基于二次最優閾值近似消息傳遞法的蒸發波導去噪重構

芮國勝，劉歌，田文飚，董道廣，張雅楠

（1.海軍航空大學信號與信息處理山東省重點實驗室，山東 煙臺 264501；2.93716 部隊，天津 301716）

1 引言

海面水蒸氣蒸發會引起大氣濕度隨著高度的增加而急劇減小，從而導致大氣折射指數隨高度逐漸降低，形成近海面的大氣異常結構，即蒸發波導。蒸發波導能陷獲無線電波，有助于實現超視距傳播，但可能造成頻譜泄露，導致己方目標過早暴露[1]。因此，蒸發波導的態勢獲取對海上艦船通信及岸艦通信都具有極其重要的作用。在電磁空間被各方激烈爭奪的今天，獲取各海域的蒸發波導態勢迫在眉睫。到目前為止，蒸發波導態勢通常由諸如蒸發波導的高度、強度和陷獲頻率范圍等參數來描述，這些參數是對傳感器采集到的海面溫度、壓強、濕度、風速等氣象參數隨時間的變化數據進行解算獲得的[2]，現有的傳感器包括海上氣象浮標、水文/氣象觀測站[3]、衛星平臺[4-5]等。文獻[1]中詳細分析了不同海域蒸發波導高度的分布特征及相關氣象因子，還分析了不同海域的全球蒸發波導高度特征形成的原因。但實際上要獲知蒸發波導的態勢，仍然存在很多問題。首先，要獲取較高分辨率的蒸發波導態勢，需增大傳感器密度，不僅浪費資源，且實現十分困難。其次，現有的壓縮體制需要采集全部信息再進行計算，舍棄大系數保留小系數，這不僅會造成資源浪費，還會增大編碼端計算壓力。壓縮感知為上述問題提供了有力的解決方案，田文飚等[6]充分利用蒸發波導的時空稀疏性，提出利用壓縮感知對采集到的有限資源進行處理實現整體蒸發波導態勢感知，但是利用壓縮感知實現蒸發波導態勢感知仍然存在著受噪聲影響嚴重、重構精度不高的問題。

近年來，一種新型迭代閾值算法——近似消息傳遞（AMP,approximate message passing）[7]算法受到越來越多的關注。它是Donoho 受置信傳播理論的啟發于2009 年提出的，該算法能夠在觀測值數量不多的情況下實現信號的高速重構，同時擁有線性規劃法的高相變性能和迭代閾值法的高速重構性能。AMP 算法在其迭代的過程中并沒有利用信號自身的結構特征，而主要利用信號的稀疏分布作為先驗知識[8-9]。文獻[10]中提出了一種去噪AMP（D-AMP,denoising-based AMP）方法，可以看作在AMP 算法框架下的去噪延伸，并通過理論特性分析和仿真實驗證明，具有高性能去噪功能的AMP 算法的性能優于其他壓縮感知重建方法。但是上述D-AMP 去噪函數都有相應的應用場景限制，對蒸發波導參數重構的去噪效果和收斂速度都不盡如人意。文獻[11]提出了一種基于高斯混合學習和去噪的AMP 算法，研究了加性高斯白噪聲下的信號壓縮感知去噪重構問題，但是文中的去噪重構方法限定于輸入統計量未知的平穩遍歷信號，難以適用于屬于非平穩信號的蒸發波導數據。

本文針對蒸發波導參數的去噪重構問題，提出了一種基于二次最優閾值函數的 AMP（QOT-AMP,quadratic optimal threshold AMP）算法，改善了原有AMP 算法的重構性能，并設計了一種基于共軛梯度法的最優閾值設置策略，使其更快地收斂并以更高精度重構，理論上證明了QOT-AMP 算法的收斂性，并通過實測數據進行實驗，驗證了本文算法的有效性。

2 研究背景

2.1 壓縮感知重構問題描述

壓縮感知重構技術可以從已知的少量蒸發波導參數觀測值y中估計原蒸發波導數據x∈RN，具體表示為

其中，A∈RM×N表示觀測矩陣，v表示觀測噪聲。由于M＜N，因此上述重構問題成為病態問題。?1范數最小化問題的目標函數可以表示為

2.2 近似消息傳遞法

作為一種新型的迭代閾值算法，AMP 算法的表達形式類似于傳統的迭代閾值算法。具體表達式為

其中，xt表示原信號x0的第t次迭代的估計值；ητ(?)表示閾值函數，τ表示閾值參數，τ的取值決定了整個迭代算法的性能；A*表示觀測矩陣的共軛轉置；rt表示第t次迭代的殘差，被稱為 Onsager 校正項，表示采樣率，Onsager 項中表示ητ(?)的導數。由于Onsager 項的存在，AMP 算法的收斂速度更快，相變性能更高，且使AMP 算法的性能可以通過狀態演化（SE,state evolution）[7]進行分析和預測。

