應急物資運輸路徑多目標優化模型及求解算法

李卓 李引珍 李文霞

摘 要：針對應急前期運輸商自有車輛不足的實際背景，采用自有車輛和第三方租用車輛共同配送的運輸模式，對混合車輛路徑的組合優化問題進行研究。首先，考慮需求點和運輸商的不同利益訴求，以系統滿意度最大、系統配送時間和總成本最小為優化目標，建立帶軟時間窗的多目標混合車輛路徑優化模型。其次，考慮NSGA-Ⅱ算法在求解該類問題時收斂性差和Pareto前沿分布不均勻的缺點，將蟻群算法的啟發式策略和信息素正反饋機制用于生成子代種群，非支配排序策略模型用于指導算法的多目標擇優過程，并引入變鄰域下降搜索以擴大搜索空間，提出求解多目標的非支配排序蟻群算法以突破原有算法瓶頸。算例表明：構建的模型可對決策者在不同的情境下依據不同的優化目標選擇合理的路徑提供參考，提出的算法在求解不同規模的問題和不同分布類型的問題中均表現出較好的性能。

關鍵詞：應急物流;混合車輛路徑問題;多準則優化;非支配排序策略;蟻群算法;變鄰域搜索

中圖分類號：TP301.6

文獻標志碼：A

Multi-objective optimization model and solution algorithm for emergency material transportation path

LI Zhuo， LI Yinzhen*， LI Wenxia

School of Traffic and Transportation，? Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou Gansu 730070， China

Abstract：

For the actual background of the shortage of self-owned vehicles of the transporters in the early stage of emergency， the combinatorial optimization problem of hybrid vehicle paths with transportation mode of joint distribution of self-owned vehicles and? vehicles rented by third-party was studied. Firstly， with the different interests between demand points and transporters considered， a multi-objective hybrid vehicle routing optimization model with soft time windows was established with the goal of maximizing system satisfaction and minimizing system delivery time and total cost. Secondly， the shortcomings of NSGA-Ⅱ algorithm in solving this kind of problems such as poor convergence and uneven distribution of Pareto frontiers were considered， the heuristic strategy and pheromone positive feedback mechanism of ant colony algorithm were used to generate offspring population， non-dominated sorting strategy model was used to guide the multi-objective optimization process， and the variable neighborhood descent search was introduced to expand the search space. A multi-objective non-dominated sorting ant colony algorithm was proposed to break through the bottleneck of the original algorithm. The example shows that the proposed model can provide reference for decision makers to choose reasonable paths according to different optimization objectives in different situations， and the proposed algorithm shows better performance in solving different scale problems and different distribution type problems.

Key words：

emergency logistics; heterogeneous vehicle routing problem; multi-criteria optimization; non-dominated sorting strategy; ant colony algorithm; variable neighborhood search

0 引言

隨著全球自然環境的急劇變化，一系列突發事件給社會穩定和安全帶來嚴重威脅，然而國內由于應急物流體系不夠完善，造成的損失占其總損失的15%～20%[1]。因此，建立完善的應急系統已成為熱點議題，對緩解災情、降低損失具有重要意義。

應急物流體系是一個多階段、多層次結構的供應網絡。針對末端配送的車輛路徑問題（Vehicle Routing Problem， VRP），國內外學者展開了廣泛研究[2-4]。關于單目標的應急VRP問題，郭詠梅等[5]考慮路網通行能力和物資優先級，以系統響應能力最大為目標構建開放式車輛路徑問題（Open Vehicle Routing Problem， OVRP）數學模型，并設計改進蟻群算法進行求解。程碧榮等[6]針對物資供應不足及需求不確定的特點，提出隨機需求環境下的應急路徑優化方法。Wohlgemuth等[7]最小化時間延誤并提高車輛利用率，建立了確定性需求下的動態車輛路徑優化模型。關于多目標的應急VRP問題，多數文獻通常考慮時效性和經濟性[8-9]。近年來，隨著研究的深入，部分學者兼顧考慮需求點的需求滿足率和救援公平性等，如Chang等[10]提出最小化交付時間、運輸成本和需求不滿足率的三目標優化模型，并針對該問題設計基于貪婪搜索的多目標遺傳算法。Zhang等[11]最大限度降低需求未滿足程度、總交付時間和配送的不平衡性，提出多目標、多周期的應急物流優化方法。由于VRP問題的NP-hard性質，精確算法無法避免指數爆炸問題，難以求解大規模問題[12]，而遺傳算法、蟻群算法、禁忌搜索算法等啟發式算法在解決該類問題中表現出良好的求解效果[13-15]，但在求解精度和收斂性等方面仍有待提高，為此，已有學者考慮對算法進行改進[16-17]。綜上所述，既有研究中大多數文獻針對的實際背景問題較為單一，采用多目標優化模型且設計更有效的求解算法的文獻比較少見。

