基于微分方程的謠言傳播模型建立與分析

趙 敏, 陳文霞

(江蘇大學(xué) 理學(xué)院, 江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

隨著科技的迅猛發(fā)展,人與人之間的交流方式也產(chǎn)生著巨大變化.在線社交網(wǎng)絡(luò)作為一種新型社交方式,為人們的生活和工作帶來了極大的便利.然而,社交網(wǎng)絡(luò)對(duì)虛擬人群約束較少,會(huì)存在許多非真實(shí)或者未經(jīng)證實(shí)的消息,這就大大削弱了網(wǎng)絡(luò)中各類信息的安全性和確定性,給社會(huì)穩(wěn)定帶來了極大的危害.因此,如何更好地掌握謠言傳播機(jī)理、制定有效的謠言傳播控制策略并最大限度減低謠言帶來的危害,這些都是目前網(wǎng)絡(luò)輿情研究領(lǐng)域急需解決的問題.

基于數(shù)學(xué)模型研究謠言傳播機(jī)理已受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注.20世紀(jì)50年代,Landau等[1]首次提出了謠言傳播與傳染病傳播的相似性理論.1965年,Daley等[2]借助傳染病中“倉室”的思想,將謠言傳播系統(tǒng)中的人群分成未知謠言人群、謠言傳播人群及謠言免疫人群,并建立D-K模型,對(duì)謠言傳播機(jī)理進(jìn)行了初步研究.1973年,Maki等[3]在D-K模型的基礎(chǔ)上,考慮到謠言傳播之間相互接觸產(chǎn)生影響,建立了M-T數(shù)學(xué)模型.隨后許多學(xué)者對(duì)M-T模型進(jìn)行改進(jìn),提出了一系列謠言傳播模型[4-8].最近,余莎莎等[9]基于SIR模型的思想,考慮羊群效應(yīng)以及信息老化效應(yīng),建立新型SIR模型,將其應(yīng)用到商業(yè)謠言傳播研究中.Zhao等[10]等考慮到遺忘機(jī)制對(duì)謠言傳播的影響,建立了社交網(wǎng)絡(luò)謠言時(shí)空傳播SI模型,討論了模型平衡點(diǎn)的存在性、平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性與全局穩(wěn)定性等動(dòng)力學(xué)問題;Zhu等[11]提出了一類噪聲影響的謠言傳播模型,分析了該模型的穩(wěn)定性;Liu等[12]討論了無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上SEIR謠言傳播模型的全局動(dòng)力學(xué);樊重俊等[13]建立了應(yīng)急管理者對(duì)謠言傳播影響的SIM模型,討論了系統(tǒng)各類平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性;梁新嬡等[14]基于社交網(wǎng)絡(luò)中媒體對(duì)謠言影響情況,建立ISMR模型,并且指出在媒體澄清謠言之后,謠言傳播的衰減速度將會(huì)加快;趙洪涌等[15]建立了具有媒體報(bào)道效應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)謠言傳播模型,并分析了模型的穩(wěn)定性和媒體報(bào)道對(duì)網(wǎng)絡(luò)謠言傳播的影響;陳穎等[16]討論了網(wǎng)絡(luò)輿論危機(jī)與治理.然而,上述研究工作很少考慮媒體宣傳報(bào)道對(duì)謠言易感人群的影響.

基于以上分析,本文將考慮到官方媒體宣傳的因素,將社交網(wǎng)絡(luò)中的人群分為4類：未受官方媒體宣傳影響的易感人群、受到官方媒體宣傳的易感人群、謠言傳播者以及謠言免疫者.通過分析受到官方宣傳影響的易感者與未受到官方宣傳的易感者之間的差別,建立新的SuSeIR謠言傳播模型,用以研究具有媒體宣傳報(bào)道影響的謠言傳播機(jī)理問題.通過對(duì)所建模型各類平衡點(diǎn)穩(wěn)定性研究,對(duì)謠言未來發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)和研判.

