固定鴨舵雙旋彈動態穩定性分析

馬國梁，蔡紅明，常思江

(1.南京理工大學 能源與動力工程學院，江蘇 南京 210094；2.南京理工大學 機械工程學院，江蘇 南京 210094)

0 引言

常規彈藥制導化的改造過程中，從總體設計角度出發，需要綜合考慮作戰性能和制造成本。彈道修正彈通過對常規彈藥進行改進，加裝彈道修正組件，在保證低成本的同時提高命中精度，受到國內外相關領域研究者的重視，先后出現了阻力修正彈、脈沖修正彈以及鴨舵修正彈[1]。隨著鴨舵控制機構微型化技術的進步，鴨舵修正彈由于控制效率較高逐漸成為彈道修正彈的首選方案。雙旋彈是近年來出現的一種新型彈道修正彈，由彈道修正組件和主彈體兩部分組成，中間采用滾動軸承聯接，在彈道飛行過程中，兩部分以不同轉速繞彈體縱軸旋轉，其動力學特性分析[2]、導引及控制設計[3-4]得到國內外相關領域研究者的重視。

雙旋彈修正機構往往安裝在原來常規彈藥的引信部位，考慮到尺寸及成本的嚴格限制，前體鴨舵往往是固定的，沒有可動的舵面[5]，只能與整個彈道修正引信(CCF)一起繞彈體縱軸旋轉，因此可稱為固定鴨舵雙旋彈。Costello等[6]研究了雙旋彈線性理論，考慮了前體、后體的相互作用力和力矩，分析了雙旋彈的飛行穩定性。法德圣路易斯研究所對雙旋彈風洞測試、動力學特性、飛行穩定性進行了長期研究[7-10]。王志剛等[11]采用多體動力學的凱恩方法建立了雙旋火箭彈的動力學模型。許諾等利用角運動方程分析了固定鴨舵雙旋彈的動力學特性[12]，進一步研究了固定鴨舵雙旋彈的動力學分岔特性[13]，并基于周期平均概念提出了一種雙旋彈的彈道修正控制方法[14]。郭致遠等[15]結合電機執行機構的特性，進一步研究了固定鴨舵雙旋火箭彈的周期控制策略。王鈺等[16]采用等效控制力方法分析了雙旋彈在側向控制力作用下的彈丸落點位置變化規律。常思江等[17]對雙旋彈鴨舵周期干擾引起的強迫運動進行了研究。Chang等論述了鴨舵控制和重力作用下雙旋彈的動態響應[18]，并分析了雙旋彈的轉速特性[19]。Liu等[20]研究了在固定鴨舵控制力作用下的彈道擺動問題。

雙旋彈研制過程中，飛行穩定性是應該首要解決的理論問題。文獻[21]針對舵偏角可調節情況分析了雙旋彈的飛行穩定性，文獻[6]的穩定性分析方法適用于前體自由旋轉、不考慮鴨舵受控的情形，而文獻[12，22]在分析雙旋彈穩定性時假定CCF勻速旋轉或者固定不動。從工程實際情況來看，考慮到控制律設計的多樣性，在整個彈道飛行控制過程中，CCF的控制滾轉角變化可能是任意時變的，這就需要應用條件更寬泛的穩定性分析方法。

通過分析固定鴨舵雙旋彈的結構特點，本文將前體舵面滾轉角看作控制輸入量，研究滾轉角任意變化時的飛行穩定性問題。根據固定鴨舵雙旋彈的力方程組和力矩方程組得出角運動狀態方程，選取二次Lyapunov函數分析角運動狀態矩陣的穩定性。利用復數平方根計算方法得出了穩定因子的表達式，并結合界實引理提出了絕對穩定H∞范數的概念。研究結果表明：固定鴨舵雙旋彈動態穩定的充分條件是同時滿足穩定因子約束和絕對穩定H∞范數約束。最后分別通過仿真示例驗證了固定鴨舵雙旋彈動態穩定性判據的有效性。

