考慮剪切變形效應(yīng)下波形鋼腹板組合箱梁的矩陣分析方法

羅奎，冀偉，馬萬良

考慮剪切變形效應(yīng)下波形鋼腹板組合箱梁的矩陣分析方法

羅奎，冀偉，馬萬良

(蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

為精確分析鋼腹板剪切變形效應(yīng)對波形鋼腹板組合箱梁位移的影響，基于勢能駐值原理以波形鋼腹板組合箱梁截面的豎向位移、彎曲角位移及剪切角位移為未知位移函數(shù)，推導(dǎo)出波形鋼腹板組合箱梁在考慮鋼腹板剪切變形效應(yīng)下的單元剛度矩陣和結(jié)點荷載列陣。根據(jù)推導(dǎo)所得的單元剛度矩陣和結(jié)點荷載列陣，采用MATLAB軟件編制考慮鋼腹板剪切效應(yīng)影響的波形鋼腹板組合箱梁位移計算的求解程序。MATLAB求解程序計算所得撓度值的正確性，得到實測值和三維有限元值的驗證。研究成果將考慮剪切變形效應(yīng)下波形鋼腹板組合箱梁力學(xué)性能復(fù)雜計算的問題，方便地納入到普通桿系結(jié)構(gòu)矩陣位移結(jié)構(gòu)體系中，避免了ANSYS有限元模型建立和求解的復(fù)雜性，可為今后波形鋼腹板組合箱梁橋的設(shè)計計算提供參考。

波形鋼腹板組合箱梁；剪切變形；剛度矩陣；勢能駐值原理；撓度

波形鋼腹板的厚度較薄，且其外觀為波折狀，鋼腹板受到剪切作用將會產(chǎn)生很大的剪切變形，從而導(dǎo)致波形鋼腹板組合梁的變形明顯增大。國內(nèi)外眾多學(xué)者在波形鋼腹板組合箱梁橋的剪切性能方面開展了大量的研究工作：Khalid等[1]研究了在正常使用極限狀態(tài)下，波形鋼腹板的剪切變形引起的主梁的變形將隨主梁高跨比的增加而增大，其增大幅值可達到10%~40%；劉保東等[2]在考慮波形鋼腹板剪切變形通過模型試驗和有限元分析得到，剪切變形對波形鋼腹板箱梁的撓度影響較大，剪切變形可使撓度增大44.7%；Samanta等[3]提出了波形鋼腹板的剪切模量和其自身的外形尺寸密切相關(guān)；Hassanein等[4]對波形鋼腹板的剪切屈服強度進行了研究；K?esdi等[5]研究了因波形鋼腹板的剪切變形而引起的翼板附加橫向彎矩；李宏江等[6]研究了剪切變形對波形鋼腹板箱梁撓度的影響，指出不同的剪跨比下，剪切變形對箱梁撓度的影響不同；冀偉等[7-8]綜合考慮箱梁的剪力滯效應(yīng)和鋼腹板剪切變形，推導(dǎo)出了波形鋼腹板組合箱梁的撓度計算公式；李立峰等[9-10]針對波形鋼腹板的抗剪性能開展了大量的研究工作；聶建國等[11]建立了考慮腹板剪切行為的波形鋼腹板理論模型，將波形鋼腹板的彎曲行為分解為桁架作用和彎曲作用，給出了鋼腹板剪切變形的簡化計算的方法。雖然國內(nèi)外學(xué)者在波形鋼腹板組合箱梁橋的剪切性能方面的研究已取得了顯著的成就，但目前對在考慮鋼腹板剪切效應(yīng)下波形鋼腹板組合箱梁橋的矩陣分析方法的研究成果較少。大多數(shù)學(xué)者推導(dǎo)的理論解析解只適用于特定的邊界條件和荷載，此外采用ANSYS有限元建立實體模型進行分析費時費力。因此，本文提出波形鋼腹板組合箱梁橋撓度計算的一種簡便方法，即矩陣分析方法，可為今后該橋型的設(shè)計提供一定的參考。