在實際救援中，由于突發事件的隨機發生，造成救援初期可調度的應急設施往往不能應付繁重的救援工作，尤其是面對大規模、多災點的應急物資運輸任務，運輸車保有量不足使得可調度的車輛有限，必然會降低救援效率，造成額外的經濟損失和人員傷亡。為此，本文考慮應急前期自有車輛不足的一類實際情況，提出自有車輛和租用車輛相結合的配送模式，即混合車輛路徑問題。混合性概念涉及車輛所有權，即應急初期配送車輛數不足時，必須從第三方承運人租用車輛完成配送。基于此，考慮災點系統滿意度、運輸總成本和系統配送時間建立多目標應急路徑優化模型，并針對該問題設計求解多目標的非支配排序蟻群算法。

1 多目標優化模型

1.1 問題描述

某些突發事件波及范圍較大，且末端物資運輸工作具有時間的緊迫性和面向多災點的復雜性，導致運輸商自有車輛不足，需要租借車輛繼續完成配送任務。考慮車輛的所有權，自有車輛完成配送任務后需返回調度中心，是閉環VRP;租用車輛完成配送任務后停留在最后一個任務點，不需返回調度中心，是開環VRP。基于此，該問題可歸結為帶軟時間窗的混合車輛路徑問題（Heterogeneous Vehicle Routing Problem with Soft Time Windows， HVRPSTW），如圖1所示。本文以此為背景，從實際角度出發，解決應急條件下兼顧多個優化方面的運輸路徑選擇問題，設計建立多目標優化數學模型。

