有多少錯(cuò)可以重來

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)形結(jié)合是一種典型的幾何直觀方法。下面以數(shù)軸或絕對(duì)值為背景，對(duì)同學(xué)們出現(xiàn)的一些錯(cuò)誤進(jìn)行剖析。

例1 利用數(shù)軸可以解決生活中的實(shí)際問題：小英媽媽開車從家出發(fā)，向西開了500m，到健身館游泳，然后向西開了400m到超市買菜，又向東開了1km到小英學(xué)校接她放學(xué)。（1）請(qǐng)以小英家為原點(diǎn)，以向東方向?yàn)檎较?，?個(gè)單位長度表示100m，畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上標(biāo)出健身館、超市、學(xué)校、小英家。（2）小英家距超市多遠(yuǎn)？小英媽媽共行駛了多少m？

【錯(cuò)解】在第（2）問，有不少同學(xué)計(jì)算小英媽媽行駛的路程為：-500+（-400）+1000=100m。

【錯(cuò)解分析】本題要注意條件，題中的單位有m、km，首先要統(tǒng)一單位;這里向東為正，向西為負(fù)，所以“+”“-”只表示方向。一些同學(xué)在做題過程中，忘了路程不能為負(fù)數(shù)這一事實(shí)。小英媽媽行駛的路程應(yīng)該是所有路程的和。

【正解】（1）規(guī)定小英家為原點(diǎn)，向東的方向?yàn)檎蛭鳛樨?fù)，一個(gè)單位長度表示100m，畫出數(shù)軸如圖1。

圖1

（2）由圖可知：小英家距超市900m。根據(jù)絕對(duì)值的意義，列出算式：[-400]+[-500]+[1000]=500+400+1000=1900m。小英媽媽共行駛了1900m。

變式1 某出租車從停車場出發(fā)，沿著東西向的大街行駛。到晚上6時(shí)，出租車一天行駛記錄如下（向東記為正，向西記為負(fù)，單位：km）：+10、-3、+4、+2、+8、+5、-2、-8、

+12、-5、-7。（1）到晚上6時(shí)，出租車在什么位置？（2）若汽車每km耗0.2L油，則從停車場出發(fā)到晚上6時(shí)，出租車共耗油多少L？

參考答案：（1）出租車在停車場東面16km處;（2）出租車耗油13.2L。

例2 [4-1]表示4與1差的絕對(duì)值，也可以理解為4與1兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離;[4+1]可以看作[4--1]，表示4與-1的差的絕對(duì)值，也可以理解為4與-1兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離。請(qǐng)根據(jù)以上表述，計(jì)算：

（1）[4--1]= 。（2）[5+2]= 。（3）利用數(shù)軸找出所有符合條件的整數(shù)x，使得[x+3]=5，則x= 。（4）利用數(shù)軸找出所有符合條件的整數(shù)x，使得[x+3]+[x-2]=5，這樣的整數(shù)x是 。

【錯(cuò)解】（1）（2）較基礎(chǔ)，正確率較高。

（3）中，一些同學(xué)只得出x=2，漏解x=-8。

（4）中，同學(xué)們的錯(cuò)誤也是漏解，大多數(shù)同學(xué)會(huì)寫出x=0、-3、2。

【錯(cuò)解分析】（3）中，同學(xué)們習(xí)慣于2+3=5，而忽略絕對(duì)值的概念。實(shí)際去掉絕對(duì)值符號(hào)，得x+3=±5。（4）有一定的難度，同學(xué)們會(huì)湊答案，而不會(huì)去畫數(shù)軸，利用絕對(duì)值的幾何意義解決。

【正解】（1）5;（2）7。

（3）[x+3]=[x--3]=5，這可以理解為：到-3所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為5個(gè)單位長度的整數(shù)點(diǎn)有哪些？我們利用絕對(duì)值的幾何意義畫出圖2，從數(shù)軸上可直接得出，x=2或-8。

圖2

（4）我們可以這樣來變形：[x+3]+[x-2]=[x--3]+[x-2]=5，這可以理解為：到-3和2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和為5個(gè)單位長度的整數(shù)點(diǎn)有哪些？因?yàn)?3和2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離正好為5個(gè)單位長度，如圖3所示，在A、B兩點(diǎn)間的整數(shù)點(diǎn)有：A、C、D、O、E、B，都符合題意。所以符合題意的整數(shù)是：-3，-2，-1，0，1，2。

圖3

變式2 已知[x+3]+[x-2]=7，x是整數(shù)，則滿足該等式的x的值是。

【錯(cuò)解】x是4、-5。

【錯(cuò)解分析】設(shè)在數(shù)軸上，-3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A，2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為B，x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為D。一些同學(xué)沒有正確理解題意，誤認(rèn)為AB+BD=7，或者AB+AD=7，導(dǎo)致錯(cuò)解。

【正解】我們?cè)跀?shù)軸上把A、B兩點(diǎn)標(biāo)出來，然后分情況討論x。

（1）當(dāng)D點(diǎn)在線段AB內(nèi)部，即-3≤x≤2時(shí)，如圖4，AD+DB=5，不合題意，舍去。

圖4

（2）當(dāng)D點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)，即x>2時(shí)，如圖5。因?yàn)锳D+BD=7，即AB+2BD=7，又AB=5，所以BD=1。此時(shí)x=3。

圖5

（3）當(dāng)D點(diǎn)在A點(diǎn)左側(cè)，即x<-3時(shí)，如圖6。因?yàn)锳D+BD=7，即AB+2AD=7，又AB=5，所以AD=1。此時(shí)x=-4。

圖6

綜上，x的值是3、-4。

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)坂上初級(jí)中學(xué)）