1 波形鋼腹板組合箱梁的單元剛度矩陣

1.1 基本假定

1) 假定波形鋼腹板在縱向平面內(nèi)的壓縮?拉伸剛度可以忽略不計，只考慮腹板內(nèi)的剪切剛度；

2) 在變形后，混凝土頂、底板各自滿足平截面假定，但波形鋼腹板組合箱梁整個截面不符合平截面假定，其縱向位移滿足剛性截面假定；

3) 假設(shè)混凝土頂、底板豎向纖維間無相互擠壓，忽略混凝土頂?shù)装迤矫嫱饧魬?yīng)變和橫向正 應(yīng)變[12]；

4) 混凝土頂、底板和波形鋼腹板均為理想的彈性材料，除了剪切模量的計算外，其他的泊松比假定為0，不考慮剪力滯效應(yīng)的影響；

5) 假設(shè)梁在彈性范圍內(nèi)工作，忽略普通鋼筋和預(yù)應(yīng)力鋼筋的影響[12]，不考慮梁的扭轉(zhuǎn)；

6) 梁的橫向翹曲忽略不計。

如圖1所示，波形鋼腹板組合箱梁可視為由混凝土頂板、底板和波形鋼腹板組合而成。為研究波形鋼腹板剪切變形的影響，本文將波形鋼腹板組合箱梁截面的位移分為豎向位移、彎曲角位移及剪切角位移3部分。

引入直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點取在箱梁整體截面的形心位置處，軸的正方向與變形前組合梁的軸線方向保持一致。假定組合梁截面存在一豎向?qū)ΨQ軸，讓面與組合梁的對稱平面相互重合。受到豎直面內(nèi)的荷載作用，波形鋼腹板發(fā)生剪切變形，混凝土頂板和底板產(chǎn)生轉(zhuǎn)角，如圖1所示，假設(shè)順時針轉(zhuǎn)向為正方向。

圖1 波形鋼腹板梁的分析模型

在應(yīng)用勢能駐值原理推導(dǎo)波形鋼腹板組合箱梁的單元剛度矩陣時引入3個廣義位移的概念，即箱梁的豎向撓度()，彎曲轉(zhuǎn)角()和剪切轉(zhuǎn)角()。波形鋼腹板組合箱梁的橫截面細部尺寸如圖2所示，其混凝土頂板、腹板和混凝土底板的任意一點的縱向位移可以表示為：

圖2 梁的橫截面尺寸示意圖

其中：

式中：u()表示頂板的縱向位移；u()表示波形鋼腹板的縱向位移；u()表示底板的縱向位移；h為頂板的下邊緣到截面形心的距離；h為頂板中心到截面形心的距離；h為底板中心到截面形心的距離；h為底板的上邊緣到截面形心的距離；b為頂板的寬度；b為底板的寬度；t為頂板的厚度；t為底板的厚度；t為波形鋼腹板的厚度。

1.2 波形鋼腹板組合箱梁總勢能的計算

頂板的正應(yīng)變：

頂板的剪應(yīng)變：

腹板剪應(yīng)變：

底板的正應(yīng)變：

底板的剪應(yīng)變：

波形鋼腹板組合箱梁的總勢能包括混凝土頂板、底板和鋼腹板的應(yīng)變能以及外力勢能，現(xiàn)將應(yīng)變能和外力勢能計算如下。

頂板內(nèi)的應(yīng)變能：

腹板內(nèi)的應(yīng)變能：

底板內(nèi)的應(yīng)變能：

外力勢能：

式中：1，2和U分別為混凝土頂板、鋼腹板、混凝土底板的應(yīng)變能；為外力勢能；為作用在梁上的外荷載集度；E，G和G分別為混凝土的彈性模量、剪切模量和波形鋼腹板有效剪切模量；為頂?shù)装宓募羟行拚蜃樱瑥亩偟膽?yīng)變能為：

