復合制導空空導彈截獲概率模型仿真

(1. 海軍航空大學， 山東煙臺 264001； 2. 海軍航空大學青島校區， 山東青島 266041；3. 中國人民解放軍92571部隊， 海南三亞 572000)

0 引言

中遠距空空導彈的典型制導模式是復合制導，導彈采用捷聯慣導加無線電指令修正中制導和主動雷達末制導的復合制導體制。在中末制導交接過程中，導彈可靠截獲目標是導彈擊中目標的前提和關鍵，因此，導彈截獲概率是一個重要設計指標。文獻[1]利用蒙特卡羅法對協同制導條件下的目標截獲概率進行研究分析。蒙特卡羅法通過對模型進行大量仿真運用統計分析法計算目標截獲概率，此方法的缺點在于需要完整的仿真模型和巨大的計算量。對此，文獻[2]分析了影響截獲概率的主要誤差源，將各誤差考慮為正態分布，給出了導彈截獲概率計算模型。文獻[3]將各誤差轉化為導彈位置散布和偏差，最終通過解算可截獲目標的導彈分布區域與實際分布區域的相交面積完成截獲概率計算。文獻[4]從純理論角度建立了截獲概率計算模型，并利用所建模型分析了誤差因素影響權重。

以上文獻在計算主動雷達型空空導彈截獲概率時，未考慮在導彈中末制導交接過程中，導引頭開機預置天線角度與導彈允許截獲并不在同一時刻，因此計算結果不可避免地包含了此段時間間隔造成的誤差。因此，本文針對這一問題建立了一種截獲概率估算模型，以期獲得準確性更高的截獲概率估算結果。

1 中末制導交接分析

在主動雷達型空空導彈的中制導段[6]，載機每隔一段時間便通過數據鏈將目標運動參數發送給導彈。在兩組數據鏈周期間隔內，導彈對目標位置進行線性外推，并加上載機在上一數據鏈周期發送的目標加速度補償。假設載機數據鏈周期為D(D的單位為秒/幀)，導彈在t1時刻接收到一組目標指示信息(t1=k×D，k∈z)；之后在t2時刻(t2-t1

(1)

圖1中，M1為t1時刻導彈的定位位置；T1為t1時刻目標的指示位置；M2為t2時刻導彈的定位位置；T2為t2時刻目標的指示位置；Te為t2時刻導引頭天線角度預置方向；M3為t3時刻導彈的定位位置；T3為t3時刻目標的指示位置；M3r為t3時刻導彈的真實位置，T3r為t3時刻目標的真實位置；ε為t3時刻導引頭天線與真實彈目連線的夾角。以上位置、角度信息均為彈載慣性系下的坐標信息。

圖1 中末交接流程示意圖

t3時刻，若目標落入導引頭視場角內，彈目真實距離達到允許截獲距離，同時彈目真實接近速度對應的多普勒頻率落入導引頭多普勒濾波器的帶寬內，則導引頭可截獲目標。即可靠截獲需要滿足距離、角度、速度截獲。設其三者為Px，Pa，Pv，則截獲概率P為

P=Px×Pa×Pv

(2)

本文主要研究距離與角度截獲，令

(3)

式中，Lmax為導引頭截獲距離，α為導引頭開機視場角。其中，

(4)

式中，TRCS為目標的雷達反射面積，L0為當目標雷達反射面積等于TRCS 0時的截獲距離。在當前的技術參數中，TRCS 0=5 m2。

2 截獲概率模型建立

2.1 主要誤差源分析

根據中末制導交接的信息處理流程，影響截獲概率的主要誤差源有[7]：載機與導彈傳遞對準誤差；目標機動誤差；導彈外推導致目標位置估計誤差；載機雷達指示誤差；導彈空間定位誤差。

在當前研究中，普遍認為導彈和目標在空間中服從正態分布，因此對分布的特征值展開研究。1)、2)誤差會引起目標指示位置偏差，3)誤差會引起目標指示位置散布，4)誤差會引起導彈定位位置散布。

1) 載機與導彈傳遞對準誤差

彈載捷聯慣導的初始化在導彈發射前，由載機對其裝訂。初始對準誤差使載機與導彈的慣性系不完全一致，因此目標指示存在偏差。

(5)

式中，

(6)

2)目標機動和導彈外推導致目標位置估計誤差

在兩組數據鏈周期間隔內，目標作逃逸機動，導彈對目標位置進行線性外推，并加上載機在上一數據鏈周期發送的目標加速度補償，因此對目標位置估計存在偏差。

如圖2所示，目標在A點速度矢量為VT，加速度矢量為aT，此時目標在VT，aT平面內做過載為|aT|的盤旋機動。而載機根據前期數據計算的目標加速度補償為a補，則Δt時間后，導彈估計目標運動至C點，實際導彈運動至B點。

