摩擦對電動直線負載模擬器的影響及其抑制研究

潘衛東，范元勛，雷建杰,2，曹大偉，陸鵬程，徐志偉

(1.南京理工大學 機械工程學院, 江蘇 南京 210094； 2.上海機電工程研究所, 上海 201109；3.上海航天控制技術研究所, 上海 200233)

0 引言

電動直線負載模擬器(ELLS)，又稱為直線伺服加載系統，是硬件在環(HIL)實驗中不可或缺的仿真測試設備，廣泛應用于航空、航天與國防領域，主要用于電動直線舵機或者直線伺服機構的模擬加載測試，與傳統電液負載模擬器不同，ELLS采用永磁同步電機(PMSM)作為加載元件，具有噪聲小、控制簡單以及適應能力強等優點[1-2]。鑒于此，在某些中小型直線加載試驗場合，ELLS正逐漸取代傳統的電液負載模擬器。

與傳統的電液負載模擬器類似，ELLS除了有舵機運動擾動引起的多余力問題之外，其另一關鍵技術則是摩擦等非線性因素的抑制問題[3-6]。通過總結前人研究發現，摩擦對負載模擬器的影響會直接疊加在系統的干擾力矩上，且摩擦的存在會引起加載波形畸變、相位滯后、力死區、低速爬行以及極限環振蕩等現象。

在控制方法上，摩擦抑制主要分為兩種：一種為基于模型的補償策略，如王曉東等[7]采用靜態LuGre摩擦模型分析了摩擦對電液負載模擬器的影響，并建立了系統的摩擦模型，最終采用前饋方法實現了摩擦的補償抑制；姚建勇等[8]給出了系統最大動靜摩擦與轉角位置的關系，并建立了改進型LuGre摩擦模型，最終采用摩擦前饋策略實現了摩擦的抑制；文獻[9-10]也采用摩擦前饋策略實現了摩擦力矩的消除。另一種為不基于系統模型的摩擦消除策略，如周金柱等[11]針對伺服系統中存在的摩擦現象設計了一種積分反步自適應控制器來取代傳統的PID控制器，可消除摩擦所引起的系統誤差；另外基于非線性魯棒控制以及智能PID控制策略也相繼被國內外學者提出來，且都取得了較好的效果[12-15]。綜上所述，不基于系統模型方法主要對控制器進行改進來提高系統對非線性因素的免疫能力，其控制器設計與調參較為困難，難以保證抑制效果；基于模型的摩擦補償策略實現簡單，摩擦模型的精確獲取為其關鍵技術。

本文旨在解決ELLS中摩擦的抑制問題并進一步提高系統的加載精度,通過借鑒基于LuGre模型的直線位置伺服系統的摩擦前饋補償策略[16]，建立基于LuGre摩擦模型的系統非線性模型。通過仿真與實驗相結合的方法分析摩擦對系統造成的影響，并采用遺傳算法對系統中的摩擦參數進行離線辨識，采用摩擦前饋補償加變增益PID的方法來實現系統中摩擦力的抑制。最終，通過仿真與實驗驗證所提出控制策略的合理性與有效性。

1 系統非線性模型

如圖1所示為ELLS簡化結構圖，ELLS主要由工控機、運動控制器、PMSM驅動器、PMSM、轉矩傳感器、聯軸器以及滾珠絲杠組成，PMSM輸出的扭矩分別通過聯軸器與轉矩傳感器，最終通過滾珠絲杠并轉換為直線力對直線舵機進行加載；舵機系統主要由舵機驅動器及直線舵機組成。

圖1 耦合系統簡化結構圖Fig.1 Simplified structure of coupling system

1.1 ELLS數學模型

在對ELLS數學建模時，通常定義如下假設：

1)采用d-q軸系對PMSM進行建模，令d軸電流id=0 A.

