固定翼線圈姿態變化對動態和靜態響應的影響與校正

朱凱光，王昊，彭聰，張瓊，范天姣

(1.吉林大學儀器科學與電氣工程學院，吉林長春，130061；2.地球信息探測儀器教育部重點實驗室，吉林長春，130026)

航空電磁法作為一種高效的勘查方法，在國 內外已經廣泛應用于礦產普查、油氣資源勘探以及海洋調查等方面。航空電磁探測通常以直升機、固定翼等作為飛行平臺，其中固定翼時間域航空電磁探測具有探測深度深、測量精度高等優點，其工作原理是：發射線圈通入發射電流產生一次脈沖磁場，一次脈沖磁場在大地導體傳播過程中會產生渦流，電流關斷后，渦流會產生隨時間變化呈現指數衰減的二次場，通過研究二次場的衰減特點來判斷地下導體的分布情況[1-3]。在飛機飛行平穩時，接收裝置所接收到的電磁響應可認為是線圈處于水平狀態所感生的靜態響應；但在實際飛行中，受飛行速度、風向等影響，飛行不平穩，接收裝置接收到的電磁響應由線圈姿態變化過程中切割磁場產生的動態響應以及線圈處于傾斜狀態下所感生的靜態響應組成。ANNAN[4]最早提出接收線圈的擺動或姿態變化會影響靜態響應，SON[5]研究了單一吊艙旋轉對靜態響應的影響；HOLLADAY 等[6]在進行海洋冰層探測時發現吊艙擺動會使探頭高度發生變化，通過對探頭高度校正來實現靜態響應的校正；YIN等[7]基于重疊偶極模型對直升機頻率域的靜態響應進行校正；KRATZER 等[8]對吊艙發生周期性擺動所帶來的激光測高儀誤差進行校正；嵇艷鞠等[9]對直升機中心回線線圈姿態實現幾何的校正；王琦等[10]分析固定翼線圈姿態角度對響應系數的影響并對線圈姿態變化產生的靜態響應進行校正；曲昕鑫等[11]既考慮磁偶極子方向上的變化又考慮位置上的變化，進而提出整體校正方法，提高校正精度；李光等[12]通過記錄飛行姿態角度，并在滿足重疊磁偶極子模型的條件下，實現對儀器偏置的實時校正；賁放等[13]對直升機吊艙分離裝置進行分析，基于重疊偶極子的假設，給出用于實際工作的校正因子，提高處理效率。但目前國內外都只對線圈處于傾斜狀態下所產生的靜態響應進行分析與校正，并沒有考慮到線圈姿態變化過程中切割磁場所產生的動態響應。本文作者基于法拉第電磁感應定律，推導出線圈姿態變化時的動態和靜態響應表達式，并分析線圈姿態變化對動態和靜態響應的影響，進而提出校正方法，對線圈姿態變化時的動態和靜態響應進行校正。通過對仿真大地模型校正前后的剖面數據進行分析，驗證該校正方法的有效性。

1 動態和靜態響應計算

固定翼時間域航空電磁探測示意圖如圖1所示，飛機沿著x軸的正方向飛行，飛機距地面的高度為h，系統的水平收發距為r，飛機纜繩與豎直方向的夾角為θ，懸繩的長度為L，發射線圈位于z軸，坐標(0，0，h)，接收線圈的坐標為(x0，y0，z0)。

圖1 固定翼時間域航空電磁探測示意圖Fig.1 Sketch map of fixed-wing time-domain airborne electromagnetic survey

根據法拉第電磁感應定律，在實際飛行過程中，線圈姿態變化時的電磁響應為

式中：S為接收線圈的面積。航空電磁探測飛行過程中的磁場B主要由2部分組成：一部分是地磁場Be；另一部分是線圈姿態變化時地下導體激發產生的二次場Bs。因此，式(1)可寫成：

由于地磁場強度遠比地下介質激發產生的二次場的大，且在實際飛行過程中地磁場強度可以認為是一個常值，因此，式(2)可寫成：

式中：ε1為線圈姿態變化過程中切割磁場產生的動態響應；ε2為線圈處于傾斜狀態下所感生的靜態響應。

為研究線圈姿態變化對動、靜態響應的影響，引入2個坐標系，即慣性坐標系(x,y,z)和線圈坐標系(x′,y′,z′)。慣性坐標系的xoy平面與地面平行[9,11]，x軸沿著飛行方向，y軸在xoy平面內與飛行方向垂直，z軸與xoy面相垂直；發射、接收線圈坐標系的x′oy′平面分別與發射、接收線圈的平面重合，z′軸與發射、接收線圈的平面垂直。線圈坐標系隨著線圈姿態變化而發生旋轉，慣性坐標系與線圈坐標系的轉換關系可以用旋轉矩陣來實現[14]。