3 基于QOT-AMP 的去噪重構算法

由于蒸發波導的各種重要參數（如高度、強度等）可以根據蒸發波導預測模型獲得，具體模型計算過程可參考文獻[15-18]，本文忽略蒸發波導數據預測模型計算的過程，直接將蒸發波導高度參數作為壓縮感知重構的對象。

壓縮感知的基礎是感知對象的稀疏性。目前，對蒸發波導參數的稀疏性研究已經取得一定的進展，文獻[6]中利用離散余弦變換（DCT,discrete cosine transform）對蒸發波導參數進行稀疏性分析且實現了重構，但僅在DCT 域進行討論，蒸發波導稀疏性并沒有被充分挖掘；文獻[19]為了提升感知的性能，提出一種遞推的KLT 基，將蒸發波導數據的稀疏度約束到4 以內，為后續的去噪重構奠定稀疏性基礎。

3.1 QST-AMP 算法

在上述稀疏性基礎上，完全可以開展蒸發波導參數的壓縮感知重構算法研究。針對蒸發波導參數觀測過程中可能混入噪聲的情況，未考慮去噪的重構方法無法充分發揮作用，因此本文在AMP 算法的基礎上，設計一種新的閾值函數對AMP 進行改進，以實現蒸發波導參數的去噪重構。

AMP 算法中ητ(?)通常采用軟閾值函數和硬閾值函數，這2 種函數都已有相應的缺陷：軟閾值函數重構結果存在恒定誤差，硬閾值函數是不連續的。因此，本文針對AMP 算法的閾值函數，設計了二次函數線型，克服軟硬閾值的缺陷，稱為二次閾值函數。

軟閾值函數表達式為

其中，soft(?)表示軟閾值函數。

硬閾值函數的表達式為

其中，hard(.)表示硬閾值函數。

文獻[20]考慮將2 種算法結合，構造了一種稱為穩固閾值函數的新閾值函數，如式(7)所示。

圖1 給出了軟、硬閾值函數以及穩固閾值函數的曲線對比，穩固閾值函數中τ=2，參數b分別為2、3、5、10、100。從圖1 中可以看出，硬閾值法更加貼近參考曲線，但硬閾值函數曲線中存在斷點；軟閾值函數曲線沒有斷點，但是軟閾值函數曲線與參考曲線之間始終存在著恒定的差值，導致重構信號與真實信號之間也總是存在一定的誤差。穩固閾值曲線位于硬閾值和軟閾值曲線之間，并隨著參數b的增大，穩固閾值函數曲線逐漸靠近軟閾值曲線，這種閾值參數綜合了軟硬閾值函數的優點，且克服了硬閾值不連續和軟閾值重構失真的缺點。

圖1 閾值函數曲線

在上述穩固閾值函數的基礎上，為了進一步加快收斂速度，本文設計了二次函數線型，獲得一種新的閾值算法，由于該閾值函數在2 個段區間內采用的是二次函數表示形式，因此被稱為QST 函數。

其中，qst(?)表示二次穩固閾值函數，b≥2 。圖2給出了當b=3，τ=3 時二次穩固閾值函數曲線和穩固閾值函數曲線。

從圖2 中可以看出，在[τ,bτ]和[-bτ,-τ]這2個區間內，不再是穩固閾值函數的直線形式，而是二次函數線型，使函數比穩固閾值函數更快地收斂到y=x這條直線上，估計信號與原信號之間的誤差進一步減小，并且確保了連續性。因此，通過改進的閾值函數獲得的QST 被用作AMP 的去噪閾值函數，簡稱為QST-AMP。

圖2 二次穩固閾值函數曲線

3.2 最優閾值設置策略

在AMP 每次迭代過程中，合理設置閾值參數τ尤為重要。τ設置過大，部分真實信號會被濾掉；τ設置過小，噪聲去除不夠徹底。由于在整個迭代過程中噪聲逐漸減小，因此在早期迭代和后期迭代過程中，有效噪聲的標準差相差較大，這意味著早期迭代的最佳參數在后期迭代過程中很有可能不再適用。Donoho 等[7]將AMP 迭代過程中的閾值參數固定為每次迭代過程中的噪聲方差估計值。令τt表示AMP 第t次迭代時的閾值參數，如式(9)所示。

