的結果如圖9所示，RMSE的結果如表2所示。由圖9、表2可知，本文的算法對A- Road、Grass、Tree、Roof和Metal等5類端元解混后，SAD、RMSE值都低于其他先進算法，只在Dirt端元上略高于PIPA算法，且本文算法的整體SAD值、整體RMSE值都低于VCA+FCLS、SGSNMF等其他先進算法。因此可以得出，在實際數據集上，本文算法在大多數類別上也有較優越的性能。

3.3 運行時間、迭代次數對比

本文的實驗是在Window7系統Intel Core i7 Duo CPU T6600 @4.5GHz安裝的Matlab 2015a版本上進行的實驗。本文的實驗結果均為運行10次的平均結果，運行時間和算法迭代次數對比如表3所示。

由表3運行時間和迭代次數的對比可知，本文提出的SHDC-SGSNMF算法能在提高精度的前提下更快地收斂。

4 結語

本文提出了基于光譜距離聚類的群稀疏非負矩陣分解的線性高光譜圖像解混算法。首先，通過計算高光譜圖像特征值來去除實際高光譜圖像中的噪聲;然后，利用光譜反射率的相似性生成空間群結構;最后，在群結構模型上進行稀疏化的非負矩陣分解獲得端元和其相應的分數豐度。為驗證本文算法的高效性，分別在模擬數據集Simu-1和實際數據集Urban

上對算法的RMSE和SAD與其他先進算法VCA+FCLS、PIPA、FCMU+塊VCA、NMF和SGSNMF進行了對比，在大多數類別上都可獲得較低的RMSE和SAD，因此，本文提出的算法可實現高效的高光譜圖像解混。

本文雖然提升了解混精度，但與大多數算法相同，建立在已知端元個數的先驗依賴下。

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This work is partially supported by the National Natural Science Foundation of China （61571361）， the Shaanxi International Cooperation and Exchange Project of China （2017KW-013）， the Graduate Innovation Fund for Xian University of Posts and Telecommunications （CXJJLY2018024）.

LIU Ying， born in 1972， Ph. D.， senior engineer. Her research interests include image and video retrieval.

LIANG Nannan， born in 1994， M. S. candidate. Her research interests include criminal investigation image processing， hyperspectral image processing.

LI Daxiang， born in 1974， Ph. D.， associate professor. His research interests include digital image processing， machine learning.

YANG Fanchao， born in 1987， Ph. D.， assistant research fellow. His research interests include hyperspectral imaging， polarization technique.