線圈繞x，y和z軸的旋轉矩陣T為

式中：α'，β'和γ'分別為線圈搖擺、俯仰和偏航角度。

利用旋轉矩陣將線圈坐標系下的向量N'表示為慣性坐標系下的向量N。

由于本文收發線圈為z分量發射、z分量接收的方式，線圈的偏航旋轉對電磁響應幾乎沒有影響，因此，本文只考慮線圈的搖擺和俯仰旋轉角度變化。

1.1 動態響應計算

地磁場在慣性坐標系下的坐標表示為[Bex,Bey,Bez]，定義接收線圈面積S在接收線圈坐標系下的法向量A'為[0,0,1]T。利用慣性、接收線圈坐標系之間的轉換關系可得線圈姿態變化過程中切割磁場產生的動態響應ε1:

式中：α和β分別為接收線圈的搖擺和俯仰角度；TRx為接收線圈坐標系中向量進行坐標轉換的旋轉矩陣。由式(6)可以看出：發射線圈姿態變化對動態響應沒有影響，只有接收線圈姿態變化會對其產生影響。

1.2 靜態響應計算

在飛行平穩的情況下，大地激發的二次場為[10]

式中：s 表示s 域；m為系統的發射磁矩；hs為二次場的格林張量；J0和J1分別為零階和一階貝塞爾函數；R0為反射系數；g為積分變量[15-17]。

當發射線圈姿態變化時，發射磁矩方向發生變化，發射磁矩在慣性坐標系下可表示為[10]

式中：m為慣性坐標系下發射磁矩矢量坐標；m′為發射線圈坐標系下發射磁矩矢量坐標；TTx為發射線圈坐標系中向量進行坐標轉換的旋轉矩陣。

在發射線圈姿態變化時的情況下，產生的二次場可表示為

接收線圈姿態變化時，接收線圈面積在慣性坐標系下表示為

因此，經過拉式逆變換，在發射、接收線圈姿態均發生變化的情況下的時間域靜態響應為

2 線圈姿態變化對動態和靜態響應的影響

在固定翼時間域航空電磁探測過程中，發射線圈固定在飛機上，不易受到外力的影響，因此，只對接收線圈姿態變化時的動態響應和靜態響應進行分析。一般在實際飛行探測中，線圈姿態角度在-20°～20°變化，角度變化率在-6～6 (°)/s 內變化，故本文在此角度和角度變化率范圍內進行影響研究。仿真飛機發射高度為100 m，接收高度為70 m，系統水平收發距為70 m，發射磁矩m=522 430 A ?m2。 地磁場三分量為 ：Bex= 33 507 nT，Bey= -5 453 nT，Bez= 36 092 nT。將動態響應歸一化到靜態響應(發射磁矩以及接收線圈面積歸一化)尺度下后，在大地電導率0.02 S/m 的均勻半空間下，以電流關斷后0.08 ms 的采樣時刻為例，研究接收線圈姿態變化對動態和靜態響應的影響。

2.1 接收線圈姿態變化對動態響應的影響

若僅發生搖擺旋轉，式(6)變為

從式(12)可以看出：若搖擺角度變化率不變，當α≤-8°時，搖擺角度越小，動態響應幅值越大；當α>-8°時，搖擺角度越大，動態響應幅值越大。在同一搖擺姿態角度下，角度變化越快，動態響應幅值越大。在搖擺角度為20°、角度變化率為-6(°)/s 時的動態響應最大；搖擺角度為20°、角度變化率為6(°)/s時的動態響應最小。

若僅發生俯仰旋轉，式(6)寫成：

由式(13)得知：若俯仰角度變化率不變且為正值時，俯仰角度越大，動態響應幅值越??；若俯仰角度變化率不變且為負值時，俯仰角度越大，動態響應幅值越大。在同一俯仰姿態角度下，角度變化越快，動態響應幅值越大。當俯仰角度為20°、角度變化率為-6(°)/s時的動態響應最大；當俯仰角度為20°、角度變化率為6(°)/s 時的動態響應最小。