2)為簡化分析，電機阻尼系數Bm一般為極小值，可將其簡化為0，建模時忽略電機驅動器參數波動以及不確定性因素對系統的影響。

3)忽略聯軸器、電機及滾珠絲杠內部的間隙。

根據ELLS的工作原理以及各部分傳動部件的機理模型(此處詳細建模將不再贅述，詳見文獻[17])，直接給出有摩擦力的ELLS表達式為

F=Gn1(s)Vi-Gn2(s)sL-Gn3(s)Tf,

(1)

Gn1(s)=

(2)

Gn2(s)=

(3)

(4)

式中：s為拉普拉斯算子；Gn1(s)為系統前向通道傳遞函數；Gn2(s)為擾動通道傳遞函數；Gn3(s)為摩擦力矩傳遞函數；Vi為控制輸入電壓；L為舵機位移擾動；Tf為折算后的摩擦轉矩；Kt為轉矩系數；KA為剛度系數；Kv為放大系數；Lm與Rm分別為電機等效電感與等效電阻；Jm為系統轉動慣量；Ke為反電動勢系數；p為滾珠絲杠導程。根據(1)式～(4)式，可得出系統的開環控制框圖如圖2所示，圖2中iq為q軸輸入電流，Te為電磁轉矩，Tl為負載轉矩，ωm為電機輸出轉速，θm為電機輸出角位移，θl為實際角位移，F為輸出力。

1.2 摩擦模型表述

LuGre摩擦模型于20世紀90年代提出，與傳統的摩擦模型相比，LuGre摩擦模型不僅考慮了摩擦的靜態特性(靜摩擦、Coulomb摩擦、黏滯摩擦等)，還體現了摩擦的動態特性，例如摩擦的突變、停止- 滑動等摩擦現象[17]。LuGre摩擦模型假設兩物體通過彈性鬃毛相接觸，并引入鬃毛變形量z來確定物體的摩擦狀態。本文將采用LuGre摩擦模型對ELLS系統中的摩擦進行建模，其一般表達式[18-19]為

(5)

σ0g(v)=Fc+(Fs-Fc)exp [-(v/vs)2],

(6)

(7)

式中：Fs為靜摩擦力；Fc為庫侖摩擦力；vs為Stribeck特征速度；σ2為黏性摩擦系數；σ0為鬃毛剛度；σ1為鬃毛阻尼系數；v為相對運行速度，在本系統中即為舵機運行速度；g(v)由能表征Stribeck效應的等式決定。當系統穩定運行在恒定速度時，可認為z為常數，結合(5)式可得

z=sgn (v)g(v).

(8)

綜合(6)式～(8)式，可得穩態的LuGre摩擦模型，其表述[7-8]與傳統的Stribeck模型相同：

(9)

2 摩擦對ELLS影響分析

在潤滑良好的條件下，如圖3所示為典型的摩擦效應曲線，其縱軸Ff為隨速度變化的摩擦力。由圖3中曲線可以看出：由于Stribeck效應，在低速運行時的摩擦力會反向增大；且當系統低速換向時，系統中的摩擦力會突然產生逆轉，其值在某一瞬間會達到最大靜摩擦力，進而使系統中產生較大力矩的波動。

圖3 摩擦效應曲線Fig.3 Friction effect curve

2.1 仿真分析

參考文獻[7]，選取一定的摩擦模型參數代入(9)式并將摩擦模型引入數學仿真軟件MATLAB/Simulink仿真模型中，對含有摩擦模型的ELLS模型進行Simulink仿真。仿真時，令舵機作幅值為1 mm、頻率為1 Hz(簡寫為1 mm/1 Hz)的正弦運動，ELLS同步跟蹤幅值為2 000 N、頻率為1 Hz (簡寫為2 000 N/1 Hz)的正弦加載信號，仿真時引入舵機位置擾動補償，得到仿真結果如圖4所示。

從圖4(a)中可看出，由于靜摩擦力的存在(見圖3中Fs)，當舵機速度減速至0 mm/s并反向啟動的瞬間，系統反向摩擦力突然增大，舵機在換向時的速度產生了波動。另外，從圖4(a)中可見，在t=0.25 s時(舵機換向時)，由于摩擦力的突變，使得力加載波形發生了明顯的畸變(波形抖動)，且系統加載曲線產生了較為明顯的相位滯后。

2.2 實驗分析

基于2.1節的仿真分析結果，為進一步探究摩擦對ELLS的影響，在未引入摩擦補償的ELLS實驗臺上進行實驗。為保證變量的單一性，同樣在系統中引入舵機位置擾動前饋補償，消除系統中多余力的影響，ELLS采用力閉環PID控制。實驗時，令舵機作1 mm/1 Hz的正弦運動，令ELLS進行2 000 N/1 Hz的同步加載，最終實驗結果如圖5所示。

