黏彈性結構精細化頻域動力分析方法

蓋盼盼，徐趙東，呂令毅，戴軍

(東南大學土木工程學院，江蘇南京，211189)

黏彈性材料作為一種高效的阻尼材料，已被廣泛應用于航空航天、土木工程、機械工程等領域中的振動控制[1-2]。含有黏彈性材料或者具有黏彈性特性的結構被稱為黏彈性結構，其動力特性常受加載頻率和環境溫度的影響，表現為典型的頻率/溫度依賴性[2-3]，需用復模量模型[4-5]、分數導數模型[6-8]或積分型模型[9-10]進行本構表達，其中積分型模型是基礎模型，其余模型均為該模型的近似或無限逼近[11]，所以，基于黏滯阻尼系統的實模態疊加法無法準確獲得黏彈性結構的頻域響應。國內外學者針對黏彈性結構動力響應的求解方法進行了大量研究，其中應用最為廣泛的是模態應變能法和狀態空間法，前者僅在一定程度考慮黏彈性材料儲能模量和損耗因子的頻率依賴性，并且對于高階模態參數的估計不準確；后者雖然精度較高，但涉及復數計算，且計算量較大。MENON等[12]將黏彈性結構的特征方程轉化為多項式方程，并在狀態空間中建立了等價一階系統，簡化了分析過程。DE LIMA 等[13]提出了采用子結構裝配技術獲得黏彈性結構的頻響函數，并可以方便地與有限元模型結合，但準確頻響函數的獲得對實驗設計的要求過于嚴苛。LáZARO 等[14]采用非阻尼特征向量和具有振蕩特性的復特征向量將黏彈性系統近似為等效黏滯模型，該方法兼備了計算效率和精度，但對應用于非比例阻尼水平較高的系統時應謹慎考慮這種近似對精度的影響。石銀明等[15]引入黏彈性材料的微振子模型建立黏彈性結構的動力方程，并采用魯棒性降階技術縮減方程的維數及提高計算效率。李創第等[16]引入黏彈性材料的廣義麥克斯韋模型建立黏彈性結構的擴階方程，并基于復模態理論獲得了結構地震響應的解析解。具有強頻率依賴性的黏彈性結構動力響應的精確性和效率仍存在較難協調的問題，本文作者將經典黏彈性本構和傳統實模態疊加法結合起來，并采用分步迭代，避免求解含有復數的高階特征方程以提高計算效率；將黏彈性結構頻域響應的求解簡化為多個進行頻率依賴性函數修正的單自由度黏彈性結構頻域響應的疊加，以提高計算精度。

1 黏彈性結構的動力方程

黏彈性材料由于特殊的微觀結構而兼具黏性液體和彈性固體的特性，在動力作用下應變滯后于應力，從而產生阻尼效應。應力應變關系常用松弛函數表示，其中廣義麥克斯韋模型應用廣泛，力學模型如圖1所示，表達方式如下：

式(1)可以在頻域內改寫為復模量的形式：

式 中：G?為剪切復模量；G0，Gj，cj和τj(τj=cj Gj為廣義麥克斯韋模型的參數，通過實驗數據擬合確定；i = -1，為虛數單位。

圖1 廣義麥克斯韋模型Fig.1 Generalized Maxwell model

當結構中含有黏彈性材料或具有黏彈性效應，結構的復剛度可寫成與式(2)相同的形式：

式中：K0為結構中的線彈性剛度項；K1和K2分別為結構黏彈性部分的儲能剛度和耗能剛度。若黏彈性結構中的恢復力以復剛度的形式表示，則黏彈性結構動力方程的頻域形式如下：

式中：M為黏彈性結構的質量矩陣；F為施加于結構上的動力荷載向量；u為位移矩陣。對于黏彈性材料，常用損耗因子η= imag(G?)/real(G?)表征材料的耗能能力，本文仿效黏彈性材料損耗因子的定義，定義黏彈性結構的損耗因子矩陣如下：