假設AMP 第t次迭代時的信號可以建模為，vt表示獨立同分布的高斯噪聲，且，σt表示噪聲的標準差。主要問題是如何設置閾值參數τt。要解決這個問題，首先定義閾值估計的均方誤差（MSE,mean square error）為

其中，u～N(0,I)，er(τ,σ)被稱為風險函數。為了最大限度地降低MSE，需要獲得最優化參數τopt

要想獲得最優化參數τopt，需要已知er(τ,)σ，但是er(τ,)σ是x0的函數，難以直接計算。為了解決這個問題，利用Stein 的無偏風險估計（SURE,Stein unbiased risk estimate）對風險函數進行無偏估計。

其中，e表示單位向量。

對于上述最優化問題，共軛梯度法求τopt的具體步驟如下。

2)設定步長λk。任取初始點τ(1)，后續各點通過計 算得到，計 算直到某個τ(k)滿足

3.3 算法流程

綜上所述，將QST-AMP 與最優閾值設置策略相結合構成蒸發波導數據的去噪重構算法，由于每次迭代過程中閾值參數都選擇最優閾值，因此將該方法稱為基于二次最優閾值函數的 AMP（QOT-AMP,quadratic optimal threshold-AMP）法。具體步驟如算法1 描述。

算法1QOT-AMP 算法

輸入蒸發波導參數的觀測值矢量y，觀測矩陣A，迭代次數iters

輸出重構蒸發波導參數

步驟1初始化。=0，r0=y，b;

步驟2AMP 迭代。

生成N維隨機列向量h∈N(0,I)，并取

步驟3輸出。得到蒸發波導參數向量。

3.4 算法收斂性分析

由文獻[10]對AMP 算法中去噪閾值函數的性質描述可知，閾值函數需要滿足單調性和Lipschitz連續性，其中，單調性很容易可以得出，本文重點對其Lipschitz 連續性進行證明。Lipschitz 連續性的定義為：對于函數f(x)，如果存在一個常量K（K＞0 ），使f(x)在定義域（可為實數也可為復數）上的任意2 個值滿足

其中，K為f(x)的Lipschitz 常數。證明QST 函數的Lipschitz 連續性，則需要證明

具體證明如下。

4)在各分段點處皆滿足Lipschitz 連續條件。

綜上所述，QST 函數滿足Lipschitz 連續條件。

QOT-AMP 算法的收斂性可以通過狀態演變（SE,state evolution）方程進行檢驗。SE 方程是用來分析AMP 算法性能的關鍵，一系列的SE 方程可以預測 AMP 算法在每一次迭代過程中產生的MSE，以確保整個迭代過程的收斂性。從開始，SE 通過以下迭代產生一系列數值。

式(21)能夠成立是建立在滿足以下3 個條件的基礎之上的[10]。1)觀測矩陣A是獨立同分布的均值為0 的高斯矩陣；2)噪聲w服從獨立同分布的高斯分布；3)去噪閾值函數是Lipschitz 連續函數。根據本文描述，上述3 個條件已滿足。圖3 給出了基于二次穩固閾值函數與軟閾值函數的AMP 算法的狀態演變曲線和文獻[21]中的狀態演變曲線的比較。測試信號的長度為1 000，稀疏度為10，觀測比率為0.3。圖3 中tau2 曲線表示算法的有效噪聲方差，MSE表示算法的均方誤差，SE-tau2 和SE-MSE 分別表示狀態演變方程預測的有效噪聲方差和SE-MSE 表示狀態演變方程預測的均方誤差。對比來看，QOT-AMP 的殘差能量和均方誤差均低于soft-AMP和文獻[21]中的算法。QOT-AMP 方法的收斂速度較快，在第2 次迭代時已經實現收斂。

圖3 SE 曲線對比

4 性能分析及仿真實驗

4.1 測試信號的去噪重構仿真分析

為了驗證本文算法的有效性，分別在不同信噪比和不同稀疏度的條件下，將本文算法QOT-AMP與6 種重構算法進行比較。用于對比實驗的算法分別是OMP、NLM-AMP[10]、AMP-UD[11]、SP[22]、CoSaMP[23]、soft-AMP（AMP 的去噪函數為軟閾值函數），其中，OMP 來自SparseLab 軟件包。