圖5 實驗結果Fig.5 Experimental results

由圖5可以看出：ELLS加載力波形在波峰處出現了較為明顯的波形畸變現象，由于靜摩擦的存在，舵機在低速換向時，摩擦力突然反向增大，引起了ELLS系統中的力抖動；另外在波峰之后(舵機低速起步運行時)，加載波形還出現了相位滯后的現象，實驗結果與仿真分析較為一致。此時，系統在波峰波谷時刻的加載誤差幅值達到223.4 N，相位滯后最大處約為12.5°，加載精度相對較低。因此，有必要設計控制器來抑制摩擦對ELLS的影響。

3 控制器設計

3.1 摩擦模型參數辨識

LuGre摩擦模型主要有6個未知參數，其中靜態參數為Fs、Fc、vs、σ2，動態參數為σ0與σ1，靜態參數可通過舵機帶動系統作多組運動實驗進行檢測，動態參數可通過系統預滑階段的數據進行估算[18]。遺傳算法是通過模擬自然界的遺傳機制而產生的并行隨機搜索最優化方法，使用時不需要對象的模型信息，應用廣泛。因此，采用遺傳算法對本文所提出的摩擦模型參數進行離線參數辨識。

3.1.1 靜態參數辨識

由(9)式可知，穩態時速度與摩擦力的關系為

Fss=Tf(v)·(2π/p)=Fcsgn(v)+
(Fs-Fc)sgn(v)exp[-(v/vs)2]+σ2v，

(10)

式中：2π/p為轉矩與力的轉換系數。由(10)式可知，靜態參數主要有Fs、Fc、vs、σ2，因此，實驗時令舵機帶動ELLS作多組恒轉速運動，舵機運行穩定時讀取并記錄力傳感器的數值，則可以獲得系統的摩擦力與速度的關系。

采用遺傳算法對摩擦實驗數據進行離線參數辨識，可辨識出(10)式中的4個靜態參數。辨識時，設定需要進行辨識的參數向量W=[Fs,Fc,vs,σ2]，則定義的辨識誤差為

e(W,vi)=Fi-Fss(W,vi),

(11)

式中：vi為第i次對應的速度；Fi為第i次測得的摩擦力；Fss(W,vi)為估計的摩擦力，由(9)式得出。目標函數J為

(12)

辨識目標使上述的J趨向于0. 選取個體適應度函數

f(Xk)=J(Xk),k=1,2,…,N，

(13)

式中：Xk為個體；N為種群大小。采用隨機采樣方法作為選擇操作方法，變異操作采用高斯算子，并采用均勻交叉算子進行交叉操作，選擇種群大小N=100，最大迭代次數T=2 000，變異概率取Pm=0.01，交叉概率Pc=0.9. 此處給出遺傳算法辨識的基本流程圖如圖6所示。最終可以獲得靜態參數Fs、Fc、vs、σ2的值。

圖6 參數辨識流程圖Fig.6 Flow chart of parameter identification

3.1.2 動態參數辨識

動態參數為σ0與σ1，當舵機運行在預滑階段時，系統有z≈0、v≈0，可定義如下假設[20-21]：

dz≈dx，dz/dt≈dx/dt，

(14)

式中：x為位移。綜合(7)式與(14)式可得

(15)

對(15)式進行拉氏變換，可得

(16)

通過給舵機一個較小的運動幅值階躍信號，使整個系統處于預滑階段，此時通過系統辨識可得σ0與σ1的參數。

綜上所述，參數辨識結果如表1所示。

將上述數據擬合，可得辨識曲線(見圖7中實線)，由最終辨識結果可知，擬合后的曲線與原實驗曲線大體較為接近，最大誤差僅為1.3 N，參數辨識結果較理想。

表1 辨識參數表

圖7 摩擦力與速度關系Fig.7 Relation between friction and velocity

3.2 摩擦前饋補償

為簡化摩擦前饋補償控制器的設計，本文僅基于穩態LuGre摩擦模型Tf(v)來設計補償控制器，其表達式如(9)式所示，模型參數如表1所示。補償原理如圖8所示，圖8中F*為力指令。按照結構不變性原理，如果補償控制器Gc(s)滿足：