1 動力學建模

1.1 前提假設

固定鴨舵雙旋彈的CCF主要集中在引信部位，如圖1所示。后體高速旋轉時，前體舵面如果不加任何鎖定力矩，仍會由于軸承摩擦力矩的影響以一定轉速旋轉。前體有兩對舵面：舵面1和舵面3為減旋舵面，設計時有一定導轉角，產生的導轉力矩方向與軸承摩擦力矩方向相反，以降低后體高速轉動對前體的影響；舵面2和舵面4為鴨舵，用于產生舵面升力，與制導彈藥常見的舵面機構不同，舵面2和舵面4的舵偏角是固定的，即所謂的固定鴨舵，只能改變整個前體組件的控制滾轉角，使得鴨舵升力方向發生變化，以改變飛行彈道。為便于分析，只考慮影響較大的氣動力與力矩，通過氣動計算及實驗分析可以對氣動系數進行估計。

圖1 固定鴨舵雙旋彈Fig.1 Fixed canard dual-spin projectile

1.2 坐標系定義

1.2.1 地面發射坐標系

地面發射坐標系與地球表面固連，坐標原點定義在炮口斷面中心，x軸沿水平線指向射擊方向，y軸在水平面內，垂直射擊面向右(由彈底部前視)，z軸按右手法則定義指向下方。為簡化研究，將地面發射坐標系近似為慣性坐標系。

1.2.2 彈體固定面坐標系

1.2.3 前體坐標系

坐標原點O位于全彈質心。xb軸與彈體縱軸重合指向彈頭，yb軸垂直于前體縱向對稱面指向右側，zb軸按右手法則定義指向下方。前體坐標系由BFP坐標系旋轉滾轉角φF得到，根據固定鴨舵雙旋彈的特點，φF看作是控制量。

1.3 氣動力及氣動力矩

為簡化問題，結合雙旋彈氣動外形特點，主要考慮影響較大的氣動力和氣動力矩。忽略馬格努斯力，對于舵面部分，只考慮舵面引起的升力和俯仰力矩。

1.3.1 阻力

1.3.2 彈體升力

彈體升力向量表示為

(1)

式中：xu為彈體縱軸方向上的單位向量；i為飛行速度方向上的單位向量；CLα為彈體升力系數。

1.3.3 舵面升力

1.3.4 彈體俯仰力矩

外彈道學中習慣稱為靜力矩或者翻轉力矩，彈體俯仰力矩向量為

(2)

式中：d為參考長度，這里取彈的直徑為參考長度；CMα為彈體俯仰力矩系數。

1.3.5 俯仰阻尼力矩

(3)

式中：CMq為俯仰阻尼力矩系數。

俯仰阻尼力矩在外彈道學中習慣稱為赤道阻尼力矩。

1.3.6 彈體滾轉阻尼力矩

滾轉阻尼力矩在外彈道學中習慣稱為極阻尼力矩，滾轉阻尼力矩方向指向彈體縱軸，大小為

(4)

式中：p為彈體轉速；Clp為滾轉阻尼力矩系數。

1.3.7 馬格努斯力矩

馬格努斯力矩向量方向指向彈體縱軸，表示為

(5)

式中：CMpα為馬格努斯力矩系數。

1.3.8 舵面俯仰力矩

1.4 其他力和其他力矩

整個彈丸在飛行過程中質量不變，忽略重力常數隨彈道高度的變化，認為彈丸飛行過程中受到恒定的重力作用。

研究固定鴨舵雙旋彈的角運動變化規律時，前體和后體相互作用的摩擦力矩客觀存在，而且根據軸承結構的特點，摩擦力矩主要包括黏滯摩擦力矩和滾動摩擦力矩。本文將前體舵面滾轉角φF看作控制量，重點討論固定鴨舵雙旋彈的飛行穩定性問題，因此暫不分析摩擦力矩的具體影響。