2.2 接收線圈姿態變化對靜態響應的影響

當僅發生搖擺旋轉時，式(11)可寫成：

式中：D0是相應的T0經過G-S 變換、Guptasarma濾波后所得，與線圈姿態角度無關[18-19]。若搖擺角度從-20°逐漸變化到0°時，靜態響應逐漸增大；當從0°變化到20°時，靜態響應逐漸減小。在搖擺角度為0°時，靜態響應最大，在幅度為20°時，靜態響應取得最小值。

當僅發生俯仰旋轉時，式(11)寫為

式中：D1是相應的T1經過G-S 變換、Guptasarma濾波后所得。由式(15)可知：俯仰角度越大，靜態響應越小，在俯仰角度為-20°時，產生的靜態響應最大，俯仰角度為20°時，產生的靜態響應最小。

2.3 接收線圈姿態變化對電磁響應的影響

由式(3)可知：在飛機飛行過程中，實際接收的電磁響應為動態響應和靜態響應之和，因此，需要分析接收線圈姿態變化對電磁響應的影響。

式(12)與(14)相加可得接收線圈搖擺旋轉時的電磁響應：

利用接收線圈姿態變化時的電磁響應與平穩狀態下的電磁響應之比來研究接收線圈搖擺角度以及角度變化率對電磁響應的影響，響應比如圖2所示。其中，x軸為接收線圈搖擺角度，在-20°～20°之間變化；y軸為接收線圈搖擺角度變化率，在-6～6(°)/s之間變化。由圖2可以看出：響應比在0.860～1.038 之間，接收線圈正向搖擺旋轉時對電磁響應的影響較大，正向搖擺旋轉時，響應比取得最大值與最小值。當搖擺角度為9°、搖擺角度變化率為-6(°)/s 時，產生的響應比最大，響應比為1.038；當搖擺角度為20°、搖擺角度變化率為6(°)/s 時，產生的響應比最小，響應比為0.861。在同一搖擺姿態角度下，搖擺角度變化越快，對電磁響應的影響越大。

同理，由式(13)與(15)相加可得接收線圈俯仰旋轉時的電磁響應：

響應比如圖3所示。其中，x軸為接收線圈俯仰角度，在-20°～20°之間變化；y軸為接收線圈俯仰角度變化率，在-6～6(°)/s之間變化。由圖3可以看出：響應比0.586～1.183 之間，俯仰角度為-14°、俯仰角度變化率為-6(°)/s時，產生的響應比最大，響應比為1.183；在俯仰角度為20°、俯仰角度變化率為6 (°)/s 時，產生的響應比最小，響應比為0.586。當俯仰角度變化率不變時，俯仰角度越大，響應比越??；在同一俯仰姿態角度下，俯仰角度變化越快，對電磁響應的影響越大。

從圖2和圖3可知：當接收線圈發生搖擺旋轉時，響應比在0.860～1.038 之間變化；當接收線圈發生俯仰旋轉時，響應比在0.586～1.183之間變化。從整體上來看，接收線圈俯仰旋轉對電磁響應的影響程度要大于搖擺旋轉對電磁響應的影響程度。

3 動態和靜態響應校正

由線圈姿態變化時的電磁響應公式(3)可知：為了對接收線圈姿態變化時的動、靜態響應進行校正，首先要根據已知線圈姿態角度和飛行當地的地磁場計算出線圈姿態變化過程中切割磁場所產生的動態響應，然后用接收線圈姿態變化時的電磁響應減去動態響應實現對動態響應的校正。

式中：Vnp為接收線圈姿態變化時的電磁響應。

在飛行平穩時，產生的電磁響應為接收線圈處于水平狀態下所感生的靜態響應，但接收線圈姿態發生變化時，靜態響應是由接收線圈處于傾斜狀態下所感生。因此，還需對接收線圈姿態變化時所感生的靜態響應進行校正。

將接收線圈處于傾斜狀態下所感生的靜態響應與接收線圈處于水平狀態所感生的靜態響應之比稱之為靜態響應系數。在均勻半空間下，接收線圈發生搖擺、俯仰旋轉時，靜態響應系數Q為