式中：為總的應(yīng)變能。

波形鋼腹板組合箱梁的總勢能由其應(yīng)變能和外力勢能構(gòu)成，即：

將式(6)~(10)代入式(11)~(13)，則可求得波形鋼腹板的混凝土頂板、鋼腹板以及混凝土底板的應(yīng)變能，再代入式(15)，得到體系的總的應(yīng)變能，再將式(14)和式(15)代入式(16)得到總勢能為：

1.3 波形鋼腹板組合箱梁單元剛度矩陣的推導(dǎo)

如圖3中的直線梁單元，和兩端的位移如圖3所示。

圖3 梁單元示意圖

用適當(dāng)形式的形函數(shù)()對結(jié)點位移進行插值來進行數(shù)值逼近，即將其()，()和()寫成下列形式：

其單元平衡方程可表示為：

其中：

式中：為單元剛度矩陣；為單元結(jié)點位移列陣；為單元結(jié)點力列陣。

假設(shè)形函數(shù)為：

將式(18)~(20)以及式(22)代入式(17)，可以求得總勢能Π，用勢能駐值原理推導(dǎo)波形鋼腹板組合箱梁在考慮剪切變形效應(yīng)下的單元剛度矩陣和結(jié)點力列陣，其總勢能可以表示成廣義位移，和的函數(shù)，即：

則由多元函數(shù)微分學(xué)即知，Π取駐值的充分必要條件是：

由式(24)總勢能分別對廣義位移，和求偏導(dǎo)數(shù)，并將其結(jié)果寫成矩陣的形式為：

其中：

由式(21)和式(25)可知單元剛度矩陣為：

其中：

結(jié)點力列陣為：

2 算例分析

為驗證本文在考慮波形鋼腹板剪切變形效應(yīng)下推導(dǎo)的波形鋼腹板組合箱梁單元剛度矩陣的正確性，采用MATLAB軟件編制了考慮鋼腹板剪切變形效應(yīng)影響下的波形鋼腹板組合箱梁位移計算的求解程序。對波形鋼腹板組合簡支梁橋的撓度進行了計算分析。

2.1 簡支梁算例1

將本文采用MATLAB軟件編制的波形鋼腹板組合箱梁位移計算程序求解得到的撓度值與文獻[2]的實測值和有限元值進行比較。文獻[2]試驗梁截面細部尺寸如圖4所示，試驗梁總長10 m，計算跨徑為9.6 m，梁高0.6 m，混凝土頂板寬2.34 m，其鋼腹板厚2.5 mm。混凝土的彈性模量為3.68×1010Pa，鋼材采用優(yōu)質(zhì)Q235鋼。

單位：cm

圖5 算例1中不同方法得到的跨中撓度值對比

將本文MATLAB程序的計算值與模型試驗的實測值[2]及MIDAS三維有限元計算值[2]進行對比，其對比結(jié)果如圖5所示。

由圖5可以看出，采用本文編制的程序計算的簡支梁的撓度值與三維有限元模型的計算值和實測值吻合較好。試驗梁的實測值最小，MIDAS有限元計算值最大，而本文程序計算值處于兩者之間。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是制作試驗梁時實際尺寸偏大，導(dǎo)致試驗梁的剛度增大，因此試驗撓度實測值就偏小；MIDAS有限元值求得的撓度最大可能是在建立模型時忽略了橫隔板的影響，MIDAS模型的剛度偏小導(dǎo)致其撓度最大。從而驗證了本文所推導(dǎo)的波形鋼腹板組合箱梁的單元剛度矩陣的正確性和采用MATLAB軟件編制的波形鋼腹板組合箱梁位移計算的求解程序的適用性。

2.2 簡支梁算例2

將本文采用MATLAB軟件編制的波形鋼腹板組合箱梁位移計算程序求得的撓度值與文獻[6]的實測值和有限元值進行對比，文獻[6]試驗梁是根據(jù)已修建的波形鋼腹板箱梁橋(日本新開橋)按縮尺比例制作而成，其橫截面尺寸如圖6所示。梁總長為2.6 m，計算跨徑為2.4 m，跨中單點加載。采用的混凝土材料為C30，波形鋼腹為A3優(yōu)質(zhì)鋼，鋼材的彈性模量為E=2.1×1011Pa，泊松比為0.3。

