Gorenstein FPn-內射模和Gorenstein FPn-平坦模

陳 東, 胡 葵

(1. 成都大學 信息科學與工程學院, 四川 成都 610106; 2. 西南科技大學 理學院, 四川 綿陽 621010)

1 引言及預備知識

Gorenstein內射模和Gorenstein平坦模是Gorenstein同調理論中的基本研究對象,文獻[1-3]用FP-內射模代替內射模,引入了GorensteinFP-內射模和Ding內射模的概念.稱R-模M是GorensteinFP-內射模,如果存在FP-內射模Ii和Ii的正合列

…→I1→I0→I0→I1→…,

使得M?ker(I0→I0),且對任意的FP-內射模I,函子HomR(I,-)使上述正合列保持正合.稱R-模M是Ding內射模,如果存在內射模Ei和Ei的正合列

…→E1→E0→E0→E1→…,

Fn→Fn-1→…→F1→F0→N→0,

其中每個Fi是有限生成的自由模或投射模.容易看到,當R是Noether環時,FPn-內射模和內射模是一致的.相關概念參見文獻[4],不再贅述.

為討論方便,本文恒設R是交換環,所討論的環均指有單位元的結合環,模指酉模.用FIn表示FPn-內射模,⊥M表示M的左正交補,M+表示M的特征模HomZ(M,Q/Z).

2 主要結果

定義 11) 稱R-模M是GorensteinFPn-內射模,如果存在FPn-內射模Ei和Ei的正合列

…→E1→E0→E0→E1→…,

(1)

使得M?ker(E0→E0),且對任意的FPn-內射模I,函子HomR(I,-)使上述正合列保持正合.2) 稱R-模M是GorensteinFPn-平坦模,如果存在FPn-平坦模Fi和Fi的正合列

…→F1→F0→F0→F1→…,

(2)

使得M?ker(F0→F0),且對任意的FPn-內射模I,函子I?-使上述正合列保持正合.

定義 21) 稱R-模M是n-Ding內射模,如果存在內射模Ei和Ei的正合列

…→E1→E0→E0→E1→…,

使得M?ker(E0→E0),且對任意的FPn-內射模I,函子HomR(I,-)使上述正合列保持正合.2) 稱R-模M是n-Ding平坦模,如果存在平坦模Fi和Fi的正合列

…→F1→F0→F0→F1→…,

使得M?ker(F0→F0),且對任意的FPn-內射模I,函子I?-使上述正合列保持正合.

注 3由定義:

1) {內射模}?{FP-內射模}?{FPn-內射模}?{GorensteinFPn-內射模};

{平坦模}?{FPn-平坦模}?{GorensteinFPn-平坦模}.

2) GorensteinFP0-內射模是Gorenstein內射模,GorensteinFP1-內射模是GorensteinFP-內射模;GorensteinFP0-平坦模和GorensteinFP1-平坦模恰好是Gorenstein平坦模.

3) {n-Ding內射模}?{Gorenstein內射模},{n-Ding平坦模}?{Gorenstein平坦模}.

4) 正合列(1)和(2)中所有的像、核、上核都是GorensteinFPn-內射模(或GorensteinFPn-平坦模).

5) GorensteinFPn-內射模對直積、直和加項封閉;GorensteinFPn-平坦模對直和、直和加項封閉.

命題 4設M是GorensteinFPn-平坦模,則M+是GorensteinFPn-內射模.

證明由于M是GorensteinFPn-平坦模,故存在FPn-平坦模Fi和Fi的正合列

F=…→F1→F0→F0→F1→…,

使得M?ker(F0→F0),且對任意的FPn-內射模E,E?F是正合的.于是又有

(E?F)+=…→(E?F1)+→(E?F0)+→

(E?F0)+→(E?F1)+→…

(3)

是正合的.由于(Fi)+和(Fi)+是FPn-內射模,從而有

F+=…→(F1)+→(F0)+→

(F0)+→(F1)+→…

是FPn-內射模的正合列,且M+?ker((F0)+→(F0)+).另一方面,對正合列(3),由相伴同構定理知

…→HomR(E,(F1)+)→HomR(E,(F0)+)→

HomR(E,(F0)+)→HomR(E,(F1)+)→…

是正合的.因此,M+是GorensteinFPn-內射模.

文獻[7]中定義了R-模M的FP-內射維數

其中N是有限表現模}.

相應地,可以定義R-模M的FPn-內射維數

其中N是n-有限表現模}.

以下給出n-凝聚環上FPn-內射維數的一個刻畫:

命題 5設R是n-凝聚環,則M的FPn-內射維數FPn-idR(M)≤n,當且僅當存在正合列

0→M→E0→E1→…→En→0,

其中每個Ei是FPn-內射模.

