局部均值分解的幾種改進(jìn)方法?

駱東松 裴 陽 黃 濤

（蘭州理工大學(xué) 蘭州 730050）

1 引言

工業(yè)生產(chǎn)中旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障頻發(fā)，危害巨大。人們在探索旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷的方法時(shí)引入了局部均值分解方法（Local Mean Decomposition，LMD），該方法在2005 年由Jonathan S.Smith 學(xué)者提出。LMD 方法非常適合分析非平穩(wěn)信號，它可以將非平穩(wěn)信號自適應(yīng)地分解成一系列乘積函數(shù)（Product function，PF）之和的形式，每一個(gè)PF 分量由一個(gè)包絡(luò)信號和一個(gè)純調(diào)頻信號組成，這樣的調(diào)幅-調(diào)頻信號不僅可以準(zhǔn)確地反應(yīng)出非平穩(wěn)信號的時(shí)頻分布，而且在分析多分量的非平穩(wěn)信號方面有顯著優(yōu)勢。然而，LMD 方法本身存在的一些理論缺陷是值得我們研究完善的，如端點(diǎn)效應(yīng)的處理方法，迭代終止條件的選擇。本文將針對這兩個(gè)問題提出新的解決思路和方法，以求改善LMD方法。

2 LMD方法

在實(shí)際生產(chǎn)中，監(jiān)測旋轉(zhuǎn)機(jī)械所得到的振動(dòng)信號一般都是包含了豐富的調(diào)幅-調(diào)頻分量的多成分信號，LMD 可以將這樣的復(fù)雜信號分解成單分量的調(diào)幅-調(diào)頻信號，在故障分析時(shí)這種信號更容易分析。所以LMD 方法被廣泛地應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障分析領(lǐng)域，其分解步驟本文不再贅述。LMD 的分解過程是一個(gè)自適應(yīng)的分解過程，這個(gè)過程以信號自身的局部極值點(diǎn)作為基礎(chǔ)，經(jīng)過多次循環(huán)迭代，求出一個(gè)純調(diào)頻信號，然后在此基礎(chǔ)上迭代出一個(gè)PF 分量。將這樣的過程往復(fù)循環(huán)，最終得到一個(gè)單調(diào)函數(shù)uk（t），分解過程就此結(jié)束，即:

3 端點(diǎn)效應(yīng)改進(jìn)方法

LMD 方法分解信號的基礎(chǔ)是信號的極值點(diǎn)，依靠極值點(diǎn)構(gòu)建局部均值函數(shù)和包絡(luò)估計(jì)函數(shù)。如果原始信號的左右端點(diǎn)不是原始信號的極值點(diǎn)，分解誤差就會在端點(diǎn)被引入，隨著迭代的遞進(jìn)，誤差會逐漸向內(nèi)“污染”，直到迭代結(jié)束，造成嚴(yán)重的分解失真。因此在LMD 方法問世起如何改進(jìn)這一缺點(diǎn)就一直是人們研究的重點(diǎn)，文獻(xiàn)［1～2］使用“極值點(diǎn)延拓”解決原始信號的端點(diǎn)效應(yīng)，文獻(xiàn)［3～4］討論了“波形延拓”方法對端點(diǎn)效應(yīng)的抑制作用。文獻(xiàn)［5～6］以“鏡像延拓”作為處理端點(diǎn)效應(yīng)的方法，鏡像延拓的核心思想是將信號鏡像成一個(gè)閉環(huán)波形，直接消除端點(diǎn)的存在，起到抑制端點(diǎn)效應(yīng)的作用。以上三種方法都是以某種方式“延拓”原始信號，在某種程度上起到了抑制端點(diǎn)效應(yīng)的作用。在不斷地探索中人們又總結(jié)出另一種基于現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)的端點(diǎn)效應(yīng)抑制方法。文獻(xiàn)［7～8］中利用“極值預(yù)測法”，通過對大量數(shù)據(jù)的分析直接對端點(diǎn)所對應(yīng)的極值直接做出預(yù)測。文獻(xiàn)［9～10］在分析EMD 方法時(shí)用到了“序列預(yù)測法”，這種方法與“極值預(yù)測法”一樣都是依托計(jì)算機(jī)技術(shù)的強(qiáng)大運(yùn)算能力，但是“序列預(yù)測法”顧名思義，就是利用大量數(shù)據(jù)分析，預(yù)測整個(gè)原始波形的走向趨勢，預(yù)測出極值點(diǎn)。預(yù)測法中最成熟的方法是“神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測法”，文獻(xiàn)［11～12］利用這種方法解決EMD 分解方法的端點(diǎn)問題，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為一種可訓(xùn)練的數(shù)據(jù)處理方法，將其引入到預(yù)測端點(diǎn)極值的問題中，首先要將原始信號在端點(diǎn)處的特性劃歸為若干個(gè)樣本，然后采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)能力訓(xùn)練這些樣本，并預(yù)測端點(diǎn)所對應(yīng)的極值。“神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測法”的預(yù)測精度很大程度上依賴樣本的數(shù)量，以及參數(shù)的設(shè)定，為了得到更精準(zhǔn)的預(yù)測數(shù)據(jù)，需要花費(fèi)大量時(shí)間訓(xùn)練樣本，在實(shí)際應(yīng)用中并不可取。

