妙求等差乘等比型數列和

河南省平頂山市第一高級中學 李偉鋒

羅增儒教授在《數學解題學引論》一書中提出，我們探討解題方法的實質，就是要透過機械操作的形式去弄清每一個解題方法與什么樣的數學知識相聯系，與什么樣的數學方法相結合。簡而言之，數學方法應重在理解，重在理解本質。等差乘等比型數列求和問題通常用錯位相減法來解決，倘若我們能從問題的根源入手，解決這些問題就水到渠成。

一、錯位相減法

將一個數列的每一項都作相同的變換，然后將得到的新數列錯一個位置與原數列的各項相減，這是仿照推導等比數列前n項和公式的方法。運用錯位相減法求數列的前n項和適用的情況：當數列通項由兩項的乘積組成，其中一項是等差數列，另一項是等比數列。

例1(2019 年福州模擬卷)已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn=2an-1。

(1)證明：數列{an}是等比數列；

(2)設bn=(2n-1)an，求數列{bn}的前n項和Tn。

解析：(1)當n=1 時，a1=S1=2a1-1，解得a1=1。

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)，解得an=2an-1。

所以數列{an}是以1 為首項，2 為公比的等比數列。

(2)由(1)知，an=2n-1，所以bn=(2n-1)×2n-1。

因此，Tn=1+3×2+5×22+…+(2n-3)×2n-2+(2n-1)×2n-1。①

2Tn=1×2+3×22+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n。②

所以Tn=(2n-3)×2n+3。

點評：設數列{an}為等比數列，數列{bn}是等差數列，則求數列{anbn}的前n項和Sn可用錯位相減法。一般是和式兩邊同乘以等比數列{bn}的公比，然后作差求解，但需要注意“同類項”要對齊，以便求差，而且應用時要注意q≠1這個條件。

練習1：已知等差數列{an}滿足a2=0，

a6+a8=-10。

(1)求數列{an}的通項公式；

解析：(1)設等差數列{an}的公差為d，由已知條件可得解得

故數列{an}的通項公式為an=2-n。

所以當n＞1 時，以上兩式相減得

S1=1，也滿足

二、裂項相消法

等差乘等比型數列的求和，也可以利用裂項相消法，將其通項拆成兩個等差乘等比型數列的差，再疊加求和。

例2設數列{an}的前n項和為Sn，且2Sn=3an-1。

(1)求數列{an}的通項公式；

解析：(1)由2Sn=3an-1①，得：

2Sn-1=3an-1-1(n≥2)。②

①-②，得2an=3an-3an-1，故3(n≥2)。

又2S1=3a1-1，則a1=1。

對楚艷來說，APEC會議領導人的服裝設計，是她職業生涯中一次全新的起點，又是其品牌風格的某種延續，更秉承了她極力推廣的中式審美意趣和傳統手工藝的創新設計。她希望，未來有更多人愛上新中裝，也期待，有一天新中裝不再成為新聞關鍵詞，而是被每個人優雅地穿在身上。

故{an}是首項為1，公比為3 的等比數列，an=3n-1。

點評：裂項相消法的關鍵是將通項拆成兩個等差乘等比型數列的差。

三、待定系數法

若數列{cn}的通項公式為cn=an·bn，其中數列{an}是公差為d的等差數列，數列{bn}是公比為q(q≠1)的等比數列，則數列{cn}的前n項和的形式是Sn=(An+B)qn-B。

例3已知數列|an|的前n項和Sn=kcn-k(其中c，k為常數)，且a2=4，a6=8a3。

(1)求an的表達式；

(2)求數列{nan}的前n項和Tn。

解析：(1)當n＞1 時，an=Sn-Sn-1=k(cn-cn-1)。

當n=1時，a1=S1=2，也滿足上式。

綜上所述，an=2n(n∈N*)。

(2)由nan=n2n，可設Tn=(An+B)×2n-B。

因為T1=2，T2=10，所以解得A=2，B=-2。

所以Tn=2+(n-1)2n+1。

點評：本題是等差乘等比型數列的求和型問題。利用待定系數法，必須熟悉數列{cn}的前n項和的形式是Sn=(An+B)qn-B，再利用前兩項代入，即可求得結論。利用錯位相減法如下：由nan=n·2n，則Tn=2+2·22+3·23+…+n·2n(1)，2Tn=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)2n+n·2n+1

(2)，(1)-(2)得-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1，所以Tn=2+(n-1)·2n+1。兩種方法，結果一樣。