Gc(s)Gn1(s)=sTf(v)Gn3(s),

(17)

則摩擦對ELLS的力矩擾動可以完全消除。

綜合(2)式、(4)式和(9)式，可得

(18)

控制器可進一步簡化為

K1s2Tf(v)+K2sTf(v),

(19)

圖8 摩擦前饋與變增益PID原理圖Fig.8 Schematic diagram of friction feedforward compensation and variable gain PID

式中：K1=Lm/(KtKv)；K2=Rm/(KtKv). 由于K1為極小項，在實際工程使用中，通常省略第1項，則補償控制器可表示為

Gc(s)=K2sTf(v).

(20)

3.3 變增益PID控制器

為進一步抑制ELLS在系統低速運行時產生的加載波形相位滯后，本文還引入了變增益PID控制，其控制原理如圖8所示，變增益PID控制器中，KI為積分增益，KD為微分增益。由于摩擦在低速時對加載波形的影響較大，且易造成加載波形相位滯后，通常當系統運行速度較慢時適當增大PID控制器的KP以消除系統的誤差，反之則相應減小控制器的增益。這里可選擇下列公式來確定PID中KP與舵機運行速度v的關系

KP(v)=Ks+Ke-t|v|，

(21)

式中：KP(v)為隨v變化的比例增益；Ks為初始值；K為可變增益常數；t為時間常數，主要控制可變增益的衰減速度。

4 仿真分析

為驗證本文所提出算法的合理性，采用MATLAB/Simulink軟件搭建了含有摩擦的ELLS模型，并建立了本文所提出的控制器，此處給出ELLS相關仿真參數如表2所示。

表2 ELLS仿真參數

變增益PID控制參數為：KP=0.6+e-0.9v；KI=0.000 1；KD=0. 通過計算可以得到摩擦前饋補償參數為：Fs=39.8 N；Fc=21.9 N；vs=0.35 mm/s；σ2=1.9 N·s/mm；K2=1.5.

仿真時，加入舵機位置擾動前饋補償，以消除ELLS中的多余力。為觀察控制器效果及探究各控制器對系統的影響，設置如下4組對比仿真實驗方案：

方案1傳統PID控制；

方案2變增益PID控制；

方案3摩擦前饋與傳統PID控制；

方案4摩擦前饋與變增益PID控制。

令舵機作1 mm/1 Hz正弦運動，ELLS進行2 000 N/1 Hz的正弦同步加載，仿真結果如圖9所示。

圖9 仿真結果對比Fig.9 Comparison of simulated results

由圖9中對比仿真結果可知：由于摩擦的存在，方案1(傳統PID控制，見圖9(a))的ELLS加載曲線波峰處出現了較大的波動，且在低速段產生了一段相位滯后，相位滯后最大處可達10.6°，此時加載誤差幅值為195.4 N；方案2如圖9(b)所示，此時ELLS在低速時的相位滯后明顯減少，其值為5.8°，但波形抖動并未消除，需要進一步進行抑制；方案3中，在傳統PID控制中引入了摩擦前饋補償，如圖9(c)所示，此時系統在舵機換向時的抖動明顯被消除，且系統在低速時的相位滯后也在一定程度上得到了抑制；方案4將摩擦前饋與變增益PID進行了混合控制，其仿真結果如圖9(d)所示，可看出曲線波動被抑制，且系統相位滯后進一步降低，僅為3.4°，此時系統誤差幅值為42 N，與方案2、方案3相比，摩擦前饋與變增益PID混合控制策略能進一步抑制摩擦對ELLS的影響，提高加載精度。

5 實驗驗證

5.1 ELLS實驗平臺介紹

為驗證本文所提控制器在工程實際中的可行性與有效性，實驗室搭建了如圖10所示ELLS實驗平臺。實驗時，設計與第4節相同的4組對比實驗方案。

圖10 ELLS實驗平臺Fig.10 Experimental platform for ELLS

電機控制器采用美國NI公司生產的PXIe-8840RT型運動控制器，采用美國NI公司生產的PXIe-6341高速數據采集卡進行數據采集，其采樣率可達500 kS/s，電機為美國Kollmorgen公司生產的AKM53H-320VDC型PMSM，轉矩傳感器為美國Interface公司生產的的T3 50Nm型轉矩傳感器，采用美國Interface公司生產的的SSM 5KN型力傳感器對力進行實時采集，控制程序采用LabVIEW圖形化語言進行編寫，控制周期為0.1 ms.