3.1 自適應(yīng)波形匹配延拓法

本文將利用“自適應(yīng)波形匹配延拓法”解決LMD 端點(diǎn)效應(yīng)這一問題。“自適應(yīng)波形匹配延拓法”的主要思路是在原有數(shù)據(jù)中找到跟端點(diǎn)波形相似的波形，用原有的波形變化趨勢對端點(diǎn)附近波形進(jìn)行延拓；反過來講，旋轉(zhuǎn)機(jī)械的振動(dòng)波形很大程度上有一定的規(guī)律性和周期性，這也是“自適應(yīng)波形匹配延拓法”可行性的實(shí)際支撐點(diǎn)。

文獻(xiàn)［13］利用零點(diǎn)特征將原始信號分段并且利用頻域中的“判別因子”判斷信號的相似性，這種方法合理地規(guī)避了時(shí)域信號中的噪聲信號對延拓過程的影響，但是過程中需要繁瑣的波形重復(fù)過程。文獻(xiàn)［14］利用信號端點(diǎn)和原始信號的極大值與極小值構(gòu)造的“三角波形”作為延拓的參考依據(jù)。本文以“三角波形”法作為基礎(chǔ)，利用端點(diǎn)與其相鄰的極大值和極小值構(gòu)造判別因子。這種方法基于信號的周期性，可以有效地規(guī)避噪聲干擾，并且過程精簡，有利于實(shí)際應(yīng)用，以左端點(diǎn)為例，延拓過程如下:

1）判別三角形:找出原始信號x（t）的左端點(diǎn)記為x（t1），向右掃描信號，分別找到相鄰的極大值與極小值記為max（m1）與max（n1），以x（t1）、max（m1）與max（n1）組成判別三角形。

2）誤差公式:掃描整個(gè)原始信號，找出與判別三角形最近似的三角形，根據(jù)文獻(xiàn)［17］中的判別條件，提出如下判別公式:

其中，E（i）表示第i個(gè)三角形的誤差數(shù)值，E（i）越小表示此三角形越相似于端點(diǎn)三角形。xi表示第i 個(gè)三角形的端點(diǎn)值，maxi表示第i個(gè)三角形的極大值，mini表示第i個(gè)三角形的極小值，t1、ti、tmax、tmin是以上值所對應(yīng)的時(shí)間，N是滿足條件的所有三角形的數(shù)量，其中e為設(shè)定的閾值。