圖2 接收線圈搖擺角度及其角度變化率對電磁響應的影響Fig.2 Influence of angle and angle rate of receive coil roll on electromagnetic response

圖3 接收線圈俯仰角度及其角度變化率對電磁響應的影響Fig.3 Influence of angle and angle rate of receive coil pitch on electromagnetic response

式中：VSt為在均勻半空間下接收線圈處于傾斜狀態所感生的靜態響應；VS為在均勻半空間下接收線圈處于水平狀態所感生的靜態響應。由式(19)可知：當接收線圈僅發生搖擺旋轉時，靜態響應系數只受搖擺角度的影響且與大地電導率無關，此時，只需已知搖擺角度，即可實現對靜態響應的校正；當接收線圈姿態變化中包含俯仰旋轉時，靜態響應系數不僅會受到線圈姿態角度的影響，被測區域的電導率也會影響靜態響應系數，故在接收線圈姿態變化中存在俯仰旋轉的情況下，僅通過幾何校正不能實現靜態響應的校正。

圖4所示為靜態響應系數Q隨接收線圈搖擺、俯仰角度以及電導率的變化情況。x軸為接收線圈的搖擺角度，在-20°～20°范圍內；y軸為接收線圈的俯仰角度，在-20°～20°范圍內；z軸為電導率σ，在0.002 5～20.000 0 S/m范圍內變化。

圖4 搖擺、俯仰角度以及電導率同時存在時的靜態響應系數QFig.4 Static response coefficientQ in roll,pitch and conductivity existing simultaneously

由圖4可以看出：在任意電導率下，當接收線圈搖擺旋轉角度為0°、俯仰角度為-20°時，靜態響應系數最大；當搖擺角度為±20°、俯仰角度為20°時，靜態響應系數最小。當接收線圈俯仰角度、大地電導率不變的情況下，隨著搖擺角度的變化，靜態響應系數變化不明顯；當接收線圈搖擺角度、電導率不變時，隨著俯仰角度的增大，靜態響應系數逐漸減小，若大地電導率較小，靜態響應系數減小的較為緩慢，若大地電導率較大時，靜態響應系數減小的非?？?；當接收線圈的搖擺、俯仰角度不變時，若俯仰角度為負值時，隨著電導率的增大，靜態響應系數逐漸增大，若俯仰角度為正值，隨著電導率的增大，靜態響應系數逐漸減小。從圖4還可知：當接收線圈姿態角度不變時，在一定的電導率范圍內靜態響應系數可以近似不變，可以采用同一個靜態響應系數對靜態響應進行校正。俯仰角度在-8°～8°范圍時，靜態響應系數隨電導率變化較慢，但俯仰角度幅度大于8°時，靜態響應系數隨電導率的變化會略微加快。因此，在不同的俯仰角度下，可將靜態響應系數近似為不變的電導率范圍是不同的，當搖擺角度為10°，俯仰角度分別為-6°和-12°時，繪制靜態響應系數Q隨電導率的變化的曲線，如圖5所示。

圖5 Q隨電導率變化曲線Fig.5 Curve ofQ with conductivity variety

由圖5可以看出：當俯仰角度為-6°時，隨著電導率的變化，靜態響應系數Q變化較為緩慢，在0.002 5～20.000 0 S/m 的電導率范圍內，靜態響應系數Q僅增加0.085，若在0.06～0.60 S/m的10倍電導率范圍內，靜態響應系數Q僅從1.042增加到1.070，增加0.028，因此，在10 倍電導率范圍內，靜態響應系數Q可認為是一個常數。當俯仰角度為-12°時，靜態響應系數Q的增加速度略微加快，在0.002 5～20.000 0 S/m 的電導率范圍內，靜態響應系數Q增加0.129，若在0.06～0.60 S/m的10倍電導率范圍內，靜態響應系數Q從1.088 增加到1.144，增加0.056，此時采用同一個靜態響應系數Q進行校正則會影響校正的精度，因此，當俯仰角度幅度大于8°時，在5倍電導率范圍內，可認為靜態響應系數Q近似不變。根據這一特性，在一定的電導率范圍內，采用同一個Q對靜態響應進行校正，得到校正后的電磁響應：