1 模型建立

本文在SIR模型的基礎(chǔ)上,考慮易感人群對(duì)官方媒體宣傳報(bào)道的接收情況,將易感人群分為未受到官方媒體宣傳報(bào)道影響的易感者(其數(shù)量用Su表示)和受到官方媒體宣傳報(bào)道影響的易感者(其數(shù)量用Se表示),在此基礎(chǔ)上將社交網(wǎng)絡(luò)上的人群分成4類：未受到官方媒體宣傳報(bào)道影響的易感者Su；受到到官方媒體宣傳報(bào)道影響的易感者Se；謠言傳播者I,此類人會(huì)傳播謠言；謠言免疫者R,并且不再傳播謠言.謠言傳播過程如圖1所示.

圖 1 謠言傳播過程

基于此,關(guān)于上述SuSeIR模型作如下假設(shè)：

1) 進(jìn)入社交網(wǎng)絡(luò)的人群為易感人群;

2) 易感者是否會(huì)受到官方媒體報(bào)道影響,由受教育程度q決定,并且未受到官方宣傳影響的易感者數(shù)量與受教育程度成正比.假設(shè)進(jìn)入整個(gè)系統(tǒng)的人數(shù)為Λ,因此,進(jìn)入系統(tǒng)的人數(shù)中,將會(huì)有qΛ人變成未受到官方宣傳影響的易感人群,(1-q)Λ人將會(huì)變成受到官方媒體宣傳的易感人群;

3) 媒體宣傳程度的有效性σ會(huì)影響受官方媒體報(bào)道影響的易感人群變成傳播者;

4) 隨著時(shí)間的變化、社會(huì)認(rèn)知的影響等會(huì)有一定概率γ的未受到官方媒體宣傳報(bào)道影響的易感者、受到官方媒體報(bào)道的易感者、謠言傳播者以及謠言免疫者離開系統(tǒng);

5) 因自身意識(shí)等變化,有一定概率μ受到官方媒體報(bào)道影響者和謠言傳播者變成謠言免疫者.

下面根據(jù)圖1,對(duì)謠言傳播的規(guī)則進(jìn)行闡述：

1) 處在狀態(tài)Su的人群,接觸到謠言傳播者之后,以概率β變成謠言傳播者,根據(jù)假設(shè)2)和4),得狀態(tài)Su的人群單位時(shí)間的變化數(shù)量可表示成

qΛ-βSu(t)I(t)-γSu(t);

2) 處在狀態(tài)Se的人群,因受教育程度的限制,在媒體報(bào)道有效性的影響下,接觸到謠言傳播者之后以概率βσ變成謠言傳播者.由假設(shè)2)、4)、5),可以描述出單位時(shí)間Se數(shù)量變化表達(dá)式為

(1-q)Λ-βσSe(t)I(t)-γSe(t)-μSe(t);

3) 處在狀態(tài)I的人群,是由系統(tǒng)中狀態(tài)Su和狀態(tài)Sa的人群轉(zhuǎn)變而成,根據(jù)假設(shè)4)和假設(shè)5),可以得出單位時(shí)間謠言傳播者I的數(shù)量變化表達(dá)式為

βSu(t)I(t)+βσSe(t)I(t)-γI(t)-μI(t);

4) 根據(jù)假設(shè)4)和假設(shè)5)可知,單位時(shí)間內(nèi)處在R狀態(tài)的人群的數(shù)量變化表達(dá)式為

μSe(t)+μI(t)-γR(t).

基于微分方程建模思想,建立如下SuSeIR謠言傳播模型

(1)

2 謠言傳播模型動(dòng)力學(xué)分析

2.1 平衡點(diǎn)存在性和基本再生數(shù)系統(tǒng)(1)總是存在邊界平衡點(diǎn)

它表示網(wǎng)絡(luò)中無謠言傳播擴(kuò)散,亦稱為無謠言傳播平衡點(diǎn).