1.5 動力學模型

固定鴨舵雙旋彈的動力學模型不同于傳統的6自由度外彈道模型，一些學者在研究雙旋彈動力學特性時，常常將彈丸前體和后體的轉速都看作獨立運動變量，相對于傳統的6自由度外彈道模型增加了1個前體轉速變量，因此建立的是7自由度外彈道模型[6，17]。由于固定鴨舵雙旋彈的舵偏角固定，對彈道進行修正時只能通過改變前體滾轉角φF來實現，在此情況下前體轉速不再是獨立運動變量，受到滾轉角控制量φF的限制。本文主要研究固定鴨舵雙旋彈前體受控條件下的飛行穩定性，因此沒有采用文獻[6，17]的7自由度模型，而是采用文獻[9]得到的固定鴨舵雙旋彈6自由度模型。根據BFP坐標系的定義可以得出pBFP=-rtanθ，由牛頓第二定律，經推導可得雙旋彈力學方程組為

(6)

(7)

(8)

式中：u、v、w為飛行速度向量在BFP坐標系中的3軸分量；m為全彈質量；g為重力加速度常數。 進一步根據動量矩定理，經推導可得雙旋彈力矩方程組為

(9)

(10)

(11)

式中：Ix為軸向轉動慣量；Iy為橫向轉動慣量。

2 穩定性分析

2.1 線性化狀態方程

根據BFP坐標系的3軸速度分量計算彈體攻角α和側滑角β，有以下關系式成立：

u=vpcosαcosβ,

(12)

v=vpsinβ,

(13)

w=vpsinαcosβ.

(14)

αF≈αcosφF+βsinφF.

(15)

將(12)式～(15)式代入力方程組和力矩方程組，進行線性化處理，將得到以x為變量的狀態方程，其中氣動系數CFL0、CFM0出現在狀態方程的非齊次項中。考慮到動態穩定性討論問題的特點，只保留狀態方程的齊次項，得到固定鴨舵雙旋彈角運動狀態空間模型為

(16)

式中：A=

可以看出，角運動狀態矩陣可以分解為兩項相加的形式，一項為A，另一項為Bζ.A只與彈體部分的氣動系數及彈道運動參數有關，而彈體部分氣動系數與原來無控彈的氣動系數數值接近，因此為便于敘述，將A稱為無控狀態矩陣。B與前體鴨舵的氣動導數有關，ζ與前體鴨舵的滾轉角數值有關，相應地將Bζ稱為有控狀態矩陣。

2.2 固定鴨舵雙旋彈絕對穩定性判據

在固定鴨舵雙旋彈的研制過程中，需要根據彈道偏差改變前體舵面滾轉角φF，即控制量φF將是變化的。如果固定鴨舵雙旋彈在φF任意變化時都是絕對穩定的，將會給φF的控制律設計帶來很大方便，為此提出固定鴨舵雙旋彈絕對穩定性判據，表述如下：

(17)

式中：I為維數適當的單位矩陣。

(18)

由于始終滿足

(19)

展開(19)式，整理可得

(20)

計算可知

則有

(21)

由定理1可以看出，固定鴨舵雙旋彈的動態穩定性問題可以通過求解一個Riccati不等式(17)式來判別。根據Schur引理[23]，(17)式等價于如下矩陣不等式成立：

(22)

對定理1的結果可以作進一步轉化，為此引入由Scherer改進的界實引理[24]：

(23)

式中：s為Laplace算子。

(24)

定理2對于固定鴨舵雙旋彈，若飛行狀態矩陣A是穩定的且‖(sI-A)-1B‖∞<1，則在前體舵面控制滾轉角φF任意變化的情況下，固定鴨舵雙旋彈都絕對是動態穩定的。

根據飛行力學理論可知，當增大前體鴨舵的升力系數導數時，對應的俯仰力矩導數會相應增大，而由B矩陣的表達式可知，這會使‖(sI-A)-1B‖∞的數值增大，就越不容易滿足絕對穩定判據，對飛行穩定性帶來不利影響。

2.3 穩定因子和絕對穩定H∞范數

由定理2可知，固定鴨舵雙旋彈的絕對穩定條件要求A是穩定陣‖(sI-A)-1B‖∞<1，根據線性系統穩定性理論可知，如果狀態矩陣A的所有特征根具有負實部，則A是穩定的。

通過符號化求解，可得A的4個特征根為

(25)

(26)

(27)

(28)