式中：K=K0+K1定義為結構的整體剛度。將式(5)代入式(4)，可獲得黏彈性結構動力方程的一般頻域形式：

2 特征方程求解

從式(4)略去動力荷載向量，可獲得黏彈性結構的特征方程：

式中：λ和?分別為特征方程的特征值和特征向量；λj= -ωj2(1 + iηj)；ωj為第j階模態頻率；ηj為第j階模態的損耗因子，與黏滯阻尼結構中的阻尼比ξj的關系為ξj=ηjωj/(2ω)。從式(7)可以看出；K?為復數矩陣且具有明顯的頻率依賴性，致使黏彈性結構的特征方程求解計算量大。為了避免復數運算，忽略方程中的耗能剛度，獲得無阻尼黏彈性結構的特征方程：

需注意的是，當ωj(ω)=ω時，獲得的模態頻率、振型和損耗因子才是考慮剛度矩陣頻率依賴性的模態頻率振型和損耗因子。為適用于實模態疊加法，本文對迭代法[17]進行分步處理來計算黏彈性結構的模態參數，目的在于避免復數運算，依次求得模態頻率和模態損耗因子。首先假設K(ω)=K(0)，求得的第一階模態頻率作為初始迭代頻率ω(0)1，進而更換剛度矩陣K(ω)=K(ω(0)1)，重新求解特征方程(8)，將獲得新第一階模態頻率代入如下收斂準則進行比較：

式(9)中，ε通常取較小值作為迭代法的收斂值。依此類推，可以獲得N個感興趣的模態頻率與振型。整個收斂過程可以用下式表達：

模態損耗因子的計算還需要考慮耗能剛度K2的頻率依賴性，可以按照下式計算：

振型?j為歸一化振型，滿足?Tj ?j= 1。上述求解黏彈性結構特征方程的方法既考慮了復剛度的頻率依賴性，又避免了復數的運算，數值算例結果表明，各階模態參數的計算只需迭代3～4次即可滿足，計算量小，物理意義明確。

3 改進的實模態疊加法

根據實模態疊加法的思想，結構的動力響應可由N個非阻尼振型的疊加表示，引入u=Φq，并將計算得到的模態參數帶入方程(6)，忽略矩陣的非對角元素，可獲得N個獨立的單自由度結構的動力方程：

式中：qj為黏彈性結構的廣義坐標。根據方程(13)，具有頻率依賴性的結構動力響應可以簡化為N個無頻率依賴性的結構動力響應疊加。

但是，在實際迭代計算過程中，當迭代當前模態參數時，已完成迭代的上一階模態參數仍會發生變化，對于強頻率依賴性的黏彈性結構，這樣的變化更加明顯。這是由于盡管經過前面求解所得模態參數考慮了黏彈性結構的頻率依賴性，但簡化后的單自由度結構源于原始黏彈性結構，本質上簡化后的N個單自由度結構仍具有黏彈性，所以，方程(13)中的模態參數ωj和ηj在單自由度結構中仍然需要考慮頻率依賴性。故需對傳統的實模態疊加法進行改進。

在迭代求解黏彈性結構模態參數過程中，選取其中的2N×N模態參數信息。

式中：(ωj)和(ωj)分別為最后1 次迭代計算所得第j階模態時第i階模態的模態頻率和損耗因子。這里采用多項式擬合來表征單自由度結構ωj和ηj的頻率依賴性，數學表達形式如下：

式中：fj(…)和gj(…)分別為用括號內數據擬合ωj和ηj的多項式。將式(16)和(17)代入方程(13)，qj的表達方式如下：

則第i個自由度的頻域響應為：

式中：ui，vi和ai分別為第i個自由度的位移、速度和加速度的頻域響應。

4 算例

為了驗證本文所提計算黏彈性結構頻域響應的簡化算法，以1個六自由度黏彈性結構作為計算對象進行算例分析，其力學模型如圖2所示。圖2中，k為黏彈性結構中不隨加載頻率變化的固定儲能剛度，取為105N/m；質量m取為1 t，g為黏彈性結構中隨加載頻率變化的復剛度，采用廣義麥克斯韋模型表征，參數取值見文獻[18]，分別考慮了弱頻率依賴性和強頻率依賴性2類情況。圖3所示為2類情況下，黏彈性結構整體復剛度隨加載頻率變化的情況。從圖3可知：2 類儲能剛度均隨著加載頻率的增加而增加，且強頻率依賴性結構表現出更加顯著的儲能剛度頻率依賴性；2類損耗因子(耗能剛度/儲能剛度)隨著頻率的增大而先增大后減小，由于強頻率依賴性結構所含的黏彈性比例較高，所以，展現出更加顯著的耗能能力。

