神奇的“三線合一”

文蘇州工業(yè)園區(qū)星匯學(xué)校八（11）班 崔容根

小學(xué)時(shí)，老師經(jīng)常提到“等腰三角形是一種特殊的三角形”。當(dāng)時(shí)的我并不明白老師所說(shuō)的“特殊”的含義。在我的認(rèn)識(shí)里，等腰三角形就是有兩條邊相等的三角形，其中相等的兩條邊稱(chēng)為腰。升入初中后，我學(xué)習(xí)了“軸對(duì)稱(chēng)圖形”，對(duì)等腰三角形有了新的認(rèn)識(shí)：等腰三角形底邊上高線、中線以及頂角的平分線重合，也就是大家常說(shuō)的“三線合一”。直到此時(shí)，我才明白小學(xué)老師所說(shuō)的“等腰三角形是一種特殊的三角形”中的特殊之處。

在處理與等腰三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，我們常常運(yùn)用“三線合一”。那么如何證明“三線合一”呢？

首先我們可以從“折疊”的角度考慮。如圖1，因?yàn)椤鰽BC為等腰三角形，所以AB=AC。在等腰△ABC中，沿著∠BAC的角平分線AD將△ABD翻折。因?yàn)椤螧AD=∠CAD，所以AB落在射線AC上；因?yàn)锳B=AC，所以點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，所以△ABD和△ACD重合。不難發(fā)現(xiàn)等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，而且對(duì)稱(chēng)軸就在頂角平分線所在的直線上。根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，我們可以得到BD=CD、AD⊥BC，所以等腰三角形底邊上的高線、中線以及頂角平分線重合。“三線合一”從而得到了驗(yàn)證。

圖1

另一方面，我們還可以從證明全等的角度進(jìn)行論證。如圖1，過(guò)點(diǎn)A作BC邊的垂線，垂足為點(diǎn)D。因?yàn)锳D⊥BC，所以∠ADB=∠ADC=90°。因?yàn)椤鰽BC為等腰三角形，所以AB=AC。利用“HL”我們可以證明△ABD≌△ACD，這樣我們可 以 得 到 BD=CD，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，所以等腰三角形底邊上的高線、中線以及頂角平分線重合。在證明過(guò)程中我受到啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)除了過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線，還可以作頂角∠BAC的平分線或者過(guò)點(diǎn)A作BC的中線，然后同樣利用三角形全等，證明“三線合一”。進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，這個(gè)命題的逆命題也是成立的，我們可以用它來(lái)判斷等腰三角形。

“三線合一”是等腰三角形所特有的性質(zhì)，在以后的學(xué)習(xí)過(guò)程中，處理與等腰三角形有關(guān)的問(wèn)題，我們可以利用這個(gè)性質(zhì)添加適當(dāng)?shù)妮o助線，解決問(wèn)題。

教師點(diǎn)評(píng)

小作者通過(guò)預(yù)習(xí)形成了對(duì)等腰三角形“三線合一”的認(rèn)識(shí)。在預(yù)習(xí)過(guò)程中，他通過(guò)將等腰三角形沿著頂角平分線AD所在直線“對(duì)折”，再“展開(kāi)”，一方面切身感受到“三線合一”，另一方面也發(fā)現(xiàn)“對(duì)折”就是尋找?guī)缀握撟C中“輔助線”的過(guò)程，讓后面的幾何論證有了一種“水到渠成”的感覺(jué)。從小作者文末的這句“處理與等腰三角形有關(guān)的問(wèn)題，我們可以利用這個(gè)性質(zhì)……”可以看出，小作者通過(guò)預(yù)習(xí)，已經(jīng)掌握了處理等腰三角形問(wèn)題的一般方法，達(dá)到了預(yù)習(xí)效果。