(2+1)維廣義耗散Ablowitz-Kaup-Newell-Segur方程的行波解分岔

周鈺謙, 范飛廷, 劉 倩

(1. 電子科技大學 數學科學學院, 四川 成都 611731； 2. 成都信息工程大學 應用數學學院, 四川 成都 610225； 3. 西南民族大學 計算機科學與技術學院, 四川 成都 610041)

在20世紀70年代早期,受非線性光學應用的推動,Ablowitz、Kaup、Newell和Segur在廣義Zakharov-Shabat譜問題的基礎上推導出了一組Ablowitz-Kaup-Newell-Segur(AKNS)方程[1-4].這組AKNS方程可以簡化為一些眾所周知的非線性演化方程,如KdV方程、mKdV方程、非線性薛定諤方程和sine-Gordon 方程等,因此它們在物理學和其他非線性科學上有著極其廣泛的應用.已經開發了多種方法以獲得AKNS方程的顯示解,例如逆散射變換[4]、B?cklund 變換[5]、Darboux變換[6]和Lie群方法[7].

本文考慮如下(2+1)維廣義耗散AKNS方程[8]

λuxt+αuxuxy+βuxxuy+

uxxxy+μuxx=0,

(1)

其中λ、α和β均為非零實常數,而系數μ≠0表示系統(1)具有耗散效應[9].事實上,當固定系統(1)中一個或多個系數時,現有文獻已經使用了多種方法以獲得對應系統行波解的精確表達式,例如改進的tanh法[10]、 簡化的Hirota雙線性法[11]、修訂的擴展同宿測試法(mEHTA)[12]、 二元貝爾多項式法[13]、 擴展的輔助方程法[14]、Hirota雙線性法[15]、雙線性B?cklund變換[16]、ansatz 法[17]、(G′/G)擴展法[18]、 簡單方程法(SEM)和修正的簡單方程法(MSEM)[19].

本文的興趣在于采用動力系統分岔法獲得(2+1)維廣義耗散AKNS方程更具一般形式的行波解的精確表達式.所獲得的精確解不僅在物理科學中有著非常重要的作用,也有助于進一步了解該模型所描述的物理現象.據查文獻,在以前的工作中還沒有使用過該方法對系統(1)進行研究.不同于其他的直接方法,動力系統分岔方法可以清楚地解釋當參數發生改變時這些解是如何演化的.事實上,這種方法已經被廣泛地運用到多種不同的方程中[20-24].

1 (2+1)維廣義耗散AKNS方程行波系統的分岔

令u(x,y,t)=u(ξ),ξ=x+ay-ct,系統(1)可化為如下相應的行波系統

(μ-cλ)u″+

(aα+aβ)u′u″+au″″=0,

(2)

其中e是積分常數.令u′=v,則有

(3)

顯然(3)式中的第二個式子不含函數u,則可先從(3)式的第二個式子的流形開始分析,進而可將其重寫成如下等價的動力系統

(4)

通過計算可得它的能量函數為

(5)

接下來,研究系統(4)的平衡點的分類和性質.

定理 1若α+β≠0,當

(μ-cλ)2+2ae(α+β)>0

時,系統(4)有2個平衡點

為中心，

為鞍點；當

(μ-cλ)2+2ae(α+β)=0

(μ-cλ)2+2ae(α+β)<0

a(μ-cλ)>0

時,B為中心；當

a(μ-cλ)<0

時,B為鞍點.

若α+β=0且μ-cλ=0,當且僅當e=0時系統(4)有且僅有一個退化的平衡點E(0,0),否則沒有平衡點.記M(v,y)是系統(4)在點(v,y)處的線性化系統的系數矩陣,則有

于是

根據Hamilton系統的理論[25]可知A是中心,B是鞍點.

即說明C是一個退化的平衡點.為了進一步判斷它的類型,做如下同胚變換

可將系統(4)轉化為它的一般形式

根據文獻[26]第二章第七節的相關結論可知,此時k=2,bn=0,即說明C是尖點.

當(μ-cλ)2+2ae(α+β)<0時,系統(4)沒有平衡點.

類似的分析可用來證明其余2種情況,這里為了簡潔,不再贅述.

基于上述對系統(4)的平衡點的分析,得到如下結果：

情形1考慮α+β≠0且

(μ-cλ)2+2ae(α+β)>0.

此時存在一條連接著鞍點B的同宿軌γ,而中心A周圍有一簇周期軌

Γ(h)={H(u,y)=h,h∈(Q1,Q2)},

其中

當h→Q1時,Γ(h)趨向于中心A；當h→Q2時,Γ(h)趨向于同宿軌γ,如圖1(a).

情形2考慮α+β≠0且

(μ-cλ)2+2ae(α+β)=0,

情形3考慮α+β≠0且

(μ-cλ)2+2ae(α+β)<0,

系統(4)只存在無界軌道,如圖1(c).

情形4考慮α+β=0且μ-cλ≠0,若

a(μ-cλ)>0,

則系統(4)全是周期軌(如圖2(a))；若

a(μ-cλ)<0,

則系統(4)不存在有界軌道,如圖2(b).

情形5考慮α+β=0且μ-cλ=0,方程(4)全為無界軌道(如圖3).

2 (2+1)維廣義耗散AKNS方程的精確行波解

根據在第一節中的分析,下面考察系統(4)的所有有界行波,主要存在于情形1(如圖1(a))和情形4(如圖3(a))中.通過計算橢圓積分,最終給出系統(1)所對應的行波解的精確表達式.

(I) 首先考察情形1中的所有有界軌道,如圖1(a)中的軌道γ和Γ,其中γ是系統(4)的同宿軌,Γ是系統(4)中的任一條周期軌.此時α+β>0且(μ-cλ)2+2ae(α+β)>0,則由(5)式可將同宿軌如下表出:

其中

且滿足關系r1

通過直接計算可得系統(4)的孤波解為

v1(ξ)=r1+

-∞<ξ<+∞.

注意到,當ξ<0時,

這說明v1(ξ)在ξ<0時和ξ>0時有著相同的表達式,于是可以將v1(ξ)簡化成

v1(ξ)=r1+

-∞<ξ<+∞.

進而,可以由(3)式得到系統(1)的第一個精確行波解

u1(ξ)=r1ξ-

-∞<ξ<+∞,

其中C1是積分常數.特別地,當r1=0時,系統(1)的這類行波將退化成扭波.

同理可由(5)式將圖1(a)中的任一條閉軌統一表示為

其中實數r3、r4和r5滿足關系r3

0<ξ

通過計算復雜的橢圓積分得系統(4)的周期波解

v2(ξ)=r3+

-T<ξ

v2(ξ)=r3+

-T<ξ

于是由(3)式的第一個表達式,系統(1)的第二個行波解的精確表達式為

-T<ξ

此外,當α+β<0且(μ-cλ)2+2ae(α+β)>0時,對系統(4)所對應的有界軌道的討論類似,為了簡潔,這里不再贅述.

(II) 考察情形4中的所有有界軌道,如圖2(a),此時α+β=0且a(μ-cλ)>0,行波系統(4)全為周期軌，則其中任一條軌道可被統一表示成

其中實數r6和r7滿足關系r6

假設閉軌的周期為2T,并令v(0)=r6,則有

0<ξ

-T<ξ<0.

通過計算得系統(4)的周期波解

v3(ξ)=

-T<ξ

由余弦函數的奇偶性可得

-T<ξ

進而,由(3)式可計算出系統(1)的第三個行波解

其中C2是積分常數.