4.1.1去噪重構精確度分析

以仿真信號為實驗研究對象，首先研究了不同重構算法隨信噪比的變化情況。取長度為1 024 點的一維稀疏測試信號，采樣速率設定為Nyquist 速率的20%，即觀測數與信號長度之比為0.2，稀疏度k=50 。重構信噪比（RSNR,reconstruction-SNR）反映了算法重構信號后的準確性，RSNR 定義為

在信噪比在[-10,20]dB 范圍內以5 dB 為間隔，分別對5 種重構算法進行1 000 次蒙特卡洛仿真實驗。其中，QOT-AMP 與soft-AMP 算法中的迭代次數設置為30 次。圖4 給出了7 種重構算法下的RSNR隨噪聲變化的性能曲線，可以看出隨著信噪比的增加，重構算法的重構信噪比都呈上升趨勢，其中，QOT-AMP 算法具有最佳的重構性能和最佳的抗噪性能，OMP的重構性能最差，NLM-AMP和AMP-UD算法的性能相當，次于QOT-AMP 算法。NLM-AMP方法是文獻[10]將NLM 去噪器加入AMP 中的一種處理一維信號的去噪算法，去噪重構性能優于soft-AMP 和SP，AMP-UD 是文獻[11]中提出的一種去噪重構方法，重構性能僅次于QOT-AMP。

圖4 相同稀疏度下各算法RSNR 與SNR 關系曲線

然后，研究了信號稀疏性對重構性能的影響。稀疏度通過稀疏比非零元素的個數與信號長度的比值）來表示。測試信號的稀疏比在[0.01,0.21]的范圍內以0.02 的間隔變化，信號的信噪比設置為5 dB 和20 dB，各重構算法的參數設置與上一個實驗相同，分別進行1 000 次的蒙特卡洛實驗。圖5中給出了仿真實驗的結果。從曲線總體變化情況來看，幾種算法的重構性能隨著稀疏比的減小而增大，即信號越稀疏重構性能越高。其中，QOT-AMP算法的重構性能最好，且信號越稀疏，精確重構的優勢越明顯。然而，隨著稀疏比的增大，QOT-AMP算法的重構性能受影響較大。因此從側面證明了探索待處理信號的稀疏性是保證重構精度的重要手段之一。NLM-AMP 和AMP-UD 算法的性能僅次于QOT-AMP 算法，且某些稀疏比下，重構性能相差無幾。

圖5 不同信噪比下各算法RSNR 與稀疏比的關系

4.1.2不同算法運算時間比較

在不同稀疏比的條件下，分別考察各算法的運算時間變化規律。實驗環境為Pentium? Dual-Core CPU，內存為2 GB，運行環境為Matlab R2014a。如表1 所示，SNR 設置為20 dB，其余參數設置參照3.1.1 節。從表1 數據可以看出，不同算法的運算時間大致呈現出隨稀疏比的增加而增加的趨勢。其中，OMP 受稀疏度變化的影響較大，在稀疏比大于0.1 時，重構時間躍升到10 s 以上。NLM-AMP與AMP-UD 算法的運算時間較其他幾種方法都長，其中AMP-UD 算法的運行時間最長。本文算法的運算時間較其他3 種算法長，是因為該算法加入了最優閾值設置策略，使迭代過程中增加了閾值計算的過程，從而導致運算時間增加。其他3 種算法的運算時間相差無幾，其中，CoSaMP 算法的運算時間比另外2 種算法略長一些，SP、soft-AMP 這2 種算法的運算時間最短。通過運算時間的比較發現，雖然QOT-AMP 算法的運算時間不是最優，但是在可接受的范圍之內，因此可以認為QOT-AMP 算法通過犧牲可接受范圍內的算法復雜度獲得了提升的去噪重構性能，而NLM-AMP 與AMP-UD 算法雖然重構性能較高，但是運算時間過長，滿足不了蒸發波導態勢感知對時間的要求，后續實驗不再對其進行討論。

4.2 實測數據下的去噪重構實驗

4.2.1去噪重構精確度分析

實驗數據采用TAO（tropical atmosphere ocean）項目中2011 年4 月1 日—4 月3 日的實測氣象梯度數據。數據所在的空間范圍為[165°E，95°W]、[8°S，8°N]，時間分辨率為10 min。空間分辨率需要參考數據網址上公布的傳感器位置圖。