3）求得目標(biāo)三角形:找出所有E（i）［i=1，…，n］中的最小值，即Er。Er所對應(yīng)的三角形就是目標(biāo)三角形，確定該三角形端點(diǎn)的時(shí)刻Ti，以Ti時(shí)刻為基點(diǎn)向左掃描原始x（t）找到最近的極值點(diǎn)，記做x（Ti-1），此時(shí)x（Ti-1）就是左端點(diǎn)所需要延拓的極值。

按照同樣的方法延拓原信號的右端點(diǎn)，求得延拓后的完整信號記做x’（t）。將完成延拓的信號x’（t）做LMD 分解，將分解后的PF 分量按原始信號x（t）對應(yīng)的時(shí)刻進(jìn)行截?cái)啵@樣就得到了最終的LMD分解結(jié)果。

3.2 仿真與對比分析

經(jīng)過以上分析，總結(jié)出了一種消除端點(diǎn)效應(yīng)的方法，本小節(jié)將利用這種方法對實(shí)際信號進(jìn)行分析，以體現(xiàn)其優(yōu)越性。

如圖1 所示，（a）是原始信號的波形圖，（b）是鏡像延拓之后的信號，（c）是采用自適應(yīng)延拓之后的信號，對比兩端點(diǎn)部分的信號特征，可以明顯看出自適應(yīng)延拓法要比鏡像延拓更加準(zhǔn)確。

圖1 兩種延拓結(jié)果對比

4 迭代終止條件的選擇

由前文的總結(jié)可知由迭代產(chǎn)生純調(diào)頻信號是LMD 分解過程的一個(gè)重要步驟，產(chǎn)生的純調(diào)頻信號與包絡(luò)信號的乘積就是PF 分量。傳統(tǒng)的LMD方法要求純調(diào)頻信號滿足:

并且其包絡(luò)函數(shù)滿足:

時(shí)迭代結(jié)束，這種條件只是理想狀態(tài)下的迭代終止條件，并不符合實(shí)際信號處理的要求。所以，為了使得LMD 方法更具完備性和準(zhǔn)確性，人們提出了許多迭代過程終止的判斷方法，如文獻(xiàn)［15］提出的一種標(biāo)準(zhǔn)差（Standard Deviation，SD）判據(jù)，這種判據(jù)是以一個(gè)預(yù)先設(shè)置的閾值作為判斷依據(jù)，當(dāng)前后兩次的迭代結(jié)果差值低于閾值，就認(rèn)為迭代結(jié)束；文獻(xiàn)［16］討論了EMD 的迭代終止條件。終止條件的理論依據(jù)是IMF分量是一個(gè)窄帶信號，當(dāng)?shù)钊霑r(shí)IMF分量的頻率帶寬會逐漸減小，以預(yù)先設(shè)置的帶寬閾值作為判斷依據(jù)，這樣的迭代終止依據(jù)所確定的IMF分量幾乎不會產(chǎn)生模態(tài)混淆；文獻(xiàn)［17］從信號的能量入手，即認(rèn)為任意信號x（t）的能量值都可以表示為

并且由式（5）可知原始信號被分解成了若干個(gè)信號和的形式，所以分解前后信號的能量是守恒的，根據(jù)這一原理在一定的誤差范圍內(nèi)，將分解后信號的能量和與原信號的能量做比，比值越接近1，說明分解越完備、越準(zhǔn)確。即式:

的值在一定閾值以上，就認(rèn)為迭代完成。

文獻(xiàn)［18］利用IMF分量的正交性，提出了正交性判據(jù)（Orthogonality Criterion，OC），這種判據(jù)可以保證迭代結(jié)果的完備性和正交性。考慮到PF分量也具有的正交性，文獻(xiàn)［22］將OC 判據(jù)引入到LMD方法中，作為一種迭代終止判據(jù)，在預(yù)先設(shè)定的閾值范圍內(nèi)，式

