一類帶有記憶核的黏彈性方程解的能量衰減估計

岳香英, 蒲志林

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

1 引言及預(yù)備知識

本文考慮以下帶有記憶項的黏彈性方程的柯西問題

utt(x,t)-Δu(x,t)+

u(x,0)=u0(x),

ut(x,0)=u1(x),x∈Ω,

(1)

其中,Ω是Rn(n∈N)中的有界區(qū)域,u0、u1為初值,g是定義在Ω上的函數(shù),是方程的記憶項,稱為記憶核,也叫松弛函數(shù).

已有大量的學(xué)者對黏彈性方程的動力學(xué)行為進行了研究,例如文獻[1-5].從已知的研究結(jié)果中知道,當g≡0時,系統(tǒng)的能量值為常數(shù),當g≠0時,以下是一些關(guān)于黏彈性系統(tǒng)解的漸近行為的結(jié)果:文獻[6-7]確定了黏彈性方程的解的存在性,并表明隨著時間趨于無窮,黏彈性系統(tǒng)的解趨于零,但是并沒有計算出明確的衰減率.當記憶核g呈g=e-αt即指數(shù)衰減的形式時,文獻[8-9]得出了非線性黏彈性方程解的指數(shù)衰減率.文獻[10-14]的研究結(jié)果表明在有界區(qū)域上,黏彈性方程解的衰減率依賴于記憶核g的衰減率,即當記憶核g呈指數(shù)衰減時,方程的解也是呈指數(shù)衰減,而當記憶核g呈多項式衰減時,方程的解也以相同的衰減率呈多項式衰減.Rivera等[15]研究了方程

(2)

其中A是某個Hilbert空間上的正自伴算子.證明了當0≤α<1時,方程記憶項g的衰減不足以使方程的解產(chǎn)生指數(shù)衰減的穩(wěn)定形式,但在一定的條件下,可以使方程的解呈多項式衰減.

在之前的研究中,記憶函數(shù)g都有衰減的特性.關(guān)于記憶函數(shù)g都有如下的假設(shè)

g(0)>0,g′(t)≤-αg(t), ?t≥0,

(3)

其中,α>0.上述假設(shè)條件太過嚴苛,已有許多文獻在討論放寬這一假設(shè)[16-21].特別地,文獻[18]在Rn中對記憶函數(shù)g做了如下假設(shè)

g(0)>0,g′(t)+αg(t)≥0, ?t≥0. (4)

在這個假設(shè)中,g′(t)可以取正值,即說明記憶函數(shù)g可以適當遞增,而不是一直衰減的,并且在該假設(shè)條件下,得到了方程的解是呈多項式衰減的.文獻[19]關(guān)于記憶函數(shù)g做了如下假設(shè):

g∈W2,1(R+)∩C2(R+),g(0)>0,

(5)

其中α和Cg是正常數(shù).在該假設(shè)下，g、g′和g″可以變號,所得結(jié)果是當記憶核g呈指數(shù)衰減時,方程的解也是呈指數(shù)衰減,而當記憶核g呈多項式衰減時,方程的解也以相同的衰減率呈多項式衰減.

本文受文獻[18-19]啟發(fā),不再局限于g>0以及g具有一致衰減特性,建立了新的假設(shè),并構(gòu)造了方程(1)的能量泛函.對能量泛函進行估計,得到方程(1)的解的漸近性,以及在|g|呈指數(shù)衰減時,方程的解依據(jù) φ(t)的不同呈相應(yīng)的衰減方式.

本文對記憶核 g作如下假設(shè):

( C1)g:R+→R是一個可微函數(shù),滿足

(C2) 存在可微函數(shù)φ>0以及常數(shù)r>0和h>0滿足

|g(t)|′≤-φ(t)|g(t)|,t≥0,

φ′(t)≤0, ?t≥0.

該假設(shè)拓寬了假設(shè)(4)的應(yīng)用范圍,即g的符號不要求一定為正,也可以為負,同時弱化了假設(shè)(5)中g(shù)二階可導(dǎo)的要求.相較于假設(shè)(4)和(5),本文的假設(shè)條件應(yīng)用更為廣泛和一般.

記

引理 1.1[16]若假設(shè)(C1)和(C2)成立,且

u0∈H1(Ω),u1∈L2(Ω),

則問題(1)存在唯一的解滿足:

u∈C([0,∞),H1(Ω)),

ut∈C([0,∞),L2(Ω)).