圖2 導彈外推誤差示意圖

設旋轉軸k為垂直于VT,aT且過A點的單位向量，可表示為

(7)

向量AO可表示為

(8)

(9)

式中，

(10)

式中，E為三階單位矩陣。

因此，可求得向量CB為

(11)

3) 載機雷達指示誤差

載機雷達指示誤差引起的目標指示位置散布服從三維正態分布，其概率密度可寫為

(12)

4) 導彈空間定位誤差

導彈空間定位誤差來源于由陀螺誤差與加速度計誤差，引起的導彈定位位置散布服從正態分布，其概率密度可寫為

(13)

式中：XM為彈載慣性系下坐標原點至導彈定位位置點的向量；μM為導彈在彈載慣性系下的定位位置散布中心，μM=Mr，Mr為導彈在彈載慣性系下的真實位置；BM為導彈定位位置的誤差協方差矩陣，由彈載捷聯慣導系統性能決定。

2.2 截獲概率模型

根據2.1節分析，t3時刻，目標指示位置T3在彈載慣性系下的分布概率密度為

(14)

式中，μT3為t3時刻目標在彈載慣性系下的指示位置散布中心，BT3為t3時刻目標指示位置的誤差協方差矩陣。

因為在(t1，t3)時間內導彈對目標位置進行外推，所以

(15)

式中，T3r為t3時刻目標在彈載慣性系下的真實位置；ΔX3根據式(7)、(8)、(9)、(10)、(11)求得，計算過程代入t1時刻載機測量的目標速度VT1和加速度aT1，t1時刻載機計算的目標加速度補償ae1以及t1至t3時刻的時間間隔t3-t1；BT3為t3時刻目標指示位置的誤差協方差矩陣。

t3時刻，導彈定位位置M3在彈載慣性系下的分布概率密度為

(16)

式中：μM3為導彈在彈載慣性系下的定位位置散布中心，μM3=M3r，M3r為導彈在彈載慣性系下的真實位置；BM3為導彈定位位置的誤差協方差矩陣。

根據正態分布的性質，導彈和目標在彈載慣性系下的相對指示位置分布概率密度為

(17)

式中，

(18)

在實際飛行中，t3時刻導彈在已知彈目相對指示位置MT3的情況下進行截獲，此時可反向考慮彈目實際相對位置的分布：

(19)

式中，

(20)

t3時刻，導引頭天線與真實彈目連線的夾角ε為

(21)

則截獲概率的表達式為

(22)

式(22)無法求解出解析表達式，可通過仿真軟件生成n組服從式(19)分布的隨機數據，并求出數組中滿足條件的數據個數，用其在數組長度中的占比代替Px。

3 截獲概率模型應用

3.1 誤差估計

1) 載機雷達指示誤差估計

載機雷達通過探測與目標的距離和方位角確定目標位置參數，目標在nf系下的坐標可表示為

(23)

式中，L為載機雷達與目標的探測距離，H為載機雷達高度探測值，θ為目標俯仰角探測值，φ為目標方位角探測值。

設雷達測距精度為δL(1σ)，測高精度為δh(1σ)，測角精度為δα(1σ)，則估算目標指示位置的誤差協方差矩陣為

(24)

2) 時間間隔估計

導彈在t2s判斷將要進入截獲距離，設載機數據鏈周期為D，則估算t2-t1服從[0,D]均勻分布。t3時刻進行導引頭天線角度預置，估算t2服從[1,2]均勻分布。

3) 傳遞對準誤差估計

根據文獻[8]，估計ψE=ψN=ψU=5′。

4) 導彈空間定位誤差估計

因為慣導誤差具有累積效應，所以誤差方差隨著時間增大。設導彈單位時間內定位精度為σMi(1σ)，則估算導彈定位位置的誤差協方差矩陣為

(25)

根據文獻[9]，設σMi=0.35 m/s。

3.2 截獲概率估算模型使用方法

建立彈道模型，并嵌入本文所建的截獲概率估算模型。計算過程為：①在t3時刻，讀入計算式(19)、(21)所需的導彈飛行實時探測數據以及3.1節的估算數據；②按式(24)、(25)計算BT3，BM3，并在此基礎上計算BMT3；③按式(19)計算μMT3r，BMT3r；④按式(22)計算截獲概率Px。

4 仿真分析

4.1 截獲模型估算精度分析

以某型空空導彈為例，引入其仿真參數。條件為：設目標的雷達反射面積為5 m2，導引頭視場角α設為10°。在中制導初始時刻，載機在慣性系中的坐標為(0 m,15 000 m,0 m)，目標在慣性系中的坐標為(50 000 m,15 000 m,1 000 m)，飛行速度均在對應高度的1.1 Ma；導彈在慣性系中的坐標為(1 200 m,15 000 m,0 m)，飛行速度在對應高度的1.8 Ma；導彈初始彈道傾角與彈道偏角均設為0；飛行過程中，載機在與導彈通信范圍內飛行，目標作4g逃逸機動；數據鏈周期D設為1 s；仿真步長為0.1 s；計算式(22)時取n=100 000。

