具冪零鞍點的Hamilton系統的周期環域的環性

李慧敏, 張二麗

(鄭州財經學院 信息工程學院, 河南 鄭州 450001)

1 主要結果

1900年,德國數學家Hilbert在第二屆國際數學家大會上提出了著名的23個數學問題,其中第16個問題的后半部分是:對于平面n次實多項式系統

其中Fn(x,y)和Gn(x,y)是n次實多項式.它可能具有的極限環個數的最小上界是多少?這些極限環的相對位置如何?最近幾十年,數學工作者對該問題進行了廣泛的研究[1-5].1977年,前蘇聯數學家Arnold提出:對平面Hamilton系統的擾動系統

(1)

其中,0<|ε|?1,H(x,y)是關于x和y的m次實多項式,f(x,y)和g(x,y)是關于x和y的n次實多項式.假設系統(1)的未擾動系統(1)ε=0有連續閉軌線族{Γh},Σ為h的最大存在開區間,即Γh={(x,y)∈R2|H(x,y)=h,h∈Σ}.系統(1)的一階Melnikov函數為

M(h)=∮Γhg(x,y)dx-f(x,y)dy,

h∈Σ,

(2)

問M(h)的孤立零點的最大個數是多少(計重數)?該問題稱為弱Hilbert 16問題[6].相關的研究很多,詳見文獻[7-13].由Poincaré-Pontryagin定理[14]可知,當M(h)≠0時,系統(1)在未擾動系統(1)ε=0的閉軌線族{Γh}形成的緊致區域內產生的極限環個數(計重數)不超過M(h)的孤立零點的最大個數(計重數).

本文研究Hamilton函數

2x2y2-x4+y4

(3)

相應的向量場

(4)

(5)

圖 1 系統(4)的相圖

定理 1.1對任意0<|ε|?1和n次實多項式f(x,y)與g(x,y),當n≥5時,擾動系統(5)至多存在4n+10個極限環;當n=3,4時,擾動系統(5)至多存在9個極限環;當n=1,2時,擾動系統(5)不存在極限環.

2 一階Melnikov函數M(h)和Picard-Fuchs方程

M(h)=α(h)I0,1+β(h)I0,3+

γ(h)I2,1+δ(h)I2,3,

(6)

證明因為Γh關于x-軸和y-軸對稱,所以Ii,2j=I2i+1,2j+1≡0.由Green公式可得

所以

其中τij是常數.

對H(x,y)=h兩端同時關于x求導可得

(7)

其中H(x,y)由(3)式定義.(7)式兩端同乘以xi-3yjdx并沿著Γh積分可得

(8)

(3)式兩端同時乘以xiyj-4dx,并沿著Γh積分可得

(9)

由(8)和(9)式可得

(10)

(11)

下面用數學歸納法證明結論成立.當n=5,7時,由(10)和(11)式可得

所以當n=5時結論成立.假設當i+j≤2k-1(k≥3)時結論成立.當i+j=2k+1(k≥2)時,在(10)式中取(i,j)=(0,2k+1),(1,2k),(2,2k-1),…,(2k-3,4),在(11)式中取(i,j)=(2k-2,3),(2k-1,2),(2k,1)可得

其中

是k+1階方陣.計算可得detA=2,所以

因此

同理可得

證畢.

引理 2.2記V=(I0,1,I0,3,I2,1,I2,3)T,則V滿足Picard-Fuchs方程

(Bh+C)V′=V,

(13)

其中

證明對H(x,y)=h兩端同時關于h求導可得

其中H(x,y)由(3)式定義,所以

(14)

進而可得

(15)

(14)式兩端同乘以h并注意到(3)式可得

(16)

(17)

由(15)～(17)式可得

(18)

在(18)式中分別取(i,j)=(0,1),(0,3),(2,1)和(2,3)可得

注意到(10)和(11)式可得結論成立.證畢.

引理 2.3令

(19)

則I01、I03、I21和Z滿足

(20)

其中

證明對(13)式兩端關于h求導得

(Bh+C)V″=(I-B)V′,

其中I是4×4階單位矩陣.假設

本文是在南陽理工學院軟件學院《軟件工程》課程基礎上，實施OBE工程教育模式的經驗總結。基于OBE教學模式定義軟件工程課程目標，學生學習軟件項目開發過程，掌握軟件開發的主流方法，了解軟件開發過程中應遵循的原則、標準、規范和流程，在項目開發過程中，培養科學的思維方法，靈活運用知識的能力，養成良好的編程習慣，積累軟件項目開發經驗，為學生職業能力培養和職業綜合素質培養起重要支撐作用。

G(h)V″=(Bh+C)*(I-B)V′=

(21)

其中G(h)=det(Bh+C),(Bh+C)*表示矩陣Bh+的伴隨矩陣.由(21)式可得(20)式成立.證畢.

由(3)和(4)式可得

G(h)ω′(h)=-σ12(h)ω2(h)+

(σ42(h)-σ11(h))ω(h)+σ41(h).

(22)

證明由(20)式的第一個和第四個方程即可得(22)式成立.引理得證.

3 定理1.1的證明

(i) 由(6)、(13)和(19)式可得

(23)

其中,αs(h)、βs(h)、γs(h)和δs(h)是關于h的多項式,且滿足:

γ1(h)M′(h)=γ2(h)M(h)+F1(h),

由文獻[15]中引理5.1可得

#{M(h)=0}≤#{γ1(h)=0}+

#{F1(h)=0}+1≤

其中

(24)

其中

(25)

所以

由文獻[9]中引理4.2可得

{#F1(h)=0}≤#{β3(h)=0}+

#{F2(h)=0}+1≤

(26)

其中

由文獻[9]中引理4.4可得

{#R0(h)=0}+{#δ4(h)=0}+1≤

綜合(i)～(iii)可得

#{M(h)=0}≤

再由Poincaré-Pontryagin定理可知,當n≥5時,系統(5)至多有4n+10個極限環.

當n=1,2時,M(h)=λ0I01(h),其中λ0是非零常數.因為

I01(h)=∮Γhydx=-?Ddxdy≠0,

當n=3,4時,M(h)=λ1I01+λ2I03+λ3I21,其中λ1、λ2和λ3是常數.由(19)和(20)式可知

其中

G(h)λ5(h)ν′(h)=-σ12(h)ν2(h)+

λ6(h)ν(h)+λ7(h),

#{M″(h)=0}=#{χ(h)=0}=#{ν=0}≤

#{λ5(h)=0}+#{λ7(h)=0}+1≤8.

又I(0)=0,所以#{M(h)=0}≤9.定理1.1證畢.