在各級加載條件下，本文程序?qū)缰袚隙扔嬎阒蹬c模型試驗的實測值和MIDAS有限元計算值[6]進行了對比，結(jié)果如圖7所示。

單位：mm

由圖7可知，采用本文程序計算文獻[6]中的實驗梁的撓度值與三維有限元模型的計算值[6]和實測值[6]吻合較好。試驗梁的本文程序計算值最大，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是制作試驗梁時實際尺寸偏大，導(dǎo)致試驗梁的剛度增大，因此試驗撓度實測值就偏小；MIDAS有限元值求得的撓度值也比本文程序計算值小，可能是建立MIDAS模型時把橫隔板的數(shù)量建立的太多，使其剛度偏大導(dǎo)致其撓度減小。從而驗證了本文所推導(dǎo)的單元剛度矩陣的正確性和采用MATLAB軟件編制的波形鋼腹板組合箱梁位移計算的求解程序的適用性。

圖7 算例2中不同方法得到的跨中撓度值對比

2.3 簡支梁算例3

將本文采用MATLAB軟件編制的波形鋼腹板組合箱梁位移計算程序求得的撓度值與文獻[10]和文獻[13]的實測值和三維有限元模型計算值進行對比，文獻[10]和文獻[13]中的試驗梁是以南寧?百色高速公路上的一座波形鋼腹板預(yù)應(yīng)力簡支箱梁橋(總長40 m)為原模型，按1:4的縮尺比例進行制作，試驗梁計算跨徑為9.745 m，試驗梁的橫截形狀如圖8所示。

單位：mm

試驗梁波形鋼腹板厚度為2.5 mm。試驗梁混凝土為C50，其彈性模量為E=3.45×1010Pa，混凝土的泊松比為0.167。波形鋼腹板采用Q345A結(jié)構(gòu)鋼，其厚度為2.5 mm。

各級加載條件下，將本文程序計算的1/4跨和跨中撓度值與模型試驗的實測值[13]及ANSYS有限元計算值[12]進行對比，對比結(jié)果如圖9~10所示。

圖9 算例3中不同方法所得的1/4跨撓度值對比

圖10 算例3中不同方法得到的跨中撓度值對比

從圖9和圖10可以看出，采用本文所編制的程序計算文獻[10]和文獻[13]中的實驗梁的1/4跨和跨中撓度值與三維有限元模型的計算值和實測值吻合較好。試驗梁的本文程序計算值最大，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是制作試驗梁時實際尺寸偏大，導(dǎo)致試驗梁的剛度增大，因此試驗撓度實測值偏小；ANSYS有限元值求得的撓度值也比本文程序計算值小，可能是建立ANSYS模型時把橫隔板的數(shù)量建立的太多，使其剛度偏大導(dǎo)致其撓度減小。從而驗證了本文計算方法的正確性。

文中采用MATLAB軟件編制的波形鋼腹板組合箱梁位移計算程序使用簡單。因為采用ANSYS有限元軟件去建立有限元模型，混凝土頂、底板和橫隔板需要采用SOLID 45實體單元進行模擬，波形鋼腹板采用SHELL 63殼單元進行模擬，且不同的橋梁都得重新去建模，采用ANSYS有限元建立實體模型進行分析費時費力。用本文的位移求解程序計算不同的波形鋼腹板組合箱梁橋時，只需改變程序中的材料參數(shù)、計算跨徑、邊界條件以及荷載工況即可，使得計算過程變得很簡單。

3 計算結(jié)果對比分析

為討論本文位移計算的求解程序的適用范圍，選取文獻[14]中的計算模型的截面尺寸，改變其計算跨徑，其他條件和文獻[14]保持不變。波形鋼腹板的厚度為2 mm，波形鋼腹板的水平段長度為40 mm，斜板段的水平投影為32 mm，波高為24 mm，截面尺寸如圖11所示。采用C50混凝土，彈性模量為3.5×104MPa，泊松比為0.166 7；鋼材的彈性模量為1.95×105MPa，泊松比為0.3；為對比不同長細比下本文位移求解程序的適用性，將計算跨徑依次取為7.200，1.44和0.432 m，則其相應(yīng)的長細比為47.84，9.57和2.87。

