解決有界磁場中帶電粒子運動問題的“三板斧”

(江蘇省高淳高級中學(xué)，江蘇 南京 221300)

帶電粒子在有界磁場中的運動問題能夠全面考查學(xué)生的物理知識和應(yīng)用數(shù)學(xué)解決物理問題的能力，往往作為高考的必考題和壓軸題。這類問題其實也有章可循，除了掌握定圓心、找半徑和三角關(guān)系等基本方法外，還可以根據(jù)帶電粒子的入射點、入射方向和入射速度關(guān)系，利用“三板斧”，以不變應(yīng)萬變。

圖1

通過對比不難發(fā)現(xiàn)：在帶電粒子的入射點、入射方向和入射速度三個變量中，往往是某一個發(fā)生變化，其他兩個不變，可以采用控制變量法來研究，分成三類：(1) 入射點平移，入射方向和速度不變(半徑不變)，在無邊界磁場中據(jù)此畫圓(如圖1)，像一個圓沿某方向平移形成的軌跡，稱之為“平移圓”法；(2) 入射速度大小變化(半徑變化)，入射點和入射方向不變，在無邊界磁場中據(jù)此畫圓(如圖2)，像一個圓沿某方向逐漸擴大和縮小形成的軌跡，稱之為“縮放圓”法；(3) 入射方向變化(半徑變化)，入射點和入射速度大小不變(半徑不變)，在無邊界磁場中據(jù)此畫圓(如圖3)，像一個圓沿某方向逐漸旋轉(zhuǎn)形成的軌跡，稱之為“旋轉(zhuǎn)圓”法。利用以上解決帶電粒子在有界磁場運動的“三板斧”，可以很好地解決問題，有效降低理解題的思維難度，下文以例題的形式分別展示三種方法的應(yīng)用。

圖2

圖3

1 “平移圓”的應(yīng)用

例1：一臺質(zhì)譜儀的工作原理如圖4所示，大量的離子飄入電壓為U0的加速電場，其初速度幾乎為0，經(jīng)過加速后，通過寬為L的狹縫MN沿著與磁場垂直的方向進入磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中，最后打到照相底片上。已知離子的電荷量為+q，質(zhì)量為m，圖中虛線為經(jīng)過狹縫左、右邊界M、N的離子的運動軌跡。不考慮離子間的相互作用。在圖中用斜線標出磁場中離子經(jīng)過的區(qū)域，并求該區(qū)域最窄處的寬度d。

圖4

解析：大量粒子的入射速度大小和方向不變，只有入射點不同，符合“平移圓”的特點，然后按照平移圓規(guī)律畫出粒子的軌跡(如圖5)，據(jù)圖5可很快找到區(qū)域最窄處，再利用三角關(guān)系求解，解決本題的關(guān)鍵是畫出粒子的運動“平移圓”軌跡。

圖5

2 “縮放圓”的應(yīng)用

例2：一足夠長的矩形區(qū)域abcd內(nèi)存在磁感應(yīng)強度為B、方向垂直紙面向里的勻強磁場，矩形區(qū)域的左邊界ad寬為L，現(xiàn)從ad中點O垂直于磁場射入一帶電粒子，速度大小為v0，方向與ad邊夾角為30°(如圖6)。已知粒子帶正電，電荷量為q，質(zhì)量為m，不計重力，要使粒子能從ab邊射出磁場，求v0的取值范圍。

圖6

解析：大量粒子的入射點和入射方向不變，只有入射速度大小不同，符合“縮放圓”的特點，然后按照縮放圓規(guī)律畫出粒子的軌跡(如圖7)，據(jù)圖7可很快找到軌跡與ab和cd相切的臨界情況，再利用三角關(guān)系求解，解決本題的關(guān)鍵是畫出粒子運動的“縮放圓”軌跡。

圖7

3 “旋轉(zhuǎn)圓”的應(yīng)用

圖8

(1) 最后離開磁場的粒子從粒子源射出時速度的大小；

(2) 速度方向與y軸正方向的夾角。

解析：大量粒子的入射速度大小和入射點不變，只有入射方向不同，符合“旋轉(zhuǎn)圓”的特點，按照旋轉(zhuǎn)圓規(guī)律畫出粒子的軌跡(如圖9)，據(jù)圖9可以很快找到運動軌跡與上邊界相切是極值，再利用三角關(guān)系求解，解決本題的關(guān)鍵是畫出粒子運動的“旋轉(zhuǎn)圓”軌跡。

圖9

在教學(xué)中教給學(xué)生解決此類問題的“三板斧”后，可以有效突破帶電粒子在有界磁場中運動的難點。根據(jù)帶電粒子的入射點、入射方向和入射速度三個變量的特點，快速從“平移圓”“縮放圓”和“旋轉(zhuǎn)圓”中確定解題方向，大大降低了問題的難度，有助于學(xué)生深入理解問題的本質(zhì)。