本文以σ1=0.03 S/m，d1=90 m，σ2=0.3 S/m，d2=50 m，σ3=0.03 S/m三層大地模型為例，在發射高度為100 m、接收高度為70 m，系統水平收發距為70 m，接收線圈搖擺角度為6°，俯仰角度為-15°，搖擺角度變化率為-1 (°)/s，俯仰角度變化率為-0.5(°)/s 的情況下,計算相應的電磁響應，并用電導率0.1S/m 均勻半空間模型的靜態響應系數Q進行校正，校正結果如圖6所示。圖6中：Vp為平穩狀態下的電磁響應；Vj為校正后的電磁響應；Vnps為接收線圈姿態變化時的電磁響應。從圖6可以看出：校正后的電磁響應曲線基本與平穩狀態下的電磁響應曲線相重合。因此，該校正方法可以有效地去除線圈姿態變化對電磁響應的影響。

圖6 電磁響應校正結果Fig.6 Correction result of electromagnetic response

4 仿真結果

在實際飛行過程中，只需已知線圈姿態角度、探測地區的地磁場以及大致電導率即可對動、靜態響應進行校正。但需要注意的是，在記錄飛行姿態角度時，需要提高儀器對姿態角度的采樣率來保證角度以及角度變化率的精確性；若在未知探測地區電導率的情況下，需通過快速成像或反演來獲得當地大致電導率[10,20]，進而利用本文校正方法對線圈姿態變化時的動態響應和靜態響應進行有效地校正。

為了評價上述校正算法在實際中的應用，仿真構建如圖7所示的擬二維大地模型，在測點為130～210 的地下埋深60 m 處有1 個厚度(d)為100 m、電導率為0.2 S/m 的異常，周圍基巖的電導率為0.01 S/m。GEOTEM?1000 系統在加拿大安大略地區飛行時，系統參數如下：發射線圈高度為120 m，接收線圈高度為75 m，系統水平收發距為131 m。GEOTEM?1000 系統在飛行過程中所記錄的搖擺和俯仰角度如圖8所示。

圖7 準二維大地模型Fig.7 Pseudo-2D model

圖8 加拿大安大略地區實測角度Fig.8 Measured angle in Ontario,Canada

當飛機飛行平穩時，在上述擬二維大地模型下正演計算出電磁響應；利用GEOTEM?1000系統所記錄的搖擺、俯仰角度來計算線圈姿態變化時的電磁響應，為了仿真野外實測數據，在得到的電磁響應數據里加入20%高斯噪聲；然后采用大地電導率0.1 S/m 下的靜態響應系數對線圈姿態變化時的電磁響應進行校正。對正演計算所得的電磁響應數據以及校正前后的電磁響應數據進行同樣的預處理，晚期后三道(chan13，chan14 和chan15)的剖面曲線如圖9所示。

從圖9(b)可以看出：由于線圈姿態角度變化，電磁響應剖面數據將會被嚴重影響，甚至會在無異常體區域產生虛假異常，影響對地下異常體的探測。對比圖9(a)，(b)和(c)，利用本文校正方法對線圈姿態變化時的電磁響應進行校正之后，電磁響應剖面數據質量得到有效改善，計算校正前后電磁響應數據的均方根相對誤差由22.00%降低到3.04%。

圖9 晚期道剖面曲線Fig.9 Profile curve of late channel

5 結論

1)在法拉第電磁感應定律基礎上，利用線圈坐標系與慣性坐標系之間的轉換關系計算飛機實際飛行中發射、接收線圈姿態變化時的電磁響應，得出該電磁響應由2部分組成：線圈姿態變化過程中切割磁場所產生的動態響應和線圈處于傾斜狀態下所感生的靜態響應。

2)通過對線圈姿態變化時的動態和靜態響應計算公式進行分析，得出動態響應不只受接收線圈角度影響，角度變化率也會對其產生影響；并得出靜態響應隨線圈姿態角度變化而呈現正余弦規律變化。

3)在實際飛行中，可以利用本文校正方法對線圈姿態變化時的動態和靜態響應進行校正。若僅發生搖擺旋轉，則只需已知線圈的搖擺角度和當地的地磁場，就可以對線圈姿態變化產生的電磁響應進行校正；若線圈姿態變化中存在俯仰旋轉時，由于大地電導率是未知的，需要獲取該飛行區域的地質條件來估計出該地區的大致大地電導率或者通過快速成像來獲得該地區的大致大地電導率，然后利用本文的校正方法進行校正，提高數據質量。