命題 6設R是n-凝聚環,M是GorensteinFPn-內射模,則M的FPn-內射維數FPn-idR(M)等于0或∞.

證明設FPn-idR(M)=n<∞,由命題5,存在FPn-內射模的正合列

0→M→E0→E1→…→En→0.

從而又有短正合列:

0→M→E0→C0→0,

0→C0→E1→C1→0,

……

0→Cn-2→En-1→En→0,

由于M是GorensteinFPn-內射模,故對任意的FPn-內射模I,函子HomR(I,-)使上述所有正合列保持正合.因而有正合列

HomR(En,En-1)→HomR(En,En)→0.

于是該正合列分裂,故Cn-2是FPn-內射模.類似的方法如此下去,得到每個Ci都是FPn-內射模.由第一個短正合列,M是FPn-內射模.

文獻[1]證明了環R是Noether環當且僅當每個FP-內射模是Gorenstein內射模,當且僅當每個GorensteinFP-內射模是Gorenstein內射模.現用GorensteinFPn-內射模刻畫Noether環.

定理 7以下各條等價:

1)R是Noether環;

2) 每個FPn-內射模是Gorenstein內射模;

3) 每個FPn-內射模是n-Ding內射模;

4) 每個GorensteinFPn-內射模是Gorenstein內射模;

5) 每個GorensteinFPn-內射模是n-Ding內射模.

證明1)?3)?2),1)?4)?2)和1)?5)?3)顯然.

于是又有正合列

即

近年來,許多學者研究了Gorenstein同調模的結構.2010年,文獻[8]證明了若R是Gorenstein環且Krull維數有限,則每個Gorenstein內射模也可以分解為不可分解的Gorenstein內射模的直和.2018年,文獻[6]證明了一個局部2-強Gorenstein半單環R上每個R-模M都有分解M=R(I)⊕N,其中R(I)是秩為I的自由模,N滿足對任意x∈N,都有Ann(x)≠0,其中Ann(x)表示元素x的零化子.現討論n-凝聚環上GorensteinFPn-內射模的結構.

定理 8設R是n-凝聚環,M是GorensteinFPn-內射模,則有M?F⊕H,其中F是FPn-內射模,H是FIn-內射模.

證明由于M是GorensteinFPn-內射模,故存在M的全FPn-內射分解

…→E1→E0→E0→E1→…,

使得M?ker(E0→E0),且函子HomR(FIn,-)使上述正合列保持正合.取K=cok(M→E0),由于R是n-凝聚環,故由文獻[10],K有FPn-內射蓋g:G0→K,取M0=ker(G0→K).容易驗證g是滿射.由于M是GorensteinFPn-內射模,故對FPn-內射模G0,有正合列

HomR(G0,E0)→HomR(G0,K)→0.

于是存在以下行為正合列的交換圖:

注意到βγ是同構,故E0=ker(β)⊕Im(γ),因而Im(γ)?G0且ker(β)是FPn-內射模.另一方面,M0是FIn-內射模.由于σφ是同構,由引理5有M=ker(σ)⊕Im(φ),其中Im(φ)?M0.考慮以下交換圖:

因而有ker(σ)=ker(β).

由于1-凝聚環是凝聚環,容易得到以下結論.

推論 9[1]設R是凝聚環,M是GorensteinFP-內射模,則M?F⊕H,其中F是FP-內射模,H是FI-內射模.

證明設f0:E0→M是M的FPn-內射蓋,由于R是自FPn-內射的,因此f0是滿射.于是存在正合列

且對任意的FPn-內射模I,

HomR(I,E0)→HomR(I,M)→0

是正合的.對K0,又存在f1:E1→K0是K0的FPn-內射蓋,由于R是自FPn-內射的,因此f1也是滿射.于是又存在正合列

且對任意的FPn-內射模I,

HomR(I,E1)→HomR(I,K0)→0

是正合的.如此下去,可以構造M的左FPn-內射分解

…→E1→E0→M→0,

且對任意的FPn-內射模I,函子HomR(I,-)使上述正合列保持正合.

另一方面,取M的右內射分解

0→M→E0→E1→…,

綜上,存在M的全FPn-內射分解

…→E1→E0→E0→E1→…,

使得M?ker(E0→E0),且對任意的FPn-內射模I,函子HomR(I,-)使上述正合列保持正合.

推論 11[11]設R是QF環,則每個R-模M是Gorenstein內射模.

環R稱為n-FC環,若R是凝聚環,且R的自FP-內射維數小于等于n(FP-idRR≤n).特別地,0-FC環稱為FC環,FC環也是IF環.

推論 12[1]設R是完全的FC環,則每個R-模M是GorensteinFP-內射模.

致謝成都大學青年基金(2018XZA08)對本文給予了資助，謹致謝意.