解決有界磁場中帶電粒子運動問題的“三板斧”

(江蘇省高淳高級中學，江蘇 南京 221300)

帶電粒子在有界磁場中的運動問題能夠全面考查學生的物理知識和應用數學解決物理問題的能力，往往作為高考的必考題和壓軸題。這類問題其實也有章可循，除了掌握定圓心、找半徑和三角關系等基本方法外，還可以根據帶電粒子的入射點、入射方向和入射速度關系，利用“三板斧”，以不變應萬變。

圖1

通過對比不難發現：在帶電粒子的入射點、入射方向和入射速度三個變量中，往往是某一個發生變化，其他兩個不變，可以采用控制變量法來研究，分成三類：(1) 入射點平移，入射方向和速度不變(半徑不變)，在無邊界磁場中據此畫圓(如圖1)，像一個圓沿某方向平移形成的軌跡，稱之為“平移圓”法；(2) 入射速度大小變化(半徑變化)，入射點和入射方向不變，在無邊界磁場中據此畫圓(如圖2)，像一個圓沿某方向逐漸擴大和縮小形成的軌跡，稱之為“縮放圓”法；(3) 入射方向變化(半徑變化)，入射點和入射速度大小不變(半徑不變)，在無邊界磁場中據此畫圓(如圖3)，像一個圓沿某方向逐漸旋轉形成的軌跡，稱之為“旋轉圓”法。利用以上解決帶電粒子在有界磁場運動的“三板斧”，可以很好地解決問題，有效降低理解題的思維難度，下文以例題的形式分別展示三種方法的應用。

圖2

圖3

1 “平移圓”的應用

例1：一臺質譜儀的工作原理如圖4所示，大量的離子飄入電壓為U0的加速電場，其初速度幾乎為0，經過加速后，通過寬為L的狹縫MN沿著與磁場垂直的方向進入磁感應強度為B的勻強磁場中，最后打到照相底片上。已知離子的電荷量為+q，質量為m，圖中虛線為經過狹縫左、右邊界M、N的離子的運動軌跡。不考慮離子間的相互作用。在圖中用斜線標出磁場中離子經過的區域，并求該區域最窄處的寬度d。

圖4

解析：大量粒子的入射速度大小和方向不變，只有入射點不同，符合“平移圓”的特點，然后按照平移圓規律畫出粒子的軌跡(如圖5)，據圖5可很快找到區域最窄處，再利用三角關系求解，解決本題的關鍵是畫出粒子的運動“平移圓”軌跡。

圖5

2 “縮放圓”的應用

例2：一足夠長的矩形區域abcd內存在磁感應強度為B、方向垂直紙面向里的勻強磁場，矩形區域的左邊界ad寬為L，現從ad中點O垂直于磁場射入一帶電粒子，速度大小為v0，方向與ad邊夾角為30°(如圖6)。已知粒子帶正電，電荷量為q，質量為m，不計重力，要使粒子能從ab邊射出磁場，求v0的取值范圍。

圖6

解析：大量粒子的入射點和入射方向不變，只有入射速度大小不同，符合“縮放圓”的特點，然后按照縮放圓規律畫出粒子的軌跡(如圖7)，據圖7可很快找到軌跡與ab和cd相切的臨界情況，再利用三角關系求解，解決本題的關鍵是畫出粒子運動的“縮放圓”軌跡。

圖7

3 “旋轉圓”的應用

圖8

(1) 最后離開磁場的粒子從粒子源射出時速度的大小；

(2) 速度方向與y軸正方向的夾角。

解析：大量粒子的入射速度大小和入射點不變，只有入射方向不同，符合“旋轉圓”的特點，按照旋轉圓規律畫出粒子的軌跡(如圖9)，據圖9可以很快找到運動軌跡與上邊界相切是極值，再利用三角關系求解，解決本題的關鍵是畫出粒子運動的“旋轉圓”軌跡。

圖9

在教學中教給學生解決此類問題的“三板斧”后，可以有效突破帶電粒子在有界磁場中運動的難點。根據帶電粒子的入射點、入射方向和入射速度三個變量的特點，快速從“平移圓”“縮放圓”和“旋轉圓”中確定解題方向，大大降低了問題的難度，有助于學生深入理解問題的本質。