的比值越接近1就表示分解越徹底。

由以上分析，判斷LMD 分解完備的方法有很多，每個(gè)不同的出發(fā)點(diǎn)都會引出不同的解決方案，只是最后的判斷條件都離不開一個(gè)設(shè)定的閾值，閾值的設(shè)定主要依靠人為經(jīng)驗(yàn)，缺乏理論支撐，所以給判斷結(jié)果帶了許多不確定性。為解決這一缺點(diǎn)本文將信息熵的判斷的方法引入到LMD 方法的迭代終止條件判據(jù)中。

4.1 基于信息熵的LMD方法迭代終止判據(jù)

設(shè)一個(gè)信號x（n），有N 個(gè)取值的可能性，且每個(gè)取值的概率為Pi（其中i表示第i個(gè)可能的取值），其信息熵的計(jì)算公式為

信息熵所描述的是信號的不確定性，可以反映出信號的聚集性。在旋轉(zhuǎn)機(jī)械發(fā)生故障時(shí)，其振動(dòng)信號會包含著以旋轉(zhuǎn)頻率為基頻的多種倍頻信號，這些帶有故障信息的信號經(jīng)過LMD 運(yùn)算之后，被分解成了若干個(gè)PF 分量。由LMD 的分解過程可知，每個(gè)PF 分量可以看做是某一頻率下的包絡(luò)信號。因此，在LMD 迭代的過程中，故障信號就會以不同的頻率被分離出來。PF 分量中包含的故障信息越多，信號就越有序，時(shí)頻分布的聚集性就越好，相對應(yīng)的信息熵就越小，反過來講，PF 分量中包含的故障信息越少，信號就越無序，時(shí)頻分布的聚集性就越差，相對應(yīng)的信息熵就越大。根據(jù)以上的分析，可以得知，PF 分量的信息熵的大小直接反應(yīng)其中所攜帶故障信號的多少。因此，可以利用PF 分量的信息熵作為LMD迭代的終止的判斷條件。

4.2 仿真與對比分析

前文提到，文獻(xiàn)［19］利用OC 判據(jù)作為LMD 迭代的終止條件，在大量的實(shí)際應(yīng)用中已經(jīng)論證過其準(zhǔn)確性，所以本小節(jié)用信息熵判據(jù)得出的LMD 結(jié)果與OC 判據(jù)所得出的結(jié)果作比較，證明信息熵方法的可行性。

如圖2對于某一信號采用信息熵作為終止條件處理之后的結(jié)果用虛線表示；采用OC判據(jù)處理信號之后的結(jié)果用實(shí)線表示，對比兩條線段，可見兩種結(jié)果基本吻合，也就證明了信息熵方法的可行性。

圖2 兩種判據(jù)分解結(jié)果對比

5 結(jié)語

通過前兩節(jié)的分析與總結(jié)，分別得出針對LMD 方法的“端點(diǎn)效應(yīng)”與“迭代終止問題”的解決方法。對于端點(diǎn)效應(yīng)，延拓的目的是通過某種手段找到信號的端點(diǎn)所對應(yīng)的極值，不同的延拓方法具有不同的出發(fā)點(diǎn)，所得出的結(jié)果也略有差異，本文采用的思路是從原有信號中找到與端點(diǎn)相似的信號部分，以此為依據(jù)對端點(diǎn)做出延拓。而如今的計(jì)算機(jī)科學(xué)不斷的發(fā)展，對于信號的延拓完全可以依靠帶有自主學(xué)習(xí)能力的算法，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測法。對于迭代終止判據(jù)的選擇也存在不同的出發(fā)點(diǎn)，但是大多數(shù)方法總會存在人為設(shè)定的閾值，閾值的人為設(shè)定就給分解結(jié)果帶來了不確定性。但是這樣的判定條件在實(shí)際場合中被廣泛應(yīng)用，可見對于一般的故障診斷，這樣簡單且容易操作的方法更受青睞。