在邊界平衡點(diǎn)E0處,借助下一代矩陣的方法,求出

V=

進(jìn)一步計(jì)算可得基本再生數(shù)R0為

基本再生數(shù)R0=1下為謠言傳播閾值.當(dāng)R0<1時(shí),謠言逐漸消失,不會(huì)擴(kuò)散;當(dāng)R0>1時(shí),謠言會(huì)大范圍擴(kuò)散.

求得

令

求得

令

求得

而對(duì)于I*來說,滿足下面一元二次方程

AI(t)2+BI(t)+C=0,

(2)

其中

A=β2σ(γ+μ),

B=(γ+μ)2β+(γ+μ)γβσ-

β2qΛσ-β2σΛ(1-q),

C=γ(γ+μ)2-(γ+μ)βqΛ-βσΛ(1-q)γ.

于是,(2)式的解為

1) 當(dāng)R0<1時(shí),C>0,且

γ(γ+μ)2>βσΛγ(1-q),γ(γ+μ)>βqΛ,

所以

γ(γ+μ)2+(γ+μ)γ2σ-

βqγΛσ-β(1-q)γΛσ>0,

即B>0.此時(shí)系統(tǒng)全為負(fù)根.故正平衡點(diǎn)E1不存在,即不存在有信息平衡點(diǎn).

2) 當(dāng)R0=1時(shí),則C=0.通過簡單的計(jì)算可知B>0,即系統(tǒng)有一零根和負(fù)根.因此原系統(tǒng)不存在正平衡點(diǎn).

綜上,可得下面結(jié)論.

定理 1當(dāng)R0≤1時(shí),系統(tǒng)(1)不存在正平衡點(diǎn).

由于模型(1)前2個(gè)方程與變量R(t)無關(guān),所以下面僅需討論其等價(jià)系統(tǒng)

(3)

2.2 邊界平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

故其對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣為

J1=

求解得其特征根為

λ1=-γ,λ2=-γ-μ,

顯然,λ1,λ2<0,又由于R0<1,所以

γ(γ+μ)2>βqΛ(γ+μ)+γβσΛ.

因此

γ(γ+μ)2>βqΛ(γ+μ)+γβσΛ(1-q),

即

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

沿著系統(tǒng)(3)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)得

恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)

I=0時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)

由LaSalle不變?cè)碇?邊界平衡點(diǎn)E0全局吸引.綜合定理1可得結(jié)論成立.

注 1定理2和定理3說明隨著時(shí)間的推移,謠言不會(huì)大范圍擴(kuò)散,將逐漸消失.

2.3 正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

其對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣

J2=

其中

對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)

f(λ)=λ3+A1λ2+B1λ+C1,

其中

因?yàn)镮*>0,所以,A1>0,B1>0,C1>0.因此,特征方程的特征根全為負(fù).

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)得

γ+μ)Se(t)-(1-q)Λ)≤0.

當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)

注 2定理4和定理5說明隨著時(shí)間的推移,謠言將會(huì)大范圍擴(kuò)散.

3 數(shù)值仿真分析

例 1(邊界平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性) 在系統(tǒng)(1)中取q=0.5,Λ=0.2,β=0.15,γ=0.1,σ=0.05,μ=0.1.邊界平衡點(diǎn)E0(1,0.5,0,0.5),基本再生數(shù)R0=0.768<1.由定理1和定理2可知,E0全局漸近穩(wěn)定.使用Python軟件作出相圖,如圖2所示.圖2說明社交網(wǎng)絡(luò)中謠言傳播者最終消失,網(wǎng)絡(luò)中不存在謠言傳播現(xiàn)象.

例 2(正平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性) 在系統(tǒng)(1)中取q=0.5,Λ=0.5,β=0.2,γ=0.1,σ=0.05,μ=0.1.簡單計(jì)算可知,正平衡點(diǎn)E1=(0.940,1.200,0.829 8,2.030),且基本再生數(shù)R0=2.56>1,即定理4和定理5的條件成立,故E1全局漸近穩(wěn)定,如圖3所示.圖3表明,謠言在網(wǎng)絡(luò)中大范圍擴(kuò)散,給社會(huì)將帶來極大危害.