1.2 模型參數及變量

完全有向的應急物流運輸網絡為G=（V，E），其他參數及相關變量見表1。

1.3 HVRPSTW模型建立

災后需求點對時效性的要求較高，在盡可能滿足需求點時間窗限制的前提下，隨著交付時間的延遲，滿意度逐漸降低，滿意度按下式計算：

wki=（li-tki）/li， 0≤tki≤li

0，tki>li（1）

考慮取所有需求點滿意度的平均值為系統滿意度S：

S=1n-1∑i∈V0∑k∈Kykiwki（2）

為了加快設備周轉速度，運輸企業需要考慮系統配送時間，這里，首先定義第k類車第mk輛車完成若干需求點配送任務所花費的時間Tmk：

Tmk=∑i∈V∑j∈Vxkijtkij+∑i∈V0ykiui-∑i∈V0xbi0tbi0; k∈K（3）

完成所有需求點配送任務的系統配送時間T為：

T=max{Tmkk∈K}（4）

此外，還要考慮經濟性，總配送費用為：

C=∑i∈V∑j∈V∑k∈Kxkijfij+∑j∈V0∑k∈Kxk0jfrk-∑i∈V0xbi0fi0+∑i∈V0∑k∈Kykipi（tki）（5）

其中：pi（tki）=r·max{（tki-li），0}為超出時間窗限制的懲罰成本函數。

表格（有表名）

表1 模型變量參數定義

Tab. 1 Variables and parameters definition of model

類型符號含義

集合參數變量

V節點集合，V={1，2，…，n}，調度中心為1

V0需求點集合，V0=V/{1}

E節點間有向弧段集合E={（i， j）：i， j∈V，i≠j}

A需求點的任意子集，AV0

K車輛類別集合，K={k|a，b}，k=a為自有車，k=b為租用車

mkk類車輛集合，mk={1，2，…，n}

vkk類車平均速度

Qkk類車載重

qi需求點i的物資需求量

ui需求點i的服務持續時間

tu單位需求量的服務時間

diji≠j∈V間路徑（i， j）∈E的長度

fij路徑dij的行駛成本

frkk類車固定啟用成本

tkijk類車在路徑dij的行駛時間

li需求點i時間窗上界

c路徑dij的單位行駛成本

r超出時間窗li限制單位時間懲罰成本

M控制參數，極大整數

tkik類車到達需求點的時間，tk 0=0

xkij決策變量，當k類車負責路徑（i， j）∈E時取值為1;否則為0

yki決策變量，當k類車服務需求點i∈V0時取值為1;否則為0

考慮運輸過程的復雜性，兼顧多個優化方面，建立多目標路徑優化模型：

Z=（FS（y），FT（x，y），FC（x，y））（6）

FS（y）=max S（7）

FT（x，y）=min T（8）

FC（x，y）=min C（9）

s.t. ∑j∈V∑k∈Kxkij=∑j∈V∑k∈Kxkji=1; i∈V（10）

∑i∈V∑j∈Vxkij≤A-1; k∈K，A≥2（11）

∑j∈V0xk0j=∑j∈V0xkj0≤mk; k∈K（12）

∑i∈Vxkih-∑j∈Vxkhj=0; k∈K，h∈V0（13）

∑i∈V0ykiqi≤Qk; k∈K（14）

tki+ui+tkij≤tkj+M（1-xkij）; i， j∈V0，k∈K（15）

tkij=dij/vk

fij=c·dij

ui=tu·qi ;i， j∈V， k∈K（16）

xkij，yki∈{0，1}; i， j∈V，k∈K（17）

Qk，qi，ui>0; i∈V0，k∈K（18）

模型中，式（6）～（9）為多運輸準則的不同優化目標;式（10）保證每個需求點僅被一輛車服務且僅服務一次;式（11）為子回路消除約束;式（12）保證車輛從調度中心出發最后返回調度中心，且啟用車輛數小于車輛擁有數;式（13）為節點平衡方程;式（14）為車輛載重約束;式（15）為配送過程中各需求點的時間限制條件;式（16）～（18）為決策變量和參數約束。

2 求解算法設計

HVRPSTW是VRP問題的變體之一，啟發式算法是解決該類問題的有效方法之一。蟻群優化（Ant Colony Optimization， ACO）算法在求解VRP及其變體中得到了成功的應用，在求解大規模問題中表現出較好的收斂性[18];改進非支配排序遺傳算法（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm-Ⅱ， NSGA-Ⅱ）作為常用的多目標求解算法，比同類算法表現出更優的性能[19]。考慮上述兩種算法的優勢，首先以ACO算法為基本架構，非支配排序策略用于多目標擇優過程;其次，為了避免算法在迭代后期陷入信息素停滯，采用變鄰域下降搜索機制，進一步擴大搜索的解空間。設計求解多目標的非支配排序蟻群優化算法（Non-dominated Sorting-Ant Colony Optimization algorithm， NSACO）。

2.1 求解多目標的NSACO算法

2.1.1 非支配排序策略模型

模型包括兩個子過程：非支配排序和擁擠度評估。非支配排序是對種群進行非支配前沿劃分，保證相同排序層級個體之間不存在支配關系;擁擠度是同一排序層個體周圍的個體密度，確保種群多樣性。

構建初始種群P，計算適應度值并基于Pareto占優對P分層排序為k層子集，即P={P1，P2，…，Pk}，Pi+1中個體受Pi中個體支配，且Pi∩Pi+1=，i，i+1∈{1，2，…，k}，得到種群個體間的非支配關系。對于個體p∈P初始化兩個參數np和sp，np記錄支配個體p的個體數量，sp存放被個體p支配的個體的集合。執行以上非支配排序過程后，計算每個排序層Pi中個體p的擁擠程度I（p），p∈Pi，擁擠度I是相同排序層中相鄰個體適應度fh（x）的距離差值。

執行以上兩個子過程后，種群P中個體p被賦予非支配排序層級prank和擁擠度I（p），通過以上兩個屬性區分個體間的優劣關系：滿足①prankI（q）;則個體p優于q。