在10次彈道計算中，得到數據如表1所示。

表1 導引頭開機時彈道計算數據

注:αMT表示預置角在彈載慣性系下與各坐標軸的夾角。

采用蒙特卡羅法進行彈道仿真求取導彈截獲概率，為得到與表1同等數量級的計算結果，進行100 000次彈道仿真，仿真求得的截獲概率為99.472%。

圖3所示是使用蒙特卡羅法仿真得到的結果與表1數據的對比，觀察可得，本文所建模型的仿真計算結果較為均勻地分布在蒙特卡羅法計算結果兩側，且二者殘差數量級在10-3以內，因此可認為模型計算準確性達到工程計算要求。

圖3 蒙特卡羅法與模型計算結果對比圖

在仿真過程中插入測試程序運行時間指令可得，本文所建模型進行一次仿真平均耗時約為2.43 s，而進行100 000次蒙特卡羅仿真需耗時48 376 s，約為13.44 h，可見本文建立的模型在運行時間上的優越性。文獻[3]建立了一種概率估算模型并利用蒙特卡羅法進行驗證，文中截獲概率估算結果與蒙特卡羅法計算結果殘差數量級為10-2，對比本文截獲概率估算結果與蒙特卡羅法計算結果殘差數量級，可認為本文所建模型的仿真計算結果具有更高的精度。

4.2 影響截獲概率因素分析

采用本文所建模型對影響截獲概率的誤差因素展開研究，以4.1節仿真條件作仿真參數基準值，在對某一項誤差因素進行研究時，單一改變該誤差因素值，其余誤差因素沿用參數基準值。具體研究方法為：設某誤差因素參數基準值為x，依次設置誤差因素參數值為x，1.5x，2x直至10x，共進行19組仿真實驗。

1) 測距精度δL與截獲概率關系分析

如圖4所示，當δL增大時，導彈截獲概率隨之提升。當δL在400 m至1 400 m時，測距精度對導彈截獲概率的影響很小，截獲概率下降幅度不足0.5%；當δL從1 600 m增大至2 200 m時，導彈截獲概率開始緩慢下降，但下降速度逐漸增大；當δL從2 400 m增大至4 000 m時，導彈截獲概率下降速度最快，大致呈線性變化。

圖4 測距精度與截獲概率關系圖

2) 測角精度δα與截獲概率關系分析

如圖5所示，當δα增大時，導彈截獲概率隨之下降。當δα在0.004 rad至0.008 rad時，導彈截獲概率開始緩慢下降；當δα從0.01 rad增大至0.02 rad時，導彈截獲概率下降速度最快，大致呈線性變化，從89.731%下降至57.135%；當δα從0.022 rad增大至0.04 rad時，導彈截獲概率繼續下降，但下降速率持續變緩。

圖5 測角精度與截獲概率關系圖

3) 測高精度δh與截獲概率關系分析

如圖6所示，當δh增大時，導彈截獲概率隨之下降。當δh在100 m至350 m時，測高精度對導彈截獲概率的影響很小，截獲概率緩慢下降；當δh從400 m增大至700 m時，導彈截獲概率下降速率持續增大；當δh從750 m繼續增大至1 000 m時，導彈截獲概率下降速率變緩，最終跌至81.867%。

圖6 測高精度與截獲概率關系圖

4) 數據鏈周期D與截獲概率關系分析

如圖7所示，當D增大時，導彈截獲概率隨之下降。當D在1 s至5 s時，導彈截獲概率迅速下降，且下降速率持續增大；當D從5 s繼續增大時，導彈截獲概率經過略微緩沖后跌至0。

圖7 數據鏈周期與截獲概率關系圖

將各仿真結果間在橫向上進行對比，顯然，數據鏈周期以及測角精度對截獲概率的影響最為顯著。

5 結束語

本文在研究復合制導空空導彈截獲概率過程中，考慮了導引頭預置天線角度與導彈允許截獲不在同一時刻問題，根據導彈截獲目標算法，分析了截獲流程與截獲條件，建立了截獲概率估算模型。仿真結果表明，此模型可在一次彈道計算中解算導彈截獲概率，大大減少了蒙特卡羅法的計算量，縮短計算時間，且計算精度較目前已有文獻高。采用控制變量法對影響截獲概率因素進行分析，仿真結果表明載機數據鏈周期和測角精度對導彈截獲概率影響最為顯著。