5.2 同步加載實驗

由分析可知，摩擦在低速運行以及換向時對系統的影響較大。設計兩組動態實驗：1) 1 Hz同步加載實驗，令舵機作1 mm/1 Hz的正弦運動，同時令ELLS作2 000 N/1 Hz的同步正弦加載；2) 3 Hz同步加載實驗,令舵機作0.5 mm/3 Hz的正弦運動，同時令ELLS作2 000 N/3 Hz的同步正弦加載。實驗時為保證變量的單一性，加入舵機運動擾動補償，消除系統中的多余力[20]。

5.2.1 1 Hz同步加載實驗

令舵機作1 mm/1 Hz的正弦運動，同時令ELLS作2 000 N/1 Hz的同步正弦加載。最終實驗結果如圖11所示。

圖11 1 Hz同步加載實驗結果Fig.11 Synchronous loading experimental results at 1 Hz

由圖11可知：采用傳統PID控制ELLS加載波形波峰處(系統低速換向時)存在明顯的波形抖動現象(波形畸變)，且系統低速運行時的相位滯后較為明顯，最大處為12.5°，此時誤差幅值較大，系統加載精度較差；方案2實驗結果如圖11(b)所示，此時系統低速運行時的相位滯后被降至8.9°，系統誤差幅值為143.8 N，由于變增益PID在系統低速運行時誤差抑制作用較為明顯(低速時增益較大)，此時系統在低速時的滯后相對降低，但是波形抖動依然存在；圖11(c)為采用方案3的實驗結果，從實驗反饋曲線可以看出，由于摩擦補償可以反向抵消摩擦對系統的作用，此時系統在波峰處的波動減小，曲線趨于平滑，且此時系統在低速時的相位滯后相對減少，其值為9.6°，系統誤差幅值為153.7 N；方案4為在摩擦前饋的基礎上，進一步引入變增益PID的實驗結果，系統最大相位滯后僅為6.6°，系統最大誤差幅值僅為90.6 N，ELLS加載精度進一步提高。

5.2.2 3 Hz同步加載實驗

令舵機作0.5 mm/3 Hz的正弦運動，令ELLS作2 000 N/3 Hz的同步正弦加載。由于篇幅所限，此處僅對方案1與方案4進行實驗，實驗結果如圖12所示。

圖12 3 Hz同步加載實驗結果Fig.12 Synchronous loading experimental results at 3 Hz

如圖12(a)所示，僅采用PID控制(方案1)的ELLS加載曲線在力波峰處出現了較為明顯的抖動，另外，系統低速運行時摩擦造成的相位滯后也較為明顯，加載誤差幅值較大，相位誤差最大處可達14.3°；如圖12(b)所示，采用方案4的ELLS加載波形在波峰處的抖動明顯減少，其次，系統的最大相位誤差被減少至9.4°，誤差幅值明顯降低。通過兩次實驗對比，采用了摩擦前饋與變增益PID控制的ELLS加載精度進一步提升，能夠實現較高精度的力跟蹤。

6 結論

為進一步提高ELLS加載精度，本文針對ELLS中存在的摩擦現象進行了分析與研究。主要得出以下結論：

1)采用仿真與實驗的方法分析摩擦對ELLS加載精度的影響，分析結果說明摩擦會引起系統在低速換向時的加載波形抖動以及相位滯后。

2)為抑制摩擦對ELLS的影響，提出了摩擦前饋補償與變增益PID控制的混合控制方法，仿真證實了所提出控制策略的合理性，且實驗結果表明：與傳統PID控制相比，采用摩擦前饋與變增益PID混合控制的ELLS加載波形波峰處的抖動被抑制、加載誤差明顯減少，且相位滯后降低；該混合控制方法能夠較好地抑制摩擦在低速換向時對ELLS的影響，提高了系統加載精度。