根據3.1 節中的實驗結果分析可知，SP 是對照算法中性能最優的一種，因此選擇SP 算法作為實測數據去噪重構實驗中的對比算法。根據第2 節的稀疏性分析，在對比實驗中利用KLT 和DCT 基作為稀疏基，進行對比分析。信噪比為[-10,30]dB 的范圍內，分別利用 KLT+QOT-AMP、KLT+soft-AMP、BAKLT、KLT+SP、DCT+QOT-AMP、DCT+soft-AMP、DCT+SP 這7 種方法對加噪聲的蒸發波導真實數據每5 dB 進行1 000 次蒙特卡洛仿真實驗，統計重構信號的RSNR，并給出各種方法的RSNR 隨信噪比變化的曲線，如圖6所示。

表1 不同算法在稀疏度不同的條件下運算時間比較

圖6 不同SNR 下各算法RSNR 與SNR 的關系曲線

從圖6 可以看出，基于KLT 的QOT-AMP 蒸發波導壓縮感知去噪重構方法的整體性能優于其他對照組性能。基于DCT 的蒸發波導重構效果明顯比基于KLT 的重構效果差，這是因為DCT 域下蒸發波導參數稀疏性還不夠顯著。此外，QOT-AMP算法在DCT 組中的性能優勢是顯而易見的。而KLT組中QOT-AMP 的重構準確性最好，在噪聲水平為-5 dB 時，重構信噪比達到約10 dB。當信噪比為20 dB 時，QOT-AMP 的重構信噪比達到20 dB，SP與soft-AMP 法重構性能相當，重構信噪比達到約15 dB，BAKLT 法重構信噪比約為 10 dB。KLT+QOT-AMP 的去噪重構性能優勢最為明顯，這是因為在KLT 域下，信號達到最稀疏狀態，這也與仿真信號實驗中QOT-AMP 算法在越稀疏的情況下性能越好的結論相吻合。

4.2.2定性分析

信號在稀疏基表示下總會存在殘差，將較小的稀疏系數看作噪聲直接置零，將較大的稀疏系數作為真實值保留，最后逆稀疏變換得到的信號接近真實信號。由于實驗中無法獲知蒸發波導數據不含噪聲的真實值，因此將KLT 基作為稀疏基處理蒸發波導高度數據，并將獲得的數據作為真實值進行比較。在 2 種稀疏基下，分別采用QOT-AMP、soft-AMP 算法對蒸發波導高度數據進行去噪重構。

圖7～圖9 的數據來自TAO 給出的2011 年4 月3 日18 時20 分太平洋某海域蒸發波導高度空間分布實測結果。圖7 顯示了KLT 基下的“真實”蒸發波導高度分布。圖8 給出了KLT 基組2 種算法進行去噪后獲得的蒸發波導數據空間分布，從圖8 可知，從視覺上直觀地判斷，2 種算法得出的結果與實際效果差別不大，其中KLT+QOT-AMP 法的重構效果最好，完全不影響使用者對蒸發波導態勢的判斷和利用。圖9(a)和圖9(b)分別給出了DCT+QOT-AMP和DCT+soft-AMP 法進行去噪重構后的數據，對比來看DCT+QOT-AMP 與DCT+soft-AMP 法給出的重構空間分布與實際情況存在一定的差距，可能造成使用者獲知的蒸發波導態勢存在偏差，從而對利用蒸發波導實現信息傳輸產生不良影響。

圖7 KLT 基稀疏表示獲得的蒸發波導高度分布

5 結束語

準確獲取海上蒸發波導的參數對于奪取海上制電磁控制權起到關鍵作用，壓縮感知為從稀少的觀測數據中恢復蒸發波導的各參數提供了可能。本文針對蒸發波導參數的觀測數據常混入噪聲，現有重構方法無法保證精確重構的問題，提出了一種基于QOT-AMP 去噪重構方法，設計了一種二次函數對AMP 算法中的閾值函數進行改進，并加入了最優閾值設置策略，以達到去噪重構的效果。從測試信號的仿真結果來看，本文提出的QOT-AMP 算法的抗噪性能最強，收斂速度快，且信號越稀疏，重構性能越好。在實測數據實驗中，加入了稀疏性的討論，并通過實驗驗證了在KLT 最稀疏的基礎上，本文算法獲得了優于對照算法的性能。由于AMP 算法只能處理高斯噪聲，對于其他類型的噪聲不適用，因此如何對實測蒸發波導數據中可能混入的其他類型噪聲進行處理是下一步需要解決的難題。

圖8 KLT 基下的蒸發波導數據去噪重構對比

圖9 DCT 基下的蒸發波導數據去噪重構對比