基于Timoshenko模型的樁基多維動力阻抗分析

熊輝，吳超然

基于Timoshenko模型的樁基多維動力阻抗分析

熊輝，吳超然

(湖南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410082)

基于樁土相互作用的動力文克爾地基梁模型，樁基被等效為Timoshenko梁并建立運動方程。考慮樁身軸向壓力的二階效應及土層天然分層特性，提出計算層狀土中單樁及群樁在水平振動阻抗的改進方法。通過數值計算，比較不同條件下Euler-Bernoulli模型與Timoshenko模型單樁及群樁樁頂振動特性。研究結果表明：采用Timoshenko模型計算所得到的單樁水平阻抗以及群樁相互作用因子均出現正值減小，負值增大的情況；且隨著樁身長徑比的變小，剪切剛度對該情況的影響也逐漸增大。同時樁頂軸向壓力以及被動樁的空間相對位置對群樁相互作用因子的求取存在一定影響。

Timoshenko模型；傳遞矩陣法；動力相互作用因子；軸向荷載

樁基礎作為埋入土層的柱形構件，因其具有良好的受力性能及抗震表現且能適應各種土質條件而在基礎工程領域得到廣泛應用。故而，研究地震作用下的樁?土動力響應仍是工程領域比較具有研究意義的課題。實際工程中，樁基往往以群樁的形式出現，求解群樁動力阻抗時需考慮鄰樁的動力相互作用。為求解動力相互作用因子通常采用Winkle模型、連續介質模型以及有限元法和邊界元法的數值分析模型。陳海兵等[1]采用簡化邊界元模型評估動力作用下群樁的水平動力響應，劉林超等[2]利用連續介質模型得到了飽和土層的水平動力阻抗，蔡可鍵[3]將有限單元法用于分析橋梁基樁的動力響應。但數值分析模型計算復雜、連續介質模型在均勻土層中對水平動力阻抗的求取有所欠缺。故Gazetas等[4?6]采用Winkle地基梁模型，推導出單樁及群樁動力阻抗的簡化計算方法并將其應用在彈性模量隨深度線性變化的土層中。在此基礎上，國內學者進行了更深入的研究：考慮土體的天然分層[7]、考慮軸力的參與[8?9]等因素并與過往文獻進行對比分析，得到許多成果。上述研究均基于Euler-Bernoulli模型，只能適用于小直徑樁。姚戈等[10]將Timoshenko梁引入連續介質模型，研究線性黏彈性土層中Timoshenko模型端承樁水平振動的動力特性。高廣進等[11]引入樁身剪切變形及轉動慣量并建立方程，得到群樁阻抗的改進計算方法。余濤等[12]采用Biot動力固結理論對Timoshenko梁模型樁基計算，得到單樁頂動力復阻抗解析解。同時Timoshenko模型不僅僅用于實心樁，欒魯寶等[13]運用考慮剪切變形的PCC樁，推導出PCC樁的動力復阻抗變化規律。本文結合現有的研究成果，采用基于樁土相互作用的動力文克爾模型，樁基被等效為Timoshenko梁，考慮樁身軸向壓力的二階效應，采用傳遞矩陣法詳細推導出多維荷載(水平荷載、軸向荷載及彎矩)作用下的群樁動力相互作用因子。

1 樁基水平振動阻抗求解

1.1 單樁水平動力阻抗求解

樁基簡化為Timoshenko梁并將樁側土體簡化為與樁相連的彈簧和阻尼器，同時考慮到土層的分層特性與豎向荷載的二階效應，計算模型如圖1所示。在簡諧力作用下，第層土中單樁水平振動平衡微分方程為：

圖1 單樁水平振動模型

假設在水平諧荷載作用下，樁的激勵位移為：

將式(2)化簡為關于水平位移的函數并代入式(1)，可得：

式(3)的解為：

其中：式(5)中11i，11i，11i和11i均為待定系數，h為第層土厚度，其余參數如下所示：

同時對于樁身剪力及彎矩與其位移轉角的關系式如下：

將式(5)代入式(4)，(7)和(8)可得第層土體樁身單元的水平位移u()，樁身轉角()，剪力Q()和彎矩M()同11i，11i，11i和11i的關系：

式(9)中符號表達式如下：

將第層土層厚度h代入式(9)，消去11i，11i，11i和11i可得該被動樁身單元頂端和底端的應力和應變關系：

將樁身根據土層性質自上而下分割為個單元，根據界面不分離的原則，第單元與第-1單元分層面處的位移、剪力、轉角、彎矩必須相等，采用傳遞矩陣法可知樁身頂部11(0)，11(0)，11(0)和11(0)與樁身底處對應關系式如下：

其中：

式中：為樁身長度。對于端承樁，底端嵌固，()=0，()=0代入上式可得樁頂阻抗函數：

1.2 群樁水平動力相互作用因子

通過單樁水平動力阻抗及相互作用因子便可求得群樁水平動力阻抗。Dobry & Gazetas提出二維應變模型并給出因主動樁振動所產生的位移場方程。其相互作用模型如圖2所示，圖中u為土體 位移。

圖2 鄰樁動力相互作用模型

式中：11為主動樁所產生的水平位移；為主動樁與被動樁的距離；為主動樁荷載方向與主動樁和被動樁連線的夾角。

則式(19)的解為：

式中：

其中各參數表達式如下：

將第層土層厚度h代入式(24)，消去21i，21i，21i，21i，11i，11i，11i和11i，可得該被動樁單元頂端和底端的應力和應變關系：

其中：

根據界面不分離的原則，采用傳遞矩陣法可知樁身頂部11(0)，11(0)，11(0)和11(0)與樁身底部對應關系式如下：

根據樁間水平相互作用因子的定義，可得：

2 算例分析

2.1 單樁水平動力阻抗驗證與分析

參考上述公式推導，用于計算如下實例：單樁長徑比(為樁身長度)分別為6和10，彈性模量為38 GPa，剪切模量21 GPa，質量密度為 2.35×103kg/m3，該樁為端承樁，樁底嵌固于底部基巖上，計算土層分為5層，樁身范圍內的土層為4層，樁底 1 層，每層厚度均為/4。其各土層材料參數如表 1所示。