式中：a=4M+H2-P2+4T(T-H)；b=2P(2T-H+2K)。

根據復數的平方根計算方法[25]，可以進一步對特征根的形式進行整理：當b≥0時，4個特征根可以表示為如下兩對共軛復根：

(29)

(30)

當b<0時，4個特征根可以表示為如下兩對共軛復根：

(31)

(32)

兩對共軛復根的實部取值也不同，分別為

(33)

(34)

定理3在前體舵面控制滾轉角φF任意變化的情況下，固定鴨舵雙旋彈絕對動態穩定的條件為：

1) 穩定因子λs<0；

2)絕對穩定H∞范數滿足Sa<1.

定理3可用于判斷具有固定鴨舵結構的尾翼穩定彈或者旋轉穩定彈。固定鴨舵雙旋彈的絕對穩定條件在形式上比無控彈穩定條件更加保守，無控狀態矩陣A穩定不一定能保證固定鴨舵雙旋彈的絕對穩定性，而固定鴨舵雙旋彈如果是絕對動態穩定的，則無控狀態矩陣A一定是穩定的。

3 仿真分析

采用某固定鴨舵155 mm榴彈的有關數據進行外彈道仿真分析，仿真用到的物理參數如表1所示，氣動力系數如表2所示，氣動力矩系數如表3所示。

表1 物理參數

仿真初始條件為：初速930 m/s，初始轉速1 885 rad/s，俯仰角初值θ0=45°，其余狀態初值為0，采用炮兵標準氣象條件進行仿真計算。

表2 氣動力系數

表3 氣動力矩系數

為了驗證絕對穩定性分析方法的有效性，生成前體鴨舵控制滾轉角的隨機指令曲線如圖2所示。外彈道仿真計算表明，全彈道穩定因子λs的變化曲線如圖3所示，可以看出始終滿足λs<0，意味著無控狀態矩陣A是穩定的。全彈道的絕對穩定H∞范數Sa變化曲線如圖4所示，可以看出始終滿足Sa<1. 同時滿足λs<0及Sa<1，意味著固定鴨舵雙旋彈在控制滾轉角φF任意變化情況下都是絕對動態穩定的。

圖2 鴨舵滾轉角曲線Fig.2 Curve of canard roll angle

圖3 穩定因子曲線Fig.3 Curve of stability factor

圖4 絕對穩定H∞范數曲線Fig.4 Curve of H∞ norm of absolute stability

繪制出固定鴨舵雙旋彈的攻角側滑角變化曲線如圖5所示，可見在固定鴨舵控制滾轉角隨機變化的作用下，彈丸始終是動態穩定的。

圖5 固定鴨舵雙旋彈攻角- 側滑角曲線Fig.5 Attack angle-slide angle curve of fixed canard dual-spin projectile

靶場的多次試驗結果表明，該雙旋彈在鴨舵滾轉角固定(φF為0°、90°、180°、-90°)和變化情況下，飛行過程都是動態穩定的，也進一步驗證了以上分析結論。

4 結論

本文建立了固定鴨舵雙旋彈在前體滾轉角控制作用下的6自由度外彈道模型，研究了滾轉角控制量任意變化時的動態穩定性問題。采用狀態空間模型及Lyaounov方法進行分析，最終給出了固定鴨舵雙旋彈的絕對穩定判據。所得主要結論如下：

1) 在固定鴨舵控制滾轉角任意時變的條件下，固定鴨舵雙旋彈的絕對穩定問題可以通過判斷1個Riccati形式的線性矩陣不等式是否成立來解決。

2) 要想充分保證固定鴨舵雙旋彈的動態穩定性，需要同時滿足穩定因子約束和絕對穩定H∞范數約束。

3) 固定鴨舵的升力系數導數數值增大時，會更不容易滿足絕對穩定判據。

4) 本文的絕對穩定性判據適用于鴨舵滾轉角任意時變的所有情況，鴨舵滾轉角保持常值時仍可使用，不過會有一定保守性。鴨舵的氣動系數CFL0、CFM0雖然沒有影響動態穩定性，但對追隨穩定性會產生影響，這都有待進一步研究。