4 謠言傳播的控制策略

例 3(謠言傳播的控制策略1) 在系統(tǒng)(1)中,取參數(shù)q=0.5,Λ=0.5,γ=0.1,μ=0.1,σ=0.05,保持易感者變成謠言傳播者的概率β在[0.2,0.5]之間連續(xù)變化.使用Matlab軟件繪制出謠言傳播者數(shù)量隨參數(shù)β變化的曲線,如圖4所示.

圖 2 系統(tǒng)(1)邊界平衡點(diǎn)的全局漸進(jìn)穩(wěn)定性

從圖4中可以看出,當(dāng)β增加時(shí),謠言傳播者數(shù)量會(huì)增加,而β值減少時(shí),謠言傳播者數(shù)量會(huì)逐漸減少.因此,有關(guān)部門加大對(duì)謠言傳播危害的的宣傳報(bào)道,能有效地控制謠言傳播者數(shù)量,最終降低謠言傳播帶來的危害.

例 4(謠言傳播的控制策略2) 在系統(tǒng)(1)中,取參數(shù)q=0.1,Λ=0.5,β=0.2,γ=0.1,μ=0.1,并讓媒體宣傳有效性的參數(shù)σ在[0,0.5]內(nèi)連續(xù)變化,使用Matlab軟件,可以得到基本再生數(shù)R0隨σ變化的曲線,如圖5所示.從圖5可以看出,當(dāng)σ在一定范圍取值時(shí),基本再生數(shù)R0<1.適度的媒體宣傳報(bào)道有助于謠言停止傳播.當(dāng)σ大于一定值時(shí),基本再生數(shù)R0>1,此時(shí)謠言不會(huì)消失,將大范圍擴(kuò)散.這表明媒體的“過度”宣傳報(bào)道使得人群產(chǎn)生逆反心理,可能會(huì)增強(qiáng)對(duì)謠言的相信,使得謠言傳播者數(shù)量增加,有更多的人相信謠言,最終謠言不會(huì)消失.有關(guān)部門應(yīng)該控制媒體宣傳強(qiáng)度,使其處在適當(dāng)?shù)姆秶?保證最終謠言消失,降低對(duì)社會(huì)的危害.

圖 3 系統(tǒng)(1)正平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性

圖 4 謠言傳播者數(shù)量隨β值變化曲線

例 5(謠言傳播的控制策略3) 取參數(shù)q=0.6,γ=0.083,μ=0.1,σ=0.1,Λ=0.4,β=0.2,通過簡單的計(jì)算可得R0>1.根據(jù)定理4和定理5知,系統(tǒng)(1)的正平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定性的,如圖6(a)所示.進(jìn)一步,選取謠言傳播人群不同初值分別為：0.9、1.0、1.1、1.2、1.3、和1.4.圖6中(b)描述了不同初始條件下,謠言傳播人群數(shù)量的變化情況.該圖表明謠言傳播人群初始數(shù)量越小,謠言傳播者到達(dá)峰值也越小,越有益于謠言的控制.所在謠言傳播初期,宣傳和管理部門就應(yīng)該積極采取措施,控制謠言傳播人群的數(shù)量,降低謠言傳播帶來的危害.

圖 5 基本再生數(shù)數(shù)值隨σ變化的曲線圖

(a)

(b)

5 結(jié)論

本文考慮謠言傳播過程中官方媒體宣傳對(duì)謠言易感者的影響,將謠言易感者分成兩類,構(gòu)建了一類新的謠言傳播動(dòng)力學(xué)模型.該模型的理論分析仿真表明,媒體的適時(shí)宣傳報(bào)道,能降低謠言感染率,遏制謠言的傳播并最終消失.對(duì)于傳播閾值超過1的謠言,政府部分要重點(diǎn)監(jiān)控其發(fā)展?fàn)顩r,在謠言傳播的初期就進(jìn)行積極宣傳和引導(dǎo),控制謠言傳播者數(shù)量,把謠言事件的負(fù)面影響降到最低.