表1 土層屬性參數

(a) 實部剛度；(b) 虛部阻尼

計算過程中樁頂軸力不變，單樁水平動力阻抗對比圖如圖3所示。本文EB模型(Euler-Bernoulli)由文中TB模型(Timoshenko)不考慮剪切剛度簡化而來，其計算結果同文獻[14]對比趨勢較為一致且數值相差不大，說明本文所采取的計算模型是可取。通過EB模型與TB模型對比可以看出：對于實部剛度與虛部阻尼，TB模型較EB模型的計算結果偏小由此可見剪切剛度對水平阻抗存在一定削弱作用，隨著樁身長徑比的變小，剪切剛度對該情況的影響也逐漸明顯。

2.2 群樁動力相互作用因子計算與分析

2.2.1 2樁算例

2樁算例沿用單樁分析的算例，平面示意圖參照圖4，具體土屬性參數如表 1 所示，樁身長徑比/分別為6和10，彈性模量為38 GPa，質量密度為 2.35×103kg/m3，2樁間距為5.0 m，于2樁連線平行方向上在源樁作用一簡諧力。

圖5中為2樁水平動力相互作用因子。比較土中計算結果可以得到以下規律：在慣性作用下主動樁與被動樁的實虛部動力相互作用因子的都表現出了較為一致的頻率相關性，通過與文獻[14]方法結果對比，可知本文的計算結果與文獻具有較為一致趨勢，是較為可信的計算結果。且隨著樁身長徑比的變小，剪切剛度對該情況的影響也逐漸增大，但沒有單樁那么明顯。同時本文將TB模型1(考慮軸力)與TB模型3(不考慮軸力)進行對比發現：軸向力的作用增大了主動樁對被動樁的影響，實部與虛部均表現為正值減小，負值增大的一致性。

圖4 2樁平面示意圖

(a) 實部；(b) 虛部

2.2.2 群樁算例

由于主動樁沿各方向傳遞的剪切波速是不一致的，故需考慮被動樁的空間相對位置對結果求取的影響[6]。群樁算例采用4樁為例，其以源樁為圓心，樁間距為5 m，分別以與諧振力方向夾角為0°，45°和90°排列，平面示意圖參照圖6。樁身長徑比/均為10，彈性模量為38 GPa，質量密度為2.35×103kg/m3，其余參數參照單樁算例參數。

圖6 群樁平面示意圖

圖7給出的是以1樁為主動樁時在水平振動作用下群樁的動力相互作用因子圖，其中1-y是樁號的作用標識，意為主動樁1號對被動樁y號的水平作用分析曲線，通過比較可發現，諧振力作用下的動力相互作用因子出現較為一致的頻率相關性，隨著角度的增大，實部與虛部的相互作用因子變化周期也明顯變小。

(a) 實部；(b) 虛部

3 結論

1) 基于樁土相互作用的動力文克爾模型。采用與頻率相關的彈性元件和黏性元件來模擬地基剛度，樁基被等效為Timoshenko梁，考慮土層天然分層特性及樁身軸向壓力的二階效應，分析表明該模型在大直徑樁的分析中對樁?土水平動力相互作用作出更加精確的數值分析。

2) 在單樁水平阻抗以及群樁的相互作用因子求解分析中，若采用Euler-Bernoulli模型，所得到的結果相較于本文理論要偏大。且隨著樁身長徑比的變小，剪切剛度對該情況的影響也逐漸明顯。此時，需要引入考慮剪切變形的Timoshenko梁模型進行計算，才能達到理想的效果。

3) 樁頂軸向壓力以及被動樁的擺放位置對群樁的相互作用因子存在影響，通過2樁及4樁算例可知：實部與虛部的相互影響因子的隨著軸向力的參與均表現為正值增大，負值減小的趨勢；而隨著被動樁與主動樁的連線同諧振力方向夾角的增大使得相互影響因子的波動周期明顯加快。

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Multi-dimensional dynamic impedance analysis of pile foundation based on Timoshenko model

XIONG Hui, WU Chaoran

(School of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)

Based on the hypothesis of dynamic Winkler model between pile and soil, a vibration equation was established by making the pile equivalent to a Timoshenko beam. An improved method was deduced to compute the lateral dynamic impedance of piles, which took second-order effect of axial pressure and soillayer natural stratification characteristics into account. Through numerical calculation, the vibration characteristics of single pile and pile group under different conditions were compared between Euler-Bernoulli model and Timoshenko model. The results show that the horizontal impedance of single pile and the interaction factor calculated by Timoshenko model both decrease positively and increase negatively. With the decrease of the length-diameter ratio of the pile, the influence of shear stiffness on the situation increases gradually. At the same time, the axial load and the relative position of passive piles have some influence on the calculation of pile group interaction factors.

Timoshenko model; transfer matrix method; dynamic interaction factor; axial load

TU473

A

1672 ? 7029(2019)10? 2434 ? 08

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2019.10.008

2018?12?26

教育部新世紀優秀人才支持計劃項目(NCET-13-190)

熊輝(1975?)，男，湖南桃源人，副教授，博士，從事結構抗震及土?結構相互作用的研究工作；E?mail：xionghui5320@163.com

(編輯 涂鵬)