采用分步迭代法求解黏彈性結構的特征方程，圖4所示為2 類黏彈性結構的模態頻率的具體信息。從圖4可知：2 類結構的模態頻率均表現出與儲能剛度相似的頻率依賴性，其中強頻率依賴性結構的模態頻率依賴性水平顯著，加載頻率從1階增大到6 階，對應的各階約模態頻率提高了10%。值得指出的是，這些數據將通過多項式擬合來表征各單自由度黏彈性結構的模態頻率依賴性，采用3 次多項式即可取得滿意的結果。圖5所示為2類黏彈性結構的模態損耗因子的具體信息。從圖5可知：2類模態損耗因子均表現出了與前述損耗因子(耗能剛度/儲能剛度)相似的頻率依賴性，且強頻率依賴性的黏彈性結構具有更大的模態損耗因子。與圖4不同的是，由于本文表征模態耗能能力的指標定義為復剛度理論中的模態損耗因子而非模態阻尼比，致使每階模態都具有相同數值和頻率依賴性水平的模態損耗因子，也就是在進行多項式擬合時，各階模態共用1個代數式。

圖2 黏彈性結構的力學模型Fig.2 Mechnical model of viscoelastic structure

圖3 黏彈性結構復剛度的頻率依賴性水平Fig.3 Frequency dependence level of complex stiffness

圖4 黏彈性結構模態頻率的頻率依賴性水平Fig.4 Frequency dependence level of modal frequency

圖5 黏彈性結構模態損耗因子的頻率依賴性水平Fig.5 Frequency dependence level of modal loss factor

將擬合多項式代入式(18)，將各模態響應疊加即獲得黏彈性結構的頻域響應。這里以名義傳遞函數mω2o|H(2,4)|替代頻域響應以利于檢查各階模態的響應，其中ω2o=k/m。圖6所示為2 類黏彈性結構的名義傳遞函數曲線，這里采用了模態應變能法、迭代法作為對比方法，精確解通過直接對不同頻率下的矩陣進行求逆獲得。從圖6可以看出：對于弱頻率依賴性的黏彈性結構，3類方法給出的曲線和精確解十分吻合，模態應變能法在高階模態非共振頻率下的精度略有降低。但對于強頻率依賴性的黏彈性結構，模態應變能法給出的高階響應精度較低；迭代法雖然給出各階模態共振頻率下滿意的結果，但是在非共振頻率下精度降低，這不利于黏彈性結構在具有復雜頻譜的激勵下響應的精確預測；而本文提出方法給出的曲線與精確解高度吻合，說明該方法適用于強頻率依賴性黏彈性結構的頻域響應預測。

圖6 黏彈性結構頻域響應Fig.6 Frequency response of viscoelastic structure

5 結論

1)本文基于實模態疊加法，引入麥克斯韋本構，建立了黏彈性結構的動力學方程；對特征方程進行分步迭代求解，依次獲取各階模態的模態頻率、振型和損耗因子；將黏彈性結構簡化為N個獨立的單自由度黏彈性結構，采用多項式擬合修正各階模態參數的頻率依賴性水平，最終求得黏彈性結構的頻域響應。

2)所提方法將經典黏彈性本構和傳統實模態疊加法結合起來，并采用分步迭代，避免了求解含有復數的高階特征方程。

3) 考慮模態分解后所得到的N個單自由度結構仍保留的黏彈性特性，采用多項式擬合表征各階模態參數的頻率依賴性水平；與模態應變能法和迭代法相比，本文提出的基于實模態疊加的簡化方法可以很好地計算出具有強頻率依賴性黏彈性結構的頻域響應，精度高且物理意義明確。