2.1.2 變鄰域下降搜索

在經過規定的迭代次數后，解的質量仍然沒有改善，則啟

用變鄰域下降搜索。該過程采用多個不同鄰域進行系統搜索，首先采用小鄰域結構，當解沒有改進時，再切換較大的鄰域結構。變鄰域下降搜索偽代碼如下。

程序前

for each p∈parent_set

Select a neighbourhood structure VLSi， i=1，2，…，imax

i → 1//初始化鄰域結構VLS1

While i ≠ imax+1

VLSi（p）→p′//對p執行鄰域結構VLSi

If p′ unfeasible

repair p′//修復不可行解

If （f（p′）

p′ → p， i → 1//更新當前可行解

else

i=i+1

end

If（f（p）

p→p*//更新全局最優解

end

程序后

本文采用4個鄰域結構（VNS={VNS1，VNS2，…，VNS4}）的搜索機制;兩個子路徑內鄰域結構，兩個子路徑間鄰域結構具體如下：

子路徑內relocate算子（VNS1）：隨機選取路徑1-11-5-1-6-2-4-7-3-1-16-14-8-1中一條子路徑1-6-2-4-7-3-1，對子路徑隨機生成移出節點note1和插入節點note2，將note1位置對應的元素插入到note2位置，如圖2。

子路徑內or-opt算子（VNS2）：隨機選取路徑1-11-5-1-6-2-4-7-3-1-16-14-8-1中一條子路徑1-6-2-4-7-3-1，對子路徑隨機選擇兩個移出節點note1、note2間的路徑序列sq，隨機選擇一個插入節點note3，sq從原位置移出，插入到新的位置，如圖3。

子路徑間relocate算子（VNS3）：針對一條路徑1-6-2-4-1-7-3-8-10-1，隨機生成移出節點note1和插入節點note2，將note1位置對應的元素插入到note2位置，如圖4。

子路徑間or-opt算子（VNS4）：針對一條路徑1-6-2-4-1-7-3-8-10-1，隨機選擇兩個移出節點note1、note2間的路徑序列sq，隨機選擇一個插入節點note3，sq從原位置移出，插入到新的位置，如圖5。

要注意的是，執行子路徑內的鄰域結構不會破壞解的可行性，執行子路徑間的鄰域結構有可能會破壞解的可行性，即有可能會違背車輛容量約束，因此，需要檢查所得解是否可行，若不滿足可行性，對解進行修復。

2.1.3 算法流程

算法迭代過程中，通過蟻群算法中的路徑啟發式信息和路徑信息素濃度反饋機制生成子代種群Pc，與父代種群Pp相結合生成本次迭代的種群集合P;對P執行非支配排序并評估擁擠度，基于個體排序層rank和擁擠度I執行精英保留策略，得到下一迭代的父代種群Pp;基于Pp進行路徑信息素濃度更新，為產生下一子代做準備;當執行指定迭代次數后，所得可行解沒有改進，則執行變鄰域下降搜索擴大搜索解空間，以期改善解的多樣性。不斷循環以上過程，直到滿足算法停止條件，算法流程如圖6所示。

2.1.4 算法主要環節

1）初始化可行解。車輛路徑采用自然數編碼，以距離當前需求點里程最小為元啟發式策略，從未訪問點集合中搜索下一要訪問的需求點，采用基于貪心策略的調度中心插入方法，若車輛當前載重與下一將要訪問需求點的需求量之和違背車輛載重約束，則將調度中心編號插入，表明需要另一輛車完成后續配送任務，以此生成質量較高的初始解集P0。

2）生成父代。基于Pareto占優執行非支配排序策略模型，給種群P中每個個體p賦予排序層prank和擁擠度I（p）兩個屬性，用于執行精英保留策略，通過擇優產生下一代的父代種群。

