基于遺傳算法的SABR模型對上證50ETF期權隱含波動率擬合優化的實證研究

陳瑞華 曹柏楊

摘要：作為風險管理和財富管理的重要衍生工具，上證50ETF期權合約自2015年上市以來，已經成為全球流動性最好的期權品種之一，學術界對于其定價理論及其波動率的研究也在日益深入。本文主要研究上證50ETF期權隱含波動率的擬合問題，從SABR隨機波動率模型出發，在剔除BorrowRate對于期權隱含波動率的影響后，對上證50ETF期權波動率進行實證分析。同時，為提升SABR模型在參數優化方面的效率與穩定性，本文引入了遺傳算法對參數進行優化。實證結果表明，SABR模型可以對當前上證50ETF期權隱含波動率進行有效的擬合與估計，但對于深度實值期權與深度虛值期權而言，SABR模型的誤差仍有待進一步優化。

關鍵詞：上證50ETF期權 隱含波動率 SABR模型 遺傳算法

一、研究背景

2015年2月9日，我國首只場內期權品種——上證50ETF期權在上海證券交易所上市交易，開啟了我國資本市場的“期權”之門，也為我國資本市場的穩健發展奠定了堅實基礎。目前，上證50ETF期權已發展成為全球流動性最好的期權品種之一。圖1顯示了自上市日起至2019年6月30日上證50ETF期權合約日成交量的變化情況。從交易統計數據看，2015年上證50ETF期權合約日均成交量為10. 63萬張，2019年日均成交量達到246.80萬張，日均成交量增長了23.21倍。

上證50ETF期權交易的日漸活躍帶來了期權市場的全面繁榮發展。2017年以來，我國先后上市了豆粕、白糖、銅、天然橡膠、棉花和玉米期權，迎來了商品期權的百花齊放時代，股指期權、利率期權和更多的商品期權也在醞釀推出。隨著我國衍生品工具運用和市場運行的日益完善，期權在規避市場風險，促進市場穩定方面的作用日益重要，已成為不可或缺的風險管理和財富管理工具。因此，深化對期權理論和應用的研究十分必要。

期權的定價與對沖一直以來都是期權研究的核心問題。目前，市場上主流的期權定價模型是基于偏微分方程的Black - Scholes - Merton模型（1973）和動態規劃的二叉樹模型（1979）。B-S-M模型假設價格是服從幾何布朗運動的，但在現實的期權市場交易中，B-S-M模型所假設的標的資產價格服從對數正態分布及波動率為常數的這一條件與經驗事實并不相符，模型不能解釋“波動率微笑”和“杠桿效應”，導致期權理論定價與真實市場交易價格存在一定的偏差。相對B-S-M模型而言，二叉樹模型可以針對不同類型的期權定價，尤其適用于特殊期權的定價，但該模型的預測值與期權市場的真實價格相比誤差也很大，并且模型的擬合速度隨模型預測期數增加而下降。

針對B-S-M模型和二叉樹模型的缺陷，為了提高模型預測的精確性和擬合速度，理論界對B-S-M模型波動率為常數這一假設進行了擴展，并用控制變量的方法，增加時間變量，將期權價格看作是時間的函數，提出了隨機波動率（SV）模型和隨機波動跳躍（SVJ）模型，得以估計預測隱含波動率。定價參數的改進提高了假設條件與期權市場實際定價的吻合程度，進而提高了模型預測結果的可靠性。

值得指出的是，理論界對期權定價模型的深入研究是與期權市場的不斷發展完善同步的，尤其是關于期權定價的實證研究。Hull和White（1987，1988）、Heston（1993）首先提出了隨機波動率期權定價模型。隨后出現了許多在不同分布假設下對歐式期權定價的研究。Corrado和Su（1998）通過對SP500指數期權的實證研究，對隨機波動率期權定價模型的參數進行了估算和預測，揭示了隨機波動率期權定價模型的實際應用價值。Saurabha和Tiwari（2007）則引入偏度和峰度兩個統計變量，使用波動率估計深度貨幣期權和深度價外期權的價格，得出了更接近期權市場價格的預測結果。

SABR模型（2002）是由Hagan提出的一種隨機波動率期權定價模型，其假設隱含波動率符合幾何布朗運動，并將隱含波動率設定為標的資產價格和合約行權價格的函數，同時將隨機波動率模型與局部波動率模型相結合，可以更加準確地動態刻畫市場隱含波動率曲線。SABR模型由于結構相對簡單，具有解析解形式，并且對于波動率風險能夠進行一致度量，因此成為被廣泛應用的隨機波動率模型。

本文從SABR模型出發，在剔除Borrow Rate對于期權隱含波動率的影響后，對上證50ETF期權波動率進行實證分析，探討上證50ETF期權隱含波動率的擬合問題。同時，為提升SABR模型在參數優化方面的效率與穩定性，還引入了遺傳算法對參數進行優化。

二、SABR模型及其參數估計

（一）SABR模型

SABR模型擴展了原始的B-S-M模型中關于波動率為恒定常數的假設條件，假設期權的隱含波動率同樣服從幾何布朗運動，假設隱含波動率是關于標的資產價格和期權合約行權價格的函數，同時假設標的資產遠期價格F及其波動率α均為隨機過程，且兩個隨機過程之間具有相關系數ρ。

其中，因子F與Aα是隨機的，參數β，ν，ρ為常數。參數ν表示波動率的聚集狀態，可以看作是波動率的波動率;參數β∈[0，1]決定標的資產遠期價格與平值期權隱含波動率之間的關系：如果β≈1，就表明在市場價格正常波動情況下，平值期權的隱含波動率影響不顯著;如果β《1，則說明平值期權隱含波動率和市場價格運動方向相反，尤其在β趨近于0時，這種現象就更加明顯。此外，對于該模型而言，當β趨近于1時，該隨機模型接近對數正態分布，當趨近于0時，該隨機模型接近正態分布。

需要注意的是，對上述目標函數進行優化的過程中，不同的優化方法對于優化結果均有一定的影響。本文通過使用遺傳算法對參數ν，ρ進行優化。

（三）遺傳算法

遺傳算法借鑒了生物界自然選擇和自然遺傳的機制，是一種高效、并行、全局搜索的隨機搜索算法。遺傳算法與傳統算法之間的區別在于，大多數經典優化算法都是基于單一的度量函數的梯度或高階統計來生成確定性的試驗解序列;遺傳算法則是通過模擬自然演化過程來搜索最優解，而不需要依賴梯度信息。遺傳算法能在搜索過程中自動獲取和積累有關搜索空間的知識，并能自適應地控制搜索過程以求得最優解。借助遺傳算法對SABR模型中的目標函數進行參數優化，是一種具有更高優化效率的參數估計方法。