引理 1.2[18]當1≤p

存在一個常數(shù)C=C(n,p),使得

‖u‖p*≤C‖▽u‖p, ?u∈W1,p(Ω). (6)

定義能量泛函

其中

引理 1.3若u是方程(1)的解,則能量泛函滿足

(7)

其中N和H是正常數(shù).

證明對能量泛函兩邊求導(dǎo),可得

E′(t)=(▽u(t),▽ut)+

(8)

其中

(9)

對(9)式的第二項進行估計,則存在常數(shù)N>0和H>0,

dxdτ≤

(10)

由于|g|是非增函數(shù)，所以

|g(t)|≤|g(0)|=g(0)=K.

對(8)式第二項進行估計

由(8)～(11)式可得到(7)式.

2 能量衰減估計

引理 2.1若u是系統(tǒng)(1)的解,定義輔助泛函

在假設(shè)(C1)和(C2)條件下,則存在某個常數(shù)ξ1>0使得

(12)

證明對Ψ1(t)求導(dǎo),可得

(13)

由(1)式可得

(14)

所以

(15)

由(5)式可得

C‖▽u‖2‖ut‖2≤

(16)

對(14)式的第二項進行估計,可得

|▽u(t)|)dτ)2dx.

(17)

由Young不等式可得

|▽u(t)|)dτ)2dx≤

(18)

由(15)～(18)式可得

引理 2.2若u是系統(tǒng)(1)的解,定義輔助泛函

(u(t)-u(τ))dτdx,

則存在某個常數(shù)ξ2,在t≥0時滿足

(20)

證明直接對Ψ2(t)求導(dǎo),可得

(u(t)-u(τ))dτdx-

(21)

其中

(22)

對于(21)式中的第二項,由(1)式可得

對于(21)式中的第一項,可得

(24)

對于(23)式中的第一項,可得

(25)

對于(23)式中的第二項,可得

|▽u(t)|)dτ)2dx+

由Young不等式及假設(shè)(C2)可得

(27)

將(22)～(27)式代入(21)式,則(20)式成立.

引理 2.3假設(shè)(C1)和(C2)成立,構(gòu)造輔助泛函

F(t)=E(t)+ω1Ψ1(t)+ω2Ψ2(t).

(28)

取適當?shù)?個正常數(shù)χ1、χ2,使其滿足

χ1E(t)≤F(t)≤χ2E(t),t≥t0,

(29)

其中t0是足夠大的值,使得ω1、ω2充分小.

證明把E(t)、Ψ1(t)、Ψ2(t)、Ψ3(t)代入(24)式,可得

(30)

由Cauchy-Schwarz不等式、Young不等式和(6)式可得

(31)

和

(32)

由假設(shè)(C2)知φ(t)為單調(diào)減函數(shù),則有

φ(t)≤φ(0)=A.

(33)

將(31)～(33)式代入(30)式可得

同理可得

(35)

和

(36)

下面將(33)～(35)式代入(28)式,可得

其中ω1和ω2充分小,可得

F(t)≥χ1E(t),t≥t0,χ1>0.

(38)

聯(lián)立(34)和(37)式,可得到結(jié)論.

定理 2.1假設(shè)(C1)和(C2)成立,且u0∈H1(Ω),u1∈L2(Ω),以及引理1.3的條件成立,則存在正常數(shù)P和p,使得

證明對(28)式求導(dǎo),并由(7)、(12)、(20)式及假設(shè)(C2)可得

-[ω2(1-m-ξ2(r+1))-

hN]φ(t)(|g|°▽u)(t).

(39)

由假設(shè)(C2)知

φ(t)(|g|°▽u)(t)≤

|▽u(τ)-▽u(t)|2dτdx+

φ(t)(|g|°▽u)(t)≤

hN]φ(t)(|g|°▽u)(t),

(40)

所以

F′(t)≤-[ω2(1-m-ξ2(r+1))-

hN]φ(t)(|g|°▽u)(t).

(41)

選擇合適的ξ1和ξ2使得

若選定ξ1和ξ2,選擇合適的ω1和ω2滿足條件

(42)

使得

ω2(1-m-ξ2(r+1))-

因為g是連續(xù)且g(0)>0,所以對任意的t≥t0>0有

(43)

取

P0=min{k1,k2,k3},

則可得

F′(t)≤-P0φ(t)E(t).

又由(29)式可得

(44)

對(44)式在(t0,t)上積分可得

(45)

又由(29)和(45)式可得

(46)

故定理2.1得證.