3）全局信息素更新。考慮多目標的不同量綱對信息素濃度更新結果的影響，對父代個體的每個適應度值進行無量綱化處理后，路徑（i， j）的信息素濃度更新規則為：

τij（t+1）=（1-ρ）τij（t）+∑Hh=1Δτhij（19）

Δτhij=Q/fh（p）， （i， j）∈p

0，（i， j）p（20）

其中：H為目標數; fh（p）為個體p第h個目標無量綱化后的適應度值。

4）生成子代。依據路徑（i， j）的啟發式信息ηij和信息素濃度τij計算未訪問需求點的轉移概率Psij，輪盤賭選擇確定下一訪問點，同時保證滿足車輛載重約束。采用同樣的方式依次生成子代種群所有個體。路徑（i， j）的選擇概率為：

Psi， j（t）=τij（t）α·ηij（t）β∑k∈Asτik（t）α·ηik（t）β， j∈Ak

0，jAk（21）

3 數值實驗及分析

3.1 基礎算例實驗

隨機生成20個節點，包含1個應急調度中心和19個物資需求點。本算例設置節點1為調度中心，其他各需求點的需求量（噸）是區間[0，10]均勻分布的隨機整數，需求點時間窗（min）在區間[0，60]中隨機產生，違背時間窗單位懲罰成本為4元/min，需求點的服務持續時間為2min/t;運輸商擁有2輛載重為25t的自有車，行駛速度v1=1.2km/min，啟用成本為每輛300元;租用車載重為15t，車輛數充足，行駛速度v2=1.5km/min，啟用成本為每輛200元/輛;配送過程中單位運輸成本為5元/km;具體見表2。

采用本文提出的NSACO算法對算例進行200次迭代求解。設置種群規模pop=50，最大迭代次數gen=200，允許可行解沒有改進的最大迭代次數noimpro=10;蟻群優化參數參考文獻[18]進行設置，α=1， β=5， ρ=0.2;算法在一臺搭載1.6GHz的Intel Core i5處理器和4GB內存的計算機平臺上實現。各目標最優時的車輛路徑如圖7所示，各目標最優時的非支配路徑集合和路徑屬性見表3。

運輸商和需求點對應急物資運輸路徑的要求不同，相應的優化目標并不統一，使各目標同時達到最優的解不存在。由表3和圖7可知：當FC（x，y）取最優時，車輛組合為2a+2b，平均滿載率為81.00%，配送路徑如圖7（a），FT（x，y）比F*T（x，y）增加15.42%，FS（y）比F*S（y）降低17.53%;當FT（x，y）取最優時，車輛組合為2a+2b，平均滿載率為83.67%，配送路徑如圖7（b），FC（x，y）比F*（x，y）增加9.51%，FS（y）比F*S（y）降低16.96%;當FS（y）取最優時，車輛組合為2a+2b，平均滿載率為82.33%，配送路徑如圖7（c），FC（x，y）比F*C（x，y）增加29.82%，FT（x，y）比F*T（x，y）增加53.71%。從企業角度考慮，需提高效益，加快設備周轉，為此，合理規劃路徑的同時，減少啟用車輛數，提高車輛滿載率，以期降低成本、減少系統配送時間;從需求點角度考慮，在盡量控制成本的基礎上，科學安排配送順序，以期滿足物資能盡早送達的要求。基于以上分析，在不同的實際情境下，決策者可根據不同目標偏好選擇配送路線;若在不同目標之間適當妥協，則即能避免部分目標取較劣值，又可兼顧多個方面。

3.2 算法性能分析

3.2.1 基礎算例分析

NSGA-Ⅱ算法作為較為廣泛應用的多目標求解算法，吸引了大批學者的關注，近幾年來，已有不少針對該算法的改進算法，因此，本文擬將NSACO算法與Hassanzadeh等[20]于2017年提出的VNSGA-Ⅱ進行比較。以基礎算例為實驗數據，設置交叉概率為0.9，變異概率為0.1，其他實驗條件及參數相同，NSACO與VNSGA-Ⅱ分別執行10次算法程序，對二者計算結果進行分析。為了便于比較，取系統滿意度的相反數統一各目標優化方向，生成的Pareto前沿空間分布見圖8，算法性能統計見表4。