單位：mm

采用ANSYS 18.0有限元軟件建立三維有限元模型。考慮到混凝土頂、底板和橫隔板厚度較大，采用SOLID 45實體單元建模，而波形鋼腹板采用SHELL 63殼單元進行建模，建立的三維有限元模型如圖12所示。

圖12 ANSYS有限元節(jié)段模型

先驗證建立的ANSYS三維有限元模型的正確性，建立計算跨徑為7.055 m的有限元模型與文獻[14]進行對比，在跨中集中力=20 kN作用下，對比結(jié)果如表1所示。

從表1可以看出，ANSYS有限元模型的計算值與文獻[14]中的計算值吻合較好，相對誤差在0.57%以內(nèi)，從而驗證了所建立的ANSYS三維有限元模型的正確性。

表1 集中荷載作用下?lián)隙戎祵Ρ?/p>

不同長細比的波形鋼腹板組合箱梁橋，在跨中集中力=20 kN作用下，將采用本文程序計算的跨中撓度值和ANSYS三維有限元值進行對比，對比結(jié)果如表2所示。

表2 不同長細比跨中撓度值對比

Table 1 Comparison of mid-span deflection with different slenderness ratio

4 結(jié)論

1) 考慮波形鋼腹板的剪切變形效應(yīng)，基于勢能駐值原理推導(dǎo)了波形鋼腹板組合箱梁的單元剛度矩陣。采用MATLAB軟件根據(jù)其單元剛度矩陣和結(jié)點荷載列陣編制波形鋼腹板組合箱梁位移計算的求解程序。求解程序計算所得的撓度值與三維有限元模型的計算值和實測值吻合較好，位移計算程序具有較高的精度，可指導(dǎo)設(shè)計和施工。

2) 波形鋼腹板組合箱梁撓度計算應(yīng)計入波形鋼腹板剪切變形的影響，位移計算的求解程序使用十分簡便，避免了ANSYS三維有限元模型建立和求解的復(fù)雜性。

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Matrix analysis method considering shear deformation effect for composite box girder with corrugated steel webs

LUO Kui, JI Wei,MA Wanliang

(College of Civil Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China)

In order to accurately analyze the effect of shear deformation of steel web on displacement of corrugated steel web composite box girder, the vertical displacement, bending angular displacement and shear angular displacement of corrugated steel web composite box girder were considered as unknown displacement functions based on the potential energy standing value principle. The element stiffness matrix and the node load array of the corrugated steel web composite box girder under the shear deformation effect of the steel web were derived. According to the derived element stiffness matrix and node load array, the solution program for calculating the displacement of corrugated steel web composite box girder considering the influence of steel web shearing effect was compiled by MATLAB software. The correctness of the deflection calculated by the MATLAB program was verified by the measured values and the three-dimensional finite element values. The research results will consider the complex calculation of the mechanical properties of corrugated steel web composite box girder under shear deformation effect, which is conveniently incorporated into the matrix displacement structure system of ordinary bar system structure, avoiding the complexity of establishing ANSYS finite element model and solving it and can provide reference for design and calculation of composite box girder bridge with corrugated steel webs in the future.

composite box girder with corrugated steel webs; shear deformation; stiffness matrix; the principle of potential energy; deflection

U448.21+6

A

1672 ? 7029(2019)10? 2505 ? 09

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2019.10.017

2019?01?14

國家自然科學(xué)基金資助項目(51708269，51868039)；甘肅省自然科學(xué)基金資助項目(18JR3RA115)；甘肅省住房和城鄉(xiāng)建設(shè)廳科研項目(JK2018?46)

冀偉(1982?)，男，山西陽泉人，副教授，博士，從事組合橋梁的分析計算與設(shè)計理論研究；E?mail：jiwei1668@163.com

(編輯 陽麗霞)