比較圖8（a）和圖8（b）看出，NSACO算法得到的Pareto前沿中，Pareto最優解的數量更多，重復數據點較少，Pareto前沿跨度更廣且空間分布均勻性更好，說明算法具有較強的搜索性能，可以搜索更大的解空間。由表4可知，NSACO在算法性能上總體比VNSGA-Ⅱ更好。具體從以下三個方面分析：求解精度上，盡管NSACO求得的總成本在最優解和平均解上分別比VNSGA-Ⅱ大0.48%和0.35%，但NSACO求得系統配送時間和系統滿意度均比VNSGA-Ⅱ更優，系統配送時間的最優解和平均解分別優化了3.00%和4.51%，系統滿意度的最優解和平均解分別優化了8.30%和7.42%。收斂性上，由于ACO算法的信息素正反饋機制，相較于VNSGA-Ⅱ的隨機搜索，NSACO在三個目標上分別提前了56、34、27個迭代循環，收斂性明顯優于VNSGA-Ⅱ。算法穩健性上，在三個優化目標上，NSACO的平均偏差分別為2.60%、1.76%、2.75%，最大偏差分別為3.43%、2.48%、4.98%;VNSGA-Ⅱ的平均偏差分別為2.39%、3.38%、1.95%，最大偏差分別為6.08%、5.48%、4.06%;表現出較好的穩健性。由于NSACO算法在迭代過程中需要額外更新路徑的信息素濃度，算法運行時間相對較長。

3.2.2 測試算例分析

為了驗證提出算法在求解VRP問題的普適性，采用Solomon基準算例對算法性能作進一步測試分析，本文選取C101、R101、RC101三組不同類別的算例作為測試數據，分別對NSACO算法與VNSGA-Ⅱ算法運行10次，算法參數及實驗條件與基礎算例相同，測試結果如表5所示。

由表4和表5可知，在小規模基礎算例實驗中，僅時間和

滿意度在精度方面得到了改進，而在大規模實例中，由于蟻群優化

的信息素正反饋機制及輪盤賭選擇策略，使得NSACO算法相較于VNSGA-Ⅱ算法在三個優化目標的精度上均有提高，并且在不同類型實例的求解中均表現出優勢。分析NSACO在成本、時間、滿意度三個方面的改進程度，聚集分布實例C101在最優解上分別優化了4.08%、4.52%、2.90%，在平均解上分別優化了6.80%、5.17%、4.02%;隨機分布實例R101在最優解上分別優化了10.59%、8.99%、2.96%，在平均解上分別優化了12.92%、8.79%、5.31%;混合分布實例RC101在最優解上分別優化了9.68%、9.47%、2.78%，在平均解上分別優化了11.97%、10.10%、4.81%。由此可見，相較于聚集分布問題，NSACO在解決隨機分布問題和混合分布的問題更能發揮其算法優勢，具有更好的可行性和精確性。

4 結語

本文以應急初期自有車和租用車混合配送為實際背景，建立多目標HVRPSTW優化模型，針對該問題設計了求解多目標的NSACO算法。通過基礎算例和測試算例對模型和算法進行驗證，結果表明：

1）針對應急物資運輸中企業私有車輛不足的一類情況，對同一路網內自有車和租用車共同完成配送的組合優化問題進行了研究，對該實際背景下的配送路徑規劃工作具有很強借鑒意義。

2）模型考慮總成本、系統配送時間和系統滿意度三個方面，有效地平衡受災點和運輸企業雙方的利益，具有很強的實用性，可以給運輸商在不同的應急背景下根據不同優化目標選擇合理的運輸路徑提供決策依據。

3）設計NSACO算法求解模型，與改進VNSGA-Ⅱ算法相比，NSACO能快速搜索到最優解，并改善Pareto前沿的分布均勻性。算例分析表明：NSACO算法在求解精度、收斂性及穩健性上均表現出更好的性能。

本文僅從靜態路網的角度對應急路徑的優化作研究，而更符合實際的時間依賴性車輛路徑以及動態車輛路徑將是下一步研究課題。

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LI Zhuo， born in 1993， M. S. candidate. His research interests include transportation planning and management， network optimization.

LI Yinzhen， born in 1963， Ph. D.， professor. His research interests include transportation system analysis and decision-making.

LI Wenxia， born in 1993， M. S. candidate. Her research interests include operation management